矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似.ppt

线性代数教程,主讲人：肖继红,Tel：,矩 阵,线性方程组,行列式,向量组,一一对应,一 一 对 应,特征问题与二次型,线性代数教程,第五章 矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似,Sichuan University Jinjiang College,线性代数教程,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似第一节 矩阵的特征值和特征向量,Sichuan University Jinjiang College,特征值和特征向量,犹如世界上每个人都有自己的特点一样，每个矩阵也有其内在的特性。可逆性、秩数、初等变换的结果等属于矩阵的代数性质，而特征值、特征向量偏向于反映矩阵的几何特性。,A是n阶矩阵，x是n维列向量，则Ax也是n维列向量，当然它已经改变了原来的x的大小与方向。有没有一个特别的非零向量x，使得向量Ax仅仅使向量x伸长了若干倍而没有改变其方向呢？这个使Ax=x成立的特别的向量因矩阵A而定，反映A的内在特性，故称之为特征向量，相应的数称为特征值。,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,特征值和特征向量的应用,比如Google公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面，都有应用，,特征向量不仅在数学上，在物理，材料，力学等方面（应力、应变张量）都能一展拳脚，有老美曾在一本线代书里这样说过“有振动的地方就有特征值和特征向量”。振动如：桥梁或建筑物的振动、机械振动、电磁振动等。,6,给出了特征方程的术语,证明了任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念,证明了相似矩阵有相同的特征值,方阵的特征方程和特征根(特征值)的一些结论,证明了对称矩阵的特征根性质,矩阵化为标准型的问题,7,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,定义,一、特征值与特征向量的基本概念,例如，,8,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,说明,1、特征值问题是针对方阵而言的；,2、特征向量必须是非零向量；,3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值,一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：,9,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,二、特征值与特征向量的性质,性质,证明,所以kX0也是A的属于的特征向量。,10,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,性质,若X1,X2是A的属于同一个特征值 的特征向量,且X1+X20，则X1+X2也是A的属于 特征向量。,由此可以推广到多个特征向量的情况：,如果对于A属于统一特征值 的特征向量X1,X2,Xt,的非零线性组合 也是A的属于0 的特征向量。,11,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,性质,设 是A的特征值，是矩阵A的属于 的特征,向量，m为正整数,则 是Am的特征值。特征向量为.,证明：,由已知.则有,假设，则,即 是Am的特征值。,12,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,性质,设A是可逆矩阵，则A的特征值，,且 是A-1的一个特征值.,证明：,设有AX0=0X0.若0=0，则齐次线性方程组,AX0=0,中|A|0和X0=0与特征向量的定义矛盾，所以00,又由,即证。,13,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,AX=X,(IA)X=0,|IA|=0,特征方程(characteristic equation),特征多项式(characteristic polynomial),IA,特征矩阵,特征值,特征向量,14,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,三、特征值和特征向量的求法,定理.0为A的特征值|0IA|=0.,定理.X0为A的属于0的特征向量,(0IA)X0=0.,1.理论依据,15,即0是特征多项式f()=|I-A|的根。,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,于是由特征值、特征向量的性质和上述定理可得到求n阶矩阵A的特征值、特征向量的一般步骤：,(1)计算特征多项式|IA|并求出|IA|=0的全部根，得到A的全部特征值1,2,m(可能有重根).,(2)对于每一个不同的特征值j,求出齐次线性方程组(j IA)x=0的一个基础解系X1,X2,Xt,则A的属于j的全部特征向量k1X1+k2 X2+kt Xt（其中ki是不全为0的任意常数）,16,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,计算|IA|,求|IA|=0的根,求(IA)x=0的基础解系,于是由特征值、特征向量的性质和上述定理可得到求n阶矩阵A的特征值、特征向量的一般步骤：,17,解,例1,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,18,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,得基础解系,所以1=2对应的全部特征向量取为 k1 X1(k10),得基础解系,所以2=4对应的全部特征向量取为 k2X2(k20),19,例,解,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,20,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,21,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,22,例 设,求A的特征值与特征向量,解,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,23,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,24,得基础解系为：,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,25,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,四、特征值和特征向量的其它性质,性质1：,设0 是矩阵A的特征值，k是任意常数，则k0是矩阵kA的特征值。,性质2：,矩阵A与其转置矩阵AT 有相同的特征值。