电路理论8正弦稳态分析.ppt

正弦量的基本概念 相量法阻抗和导纳正弦稳态的电路的分析计算位形相量图法及其应用正弦稳态的电路的功率,第八章 正弦稳态分析,8.1 正弦量,8.1.1 三要素,i(t)=Imsin(w t+y),Im、w、y这3个量一确定，正弦量就完全确定了。所以，称这3个量为正弦量的三要素。,(1)振幅(amplitude)Im,(2)角频率(angular frequency)w,(3)初相位(initial phase angle)y,Im：振幅，最大值：角频率；反映正弦量变化快慢；：初相反映了正弦量的计时起点t+：（the argument of the sinusoid）相位；正弦量随时间变化的进程,T：周期，f：频率,工频：f=50Hz，=2f=314rad/s,三要素的含义,8.1.2 同频率正弦量相位关系,设 u(t)=Umsin(w t+y u),i(t)=Imsin(w t+y i),则 相位差 j=(w t+y u)-(w t+y i)=y u-y i,j 0，u超前(越前)i j 角，或i 落后(滞后)u j 角(u 比 i 先到达最大值)；,j 0，i超前(越前)uj 角，或u 落后(滞后)i j 角(i 比 u 先到达最大值)。,j=0，同相：,j=(180o)，反相：,特例：,=p/2：u 超前 i p/2,不说 u 滞后 i 3p/2；i 滞后u p/2,不说 i 超前u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,规定：|j|(180)。,正弦电量的有效值（Effective Value）,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量其大小工程上采用有效值来表示。,周期量的有效值,周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的电能等于一直流电流I 流过R,在时间T 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。,同样，可定义电压有效值：,设 i(t)=Imsin(t+),正弦电流、电压的有效值,同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V，Um537V。,工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。,*区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,为什么用正弦量?,主要考虑以下几点：,1.正弦量是最简单的周期量之一，同频正弦量在加、减、微分、积分运算后得到的仍为同频正弦量；,2.应用广泛；,3.非正弦量用傅立叶级数展开后得到一系列正弦函数。,例.同频方波相加,8.2 相量法,两个正弦量,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。,i1+i2 i3,无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。,角频率：有效值：初相位：,i1,i2,8.2 相量法,一、复数：,1.表示形式：,ReF,ImF,在电路中用j来代替i,F=a+jb,F=a+ib,代数形式,三角函数形式,指数形式,极坐标形式,2.复数的运算：,（1）加法运算：,（2）减法运算：,（3）乘法运算：,（4）乘法运算：,作图方法：首尾相连 平行四边形,旋转因子：,任何一个复数乘以一个旋转因子，就旋转一个j角,例8-1 F=F1e j j,特殊：,+j,j,-1 都可以看成旋转因子,复函数,若对A(t)取实部：,A(t)还可以写成,一、正弦量的相量表示：,8.2.1 正弦量与相量的对应关系,如为正弦函数：,在同一个电路中的正弦量形式要一致,如为余弦函数：,如函数用最大值表示：,由相量还原正弦量时要注意是有效值还是最大值,相量的几何意义,A(t)是旋转相量,其复振幅,旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数,相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：,例2.,试写出电流的瞬时值表达式。,解：,已知,例1.,试用相量表示i,u.,解：,1.同频率正弦量相加减,得：,这实际上是一种变换思想，由时域量变换到相量“相量”不同于“向量”,8.2.2 正弦量运算的相量方法,时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自变量分析电路。,频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。,相量法：将正弦时间函数“变换”为相量后再进行分析,属于频域分析。,i1 i2=i3,例,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,首尾相接,（2）正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,相量微分:,相量积分:,小结,相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。,相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。,8.2.3 KCL、KVL的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,8.2.4 电路的相量模型,（1）电阻,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,有效值关系：UR=RI,相位关系：u=i,波形图及相量图：,瞬时功率以2交变。但始终大于零，表明电阻始终是吸收（消耗）功率。,瞬时功率：,（2）电感,i(t),uL(t),L,+,-,时域形式：,相量模型,相量关系：,相量形式：,1.相量关系：,XL=U/I=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)BL=I/U=1/L=1/2fL，感纳，单位为 S(同电导),2.感抗和感纳:,感抗的物理意义：,(1)表示限制电流的能力；U=XL I=LI=2fLI,(2)感抗和频率成正比；,相量表达式:,3.功率：,波形图：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。,（3）电容,时域形式：,相量形式：,相量关系：,1.