矩阵的特征值与特征向量(吕).ppt

第五章 相似矩阵及二次型,矩阵的特征值与特征向量向量的内积相似矩阵实对称矩阵的对角化二次型及其标准型正定二次型,5.2 矩阵的特征值与特征向量,一、基本概念,三、特征值与特征向量的性质,特征值与特征向量,特征多项式与特征方程,二、特征值与特征向量的计算,一.方阵的特征值与特征向量,1.特征值与特征向量的定义,定义1:,注：,设 是 阶方阵，,若数 和 维非零列向量，使得,成立，则称,是方阵 的一个特征值，,为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。,是方阵,1.定义2.求法3.性质,（2）特征向量 是非零列向量,（4）一个特征向量只能属于一个特征值,（3）方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一,一、基本概念,Ax4x,从几何上来看，特征向量x 的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变 或者方向相反,至于 时，特征向量就被线性变换变成0.,2.特征值与特征向量的求法,或,或,是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式。,称为矩阵 的特征方程。,求特征值、特征向量的求解过程：,求出 即为特征值;,把得到的特征值 代入上 式，,即为所求特征向量。,（去掉零解）即为与对应的全部特征向量。,解：,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,特征值为,系数矩阵,自由未知量:,令 得基础解系:,得基础解系,解,得基础解系为：,思考：对角阵的特征值是什么？,三角形矩阵的特征值是什么？,所以齐次线性方程组AXo有非零解X1。,例3试证：n 阶矩阵 A 是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零。,证：必要性：如果A是奇异矩阵，,充分性：设A有一个特征值为0，对应的特征向量为X1。,|0E-A|,则|A|0。,|-A|,(-1)n|A|0，,即0是A的一个特征值。,由特征值的定义，有 AX10X1o(X1o)，,由此可知|A|0，即A为奇异矩阵。,三、特征值与特征向量的性质,【性质】设A为n阶矩阵，则A与AT有相同的特征值。,【性质2】如果n阶方阵A的全部特征值为l1，l2，ln，（k重特征值算作k个特征值），则,|lE-A|=|(lE-A)T|=|lE-AT|,l1l2 ln|A|,证明 由性质2可知，若A是可逆矩阵，即|A|，则的任一个特征值都不为零,则，因而,即-是A-的特征值，x也是A-的对应于-的特征向量.,【性质3】,若是的属于特征值的特征向量，,【性质4】,即 若f(x)是一个多项式，是A的特征值则f()是f(A)的特征值,且对应特征向量相同.,证明,对应特征向量是:,对应特征向量也是:,证明,则,即,类推之，有,P165引理1,把上列各式合写成矩阵形式，得,例6、,矛盾。,证明,课堂练习题,一、单选题,可逆矩阵与矩阵（）有相同的特征值；,为n阶方阵，则（）结论成立 可逆，则矩阵属于特征值的特征向量 也是属于的特征向量；的特征向量既为方程（）的全部解；特征向量的线性组合仍是特征向量 与特征向量相同,课堂练习题,一、单选题,答案：；;3.,设是一个可逆矩阵，则其特征值中（）有零特征值 有二重特征值零 可能有也可能无零特征值 无零特征值,二、填空题,课堂练习题,已知三阶方阵的三个特征值为，则|A|（），的特征值为（），的特征值为（），的特征值为（）,设k=0，k是正整数，则的特征值为（）,若，则的特征值为（）,，-1/2,1/3,，,4,1,16,0,0,1,二、填空题,课堂练习题,4设A是3阶方阵，已知方阵，都不可逆，则的特征值为（）,已知三阶矩阵A的特征值为，则（）。,1,-1,3,-72,会求方阵的特征值和特征向量,熟记特征值和特征向量的性质,作业：P138：5（1），8，11，12,要求：,练习：,4、方程(lE-A)xo的解都是特征值l的特征向量吗？,1、设A是n阶方阵，如果数l和n维非零列向量x满足_，则称l为A的特征值，x称为A的对应于特征值l的特征向量。,Axlx,2、数l为A的特征值 l满足_。,|lE-A|0,3、向量x为A的对应于特征值l的特征向量 x满足_。,(lE-A)xo,5、矩阵 lE-A 称为 _，,7、方程|lE-A|0 称为_。,6、l 的 n 次多项式|lE-A|称为_.,A 的特征矩阵,A 的特征多项式,A 的特征方程,