,性质3：,若A的特征值为0,则矩阵A 的多项式,的一个特征值为,对应的特征向量仍为A对于0 的特征向量.,26,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,27,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,(2)由于,28,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,性质:n阶矩阵A是奇异矩阵 A有一个特征值为0,推论.Ann可逆 A的特征值均不为零.,证明：由|A|=0|0I-A|=(-1)n|A|=0,即证。,又一个判断方阵A可逆的充要条件,29,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,例4,设矩阵A满足A2=A，证明：A的特征值只能是0和1.(重点题型),证明：,30,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,31,本节小结,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,32,思考题,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,33,思考题解答,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,实际上，特征值和特征向量有很直观的几何含义。方阵A的特征向量x是一个非零向量，在线性变换y=Ax的作用下与原向量x共线。即其方向在线性变换y=Ax的作用下仍与原方向保持在同一条线上（当特征值为负值时反向），而长度会有伸缩的变化。该向量在该线性变换下缩放的比例就是其特征值。通俗地说，特征向量就是在线性变换的作用下方向不变（可以反向）的向量。而在变化当中寻找不变的东西，这是很多学科研究的内容。下图给出了一幅图像的例子。,我虽然会求一个方阵的特征值和特征向量，但不知道计算它们有什么用？又怎么理解特征值和特征向量呢？,34,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.1 矩阵的特征值和特征向量,在这个错切变换中，蒙娜丽莎的图像发生变形，但是中心的纵轴在变换下保持不变。蓝色的向量，从胸部到肩膀，其方向改变了，但是红色的向量，从胸部到下巴，其方向不变。因此红色向量是该变换的一个特征向量，而蓝色的不是。因为红色向量既没有被拉伸又没有被压缩，其特征值为1。所有与红色向量平行的向量都是对应于1的特征向量。特征值理论是代数中应用最多的理论之一。自然科学和工程技术中的许多问题，如振动问题（桥梁或建筑物的振动、机械振动、电磁振动等），物理学中某些临界值的满足、网页搜索、图像压缩、常系数微分方程求解、种群年龄结构模型等，常常归结为求矩阵的特征值及特征向量。,35,线性代数教程,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似第二节 矩阵的相似和对角化,Sichuan University Jinjiang College,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵和对角化,一.相似矩阵的定义和性质,定义5.2.1 设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得P 1AP=B,则称矩阵A与B相似.记为AB.P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.,P s.t.P 1AP=B,A与B相似(记为AB):,37,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.2 矩阵的相似和对角化,例如：,38,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.2 矩阵的相似和对角化,例如：,又如：,39,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.2 矩阵的相似和对角化,2.性质,(1)反身性:AA.,(2)对称性:AB BA.,P 1AP=B,(3)传递性:AB,BC AC.,Q1BQ=C,Q1(P 1AP)Q=,(PQ)1A(PQ)=,(4)AB|A|=|B|，AmBm.,(5)P 1AP=B A与B等价,R(A)=R(B).,(6)可逆矩阵AB A1 B1.,P 1AP=B,P 1A1P=B1,(P 1AP)1=B1,40,第五章 特征值与特征向量,二.矩阵相似的必要条件,性质.,P 1AP=B,|I A|,=|I B|,|P|1|I A|P|,=|P 1|I A|P|,=|P 1(I A)P|,=|(P 1I P 1A)P|,=|P 1IP P 1AP|,=|P 1P B|,=|I B|.,41,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,二.矩阵相似的必要条件,性质.,P 1AP=B,|I A|,=|I B|.,1+2+n,12n,tr(A)=,=tr(B),|A|=,=|B|,42,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,二.矩阵相似的必要条件,性质.,P 1AP=B,|I A|,=|I B|.,推论.AB A与B有相同的特征值,tr(A)=tr(B),|A|=|B|.,|B|=|P 1AP|,=|P 1|A|P|,=|P|1|A|P|,=|A|.,43,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,二.矩阵相似的必要条件,性质.,P 1AP=B,|I A|,=|I B|.,推论.AB A与B有相同的特征值,tr(A)=tr(B),|A|=|B|.,0+3=2+y,x=2y,x=2,y=1.,44,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,注意:特征多项式相同的矩阵未必相似.,例如,假若P 1AP=B,则A=PBP 1=B.,矛盾!,|I A|=,|I B|=,=(1)2.,=(1)2.,45,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,三.相似对角化问题,我们的目的是讨论一个n阶矩阵相似的问题，希望相似的矩阵有最简单的形式对角矩阵，即是n阶矩阵相似于一个对角矩阵的问题。,n阶矩阵A若能相似于一个对角阵,称A可以对角化。,46,5.2 矩阵的相似和对角化,问题：是否任意一个矩阵A都能对角化？,第五章 特征值与特征向量,Ann相似于对角矩阵,A有n个线性无关的特征向量.,证明,47,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.2 矩阵的相似和对角化,命题得证.,48,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.2 矩阵的相似和对角化,由定理的证明过程可知，当P-1AP是对角形矩阵时，对角形矩阵对角线上n个元素即为A的n个特征值，而可逆矩阵P的n个列向量p1,p2,pn则是分别对应于特征值,的线性无关的特征向量.,由定理可知，一个矩阵能否相似于对角形矩阵就归结为n阶矩阵A是否具有n个线性无关的特征向量的问题.而线性方程组(i I-A)x=0的基础解系是A的属于特征值i的线性无关的特征向量。,问题:A的不同的特征值的线性无关特征向量是否构成线性无关组？,49,第五章 特征值与特征向量,1 A的特征向量,1 A的特征值,结论:,条件:,1线性无关,50,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,1,2 A的特征向量,1,2 A的互异的特征值,结论:,条件:,1,2线性无关,k11+k22=0,A(k11+k22)=,k1A1+k2A2=,k121+k222=0,k111+k222=0,k1(12)1=0,k1(12)=0,k1=0,k22=0,k2=0,51,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,1,2,3 A的特征向量,1,2,3 A的互异的特征值,结论:,条件:,1,2,3线性无关,k11+k22+k33=0,A(k11+k22+k33)=,k1A1+k2A2+k3A3=,k131+k232+k333=0,k111+k222+k333=0,k1(13)1+k2(23)2=0,k1(12)=k2(23)=0,k1=k2=0,k33=0,k3=0,52,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,1,2,s A的特征向量,1,2,s A的互异的特征值,结论:,条件:,1,2,s线性无关,k11+k22+ks1s1+kss=0,A(k11+k22+ks1s1+kss)=,k1A1+k2A2+ks1As1+ksAs=,k1s1+k2s2+ks1ss1+ksss=0,k111+k222+ks1s1s1+ksss=0,k1(1s)1+k2(2s)2+ks1(s1s)s1=0,k1(12)=k2(23)=ks1(s1s)=0,k1=k2=ks1=0,kss=,ks=0,53,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,定理.,1,2,s A的特征向量,1,2,s A的互异的特征值,1,2,s线性无关,1,2,54,5.2 矩阵的相似和对角化,注意,.属于不同特征值的特征向量是线性无关的,.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.2 矩阵的相似和对角化,55,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,56,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,定理.,1,2,s A的特征向量,1,2,s A的互异的特征值,1,2,s线性无关,推论.Ann有n个互异的特征值1,2,n,57,由定理可以得到矩阵对角化的充分条件：,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,1,2,m,A,58,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,s=2的情形:,1,1,s,1,r,2,线性无关,线性无关,1,s,1,r线性无关,k11+kss+l11+lrr=0,证明:,k11+kss=l11+lrr=0,k1=ks=l1=lr=0,59,5.2 矩阵的相似和对角化,k11+kss+l11+lrr=0,k11+kss=l11+lrr=0,假若k11+kss 0,则,l11+lrr 0,A(k11+kss),k11+kss是A的对应于1的特征向量,=k1A1+ksAs,=k111+ks1s,=1(k11+kss),l11+lrr是A的对应于2的特征向量,而k11+kss与l11+lrr线性相关,矛盾!,60,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,1,1,s,1,r,2,线性无关,线性无关,1,s,1,r线性无关,k11+kss+l11+lrr=0,证明:,k11+kss=l11+lrr=0,k1=ks=l1=lr=0,s=2的情形:,61,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,5.2 矩阵的相似和对角化,例2.求A=,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2,2=4.,解之得,A的对应于2=4的特征向量为k1,对于2=4,(4IA)x=0 即,3 11 3,=(2)(4).,(0 k R).,A的对应于1=2的特征向量为k2,则Q1AQ=,62,第五章 特征值与特征向量,5.2 矩阵的相似和对角化,解:|IA|=(2)(1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2IA)x=0 的基础解系:p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为k1p1(0k1R).对于2=3=1,求得(IA)x=0 的基础解系:p2=(1,2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为k2p2(0k2R).,例3.求A=,的特征值和特征向量.,二重,一重,一个,一个,问 A相似于对角矩阵吗?,63,第五章 特征值与特征向量,5.2 矩阵的相似和对角化,解:|IA|=(+1)(2)2.所以A的特征值为1=1,2=3=2.(IA)x=0的基础解系:p1=(1,0,1)T.对应于1=1的特征向量为kp1(0kR).(2IA)x=0的基础解系:p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).,例4.求A=,的特征值和特征向量.,二重,一重,一个,二个,64,第五章 特征值与特征向量,5.2 矩阵的相似和对角化,从上述例子可以看出，当矩阵A的某个特征值0为k重根时，对应的线性无关的特征向量的个数可能等于k，也可能小于k，这个规律对于一般的矩阵也是成立的。,设0为n阶矩阵A的k重特征值，则属于0的A的线性无关的特征向量最多只有k个.,65,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.2 矩阵的相似和对角化,66,A相似于对角矩阵 每个ki重特征值i 对应,ki个线性无关的特征向量.,证明：设A可以对角化，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵,且的对角线上n个元素为A的全部的特征值。若设i有ki 个(i=1,2,m)，则k1+k2+km=n.因为可逆矩阵P的列向量是A的相应特征值的特征向量，所以对应于i的线性无关的特征向量有ki个(i=1,2,m).,反之，若对应于A的每个ki重特征值，A有ki个线性无关的特征向量，则A的k1+k2+km=n个特征向量线性无关，故A可对角化。,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.2 矩阵的相似和对角化,67,由定理可以得到下面的推论,推论 n阶矩阵A可以对角化 对于A的每个ki重特征值i 对，特征矩阵(i I-A)的秩为n-ki.,第五章 特征值与特征向量,例如,若A55的特征值为,对应的线性无关的特征向量分别为:,(与1对应),(与2对应),1,2,3(与1对应),1(一重),2(一重),1,1,1(三重),令P=(,1,2,3),则,P 1AP=,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,68,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,反之,若,则P 1(1IA)P=,P 1AP=,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,(1I P 1AP),0 3 2 2 2,=,1 2 1 1 1,1 1 1 1 1,=,69,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,反之,若,则R(1IA)=R(P 1(1IA)P)=4,P 1AP=,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,0 3 2 2 2,=,1 2 1 1 1,1 1 1 1 1,70,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,反之,若,则R(1IA)=R(P 1(1IA)P)=4,P 1AP=,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,因而(1IA)x=0有1个线性无关的解,5 4=1,即A有1个线性无关的特征向量与1对应.,同理,A有1个线性无关的特征向量与2对应.,71,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,反之,若,则P 1(1IA)P=,P 1AP=,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,(1I P 1AP),2 1 0 0 0,=,1 2 1 1 1,1 1 1 1 1,=,72,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,反之,若,则R(1IA)=R(P 1(1IA)P)=2,P 1AP=,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,2 1 0 0 0,=,1 2 1 1 1,1 1 1 1 1,73,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,反之,若,P 1AP=,1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,因而(1IA)x=0有3个线性无关的解,5 2=3,即A有3个线性无关的特征向量与1对应.,则R(1IA)=R(P 1(1IA)P)=2,74,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.2 矩阵的相似和对角化,75,例5 设矩阵,(1)判定A是否可与对角矩阵相似，说明理由；,(2)若A可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵P，使P-1AP=.,第五章 特征值与特征向量,例6.若2是A=,1 1 1 a 4 b 3 3 5,R(2IA)=1,可见 a=2,b=2.,A相似于对角矩阵,的二重特征值,且,则3 R(2IA)=2,而2IA=,1 1 1a 2 b 3 3 3,1 1 10 a2 ab 0 0 0,此时(2IA)x=0的一个基础解系为:,(1,0,1)T,(0,1,1)T.,76,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,例6.若2是A=,1 1 1 a 4 b 3 3 5,又因为tr(A)=10,(6IA)x=0的一个基础解系为:,A相似于对角矩阵,的二重特征值,且,则a=2,b=2.,所以A的另一个特征值为10 2 2=6.,此时(2IA)x=0的一个基础解系为:,(1,0,1)T,(0,1,1)T.,(1,2,3)T.,77,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 特征值与特征向量,例6.若2是A=,1 1 1 a 4 b 3 3 5,A相似于对角矩阵,的二重特征值,且,则a=2,b=2.,78,5.2 矩阵的相似和对角化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.2 矩阵的相似和对角化,79,例7：已知2阶方阵A的特征值为1，2，其对应的特征向量分别为,求矩阵A。,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.2 矩阵的相似和对角化,本节小结,P s.t.P 1AP=B,1、A与B相似(记为AB):,2、相似的必要条件：,A与B有相同的特征值,tr(A)=tr(B),|A|=|B|.,3、Ann相似于对角矩阵,A有n个线性无关的特征向量.,4、A相似于对角矩阵 每个ki重特征值i 对应,ki个线性无关的特征向量.,80,作业：,1，2，3，4，5，6(1),7，8，9，10，,重点题：12，13,81,线性代数教程,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似第三节 实对称矩阵的对角化,Sichuan University Jinjiang College,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,83,为正交矩阵的充要条件是 的列向量和行向量都是标准（规范）正交基,证明,定义1,定理1,一、正交矩阵,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,线性无关向量组改造为规范正交组的施密特(Schmidt)正交规范化方法。,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,定理n阶实对称矩阵A的特征值为实数.,说明：以下所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵,二、实对称矩阵的对角化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,定理的意义,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,证明,于是,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,证明,它们的重数依次为,根据定理3（对称矩阵的特征值为实数）和定理5(如上)可得：,设 的互不相等的特征值为,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,由定理4知对应于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵，则,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,2.,1.,三、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,(IA)x=0,|IA|=0,特征值,特征向量,正交化,单位化,Q,解,例3 对下列实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使 为对角阵.,第一步 求 的特征值,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,解之得基础解系,解之得基础解系,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,1将一组极大无关组规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将极大无关组正交化，然后再将其单位化,2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,本节小结,3.对称矩阵的性质：,(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值,4.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)最后单位化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,102,第五章 特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的相似对角化,定理5.7.AT=A Mn(R)正交矩阵Q使得 Q1AQ=QTAQ是对角矩阵.,103,第五章 特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例10.把A=,正交相似对角化.,解:|EA|=(2)(4)2.所以A的特征值为1=2,2=3=4.(2IA)x=0的基础解系:1=(0,1,1)T.(4IA)x=0的基础解系:2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.1,2,3已经两两正交,将它们单位化可得,4 0 0 0 3 1 0 1 3,Q=,104,第五章 特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例11.把A=,正交相似对角化.,解:|IA|=2(3).所以A的特征值为1=2=0,3=3.(0IA)x=0的基础解系:1=(1,1,0)T,2=(1,0,1)T.(3IA)x=0的基础解系:3=(1,1,1)T.,1 1 1 1 1 1 1 1 1,105,第五章 特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的相似对角化,1=(1,1,0)T,2=(1,0,1)T,3=(1,1,1)T.,Q=(q1,q1,q1),106,第五章 特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例11.把A=,正交相似对角化.,另解:由于A是3阶实对称矩阵,1 1 1 1 1 1 1 1 1,又因为r(A)=1,所以1,2,3中有两个为零,一个非零.,根据1+2+3=tr(A)=3,可设1=3,2=3=0.,(3EA)x=的基础解系:1=(1,1,1)T.,107,第五章 特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的相似对角化,(0EA)x=的一个非零解为:2=(1,1,0)T,(3EA)x=的基础解系:1=(1,1,1)T.,的一个非零解为:3=(1,1,2)T.,Q=(q1,q1,q1),108,第五章 特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的相似对角化,(0EA)x=的一个非零解为:2=(1,1,0)T,(3EA)x=的基础解系:1=(1,1,1)T.,Q=(q1,q1,q1),令3=12,=(1,1,2)T.,109,第五章 特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例12.AT=A M3(R),|EA|=(1)2(10),3=(1,2,2)T,A3=103.,(1)由性质5.2可知:A=()3;,因而=k11+k22是对应于1的特征向量.,反之,设 3,(1,2是A的对应于1的线性无关的特征向量).,且=k11+k22+k33,则,=0.,3,k3|3|2=,综上所述,A=()3.,故k3=0,110,第五章 特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的相似对角化,(2)对应于1两个线性无关的特征向量可取为,将正交向量组1,2,3单位化得正交矩阵,x1+2x22x3=0的正交的基础解系:,1=(2,1,2)T,2=(2,2,1)T,例12.AT=A M3(R),|EA|=(1)2(10),3=(1,2,2)T,A3=103.,(1)A=()3;,111,第五章 特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的相似对角化,A=QQT=,例12.AT=A M3(R),|EA|=(1)2(10),3=(1,2,2)T,A3=103.,112,第五章 特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的相似对角化,(2)对应于1两个线性无关的特征向量可取为,令P=(1,2,3),x1+2x22x3=0的基础解系:,1=(2,1,0)T,2=(2,0,1)T.,例12.AT=A M3(R),|EA|=(1)2(10),3=(1,2,2)T,A3=103.,(1)A=()3;,则P 1AP=.,A=PP 1=,113,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,114,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,115,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,116,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,117,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,118,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,119,第五章 矩阵的特征值、特征向量和相似,5.3 实对称矩阵的对角化,120,