相量关系：,2.容抗：,容抗的物理意义：,(1)表示限制电流的能力；,(2)容抗的绝对值和频率成反比。,I=w CU,称为容抗，单位为欧姆。,3.功率：,波形图：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消。,（4）受控源：,对受控源，电压与电流关系直接改写为相量形式，关系式与时域中电路完全相同。,在相量图中，KCL、KVL、电路的三大分析方法都适用见下节,（5）电路的相量模型(phasor model),时域列写微分方程,相量形式代数方程,时域电路,相量模型,相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。,（6）相量图,1.同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；,2.以 角速度反时针方向旋转；,3.选定一个参考相量(设初相位为零。),选 R为参考相量,小 结：,1.求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。,2.引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。,3.采用相量法后，电阻电路中所有网络定理和一般分析方法都可应用于交流电路。,8.3 阻抗与导纳,1.复阻抗与复导纳,正弦激励下,单位：,阻抗模,阻抗角,复导纳Y,对同一二端网络:,2.R、L、C 元件的阻抗和导纳,（1）R：,（2）L：,（3）C：,单位：S,3.RLC串联电路,用相量法分析R、L、C串联电路的阻抗。,由KVL：,其相量关系也成立,Z 复阻抗；R电阻(阻抗的实部)；X电抗(阻抗的虚部)；|Z|复阻抗的模；阻抗角。,关系：,或,具体分析一下 R、L、C 串联电路：,Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|j,wL 1/w C，X0，j 0，电路为感性，电压领先电流；,wL1/w C，X0，j 0，电路为容性，电压落后电流；,wL=1/w C，X=0，j=0，电路为电阻性，电压与电流同相。,画相量图：选电流为参考向量(wL 1/w C),三角形UR、UX、U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即,例.,已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求 i,uR,uL,uC.,解：,其相量模型为,则,UL=8.42U=5，分电压大于总电压。,4.RLC并联电路,由KCL：,Y 复导纳；G电导(导纳的实部)；B电纳(导纳的虚部)；|Y|复导纳的模；导纳角。,关系：,或,Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|j,w C 1/w L，B0，j 0，电路为容性，i领先u；,w C1/w L，B0，j 0，电路为感性，i落后u；,wC=1/w L，B=0，j=0，电路为电阻性，i与u同相。,画相量图：选电压为参考向量(wC 1/w L，0),RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象,同样，若由Y变为Z，则有：,8.4 正弦稳态电路分析,电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较：,可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法正弦稳态的相量分析中。,同直流电路相似：,阻抗串并联的计算,列写电路的回路电流方程和节点电压方程,例1.,解：,回路法:,节点法:,例2:已知:,解：画出电路的相量模型,求：各支路电流,瞬时值表达式为：,法一：电源变换,解：,例3.,法二：戴维南等效变换,例4.,用叠加定理计算电流,解：,例1：f=50Hz,R1=20欧。V、V1、V2的读数为100V，60V，50V。求R和C。,8.5 位形相量图及其应用,50,100,60,已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz 求：线圈的电阻R2和电感L2。,画 相量图进行定性分析。,例2.,解：,已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz 求：线圈的电阻R2和电感L2。,画位形相量图进行定性分析。,例2.,解：,用相量图分析,例3.,移相桥电路。当R2由0时，,解：,当R2=0，q=-180；当R2，q=0。,（9-3）,给定R2求移相角,由此可求出给定电阻变化范围下的移相范围,1.瞬时功率(instantaneous power),瞬时功率实用意义不大，一般讨论所说的功率指一个周期平均值。,8.6 正弦稳态电路的功率,无源一端口网络吸收的功率(u,i 关联),P可为正,也可为负；p0,电路吸收功率：p0，电路发出功率；,第一种分解方法：,第二种分解方法：,UIcos(1-cos2 t)为不可逆分量。,UIsin sin2 t为可逆分量。,2.平均功率(average power)P：,=u-i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。即 P=|Z|I2cos=RI2,cos：功率因数。,P 的单位：W,cosj=P/(UI),一般地,有 0cosj1,X0,j 0,感性，滞后功率因数，电流滞后电压X0,j 0,容性，超前功率因数，电流超前电压,例：cosj=0.5(滞后)，则j=60o(电压领先电流60o)。,平均功率实际上是电阻消耗的功率，有功功率代表电路实际消耗的平均功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与 cosj有关，这是交流和直流的区别,主要由于储能元件(LC)产生了阻抗角。,4.视在功率(表观功率)S,反映电气设备的容量。,3.无功功率(reactive power)Q,表示交换功率的值，单位：var(乏)。,Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质决定的;Q0，表示网络吸收无功功率；Q0，表示网络发出无功功率。,5.R、L、C元件的有功功率和无功功率,PR=UIcos=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin=UIsin0=0,对电阻，u,i 同相，故Q=0，即电阻只吸收(消耗)功率，不发出功率。,PL=UIcos=UIcos90=0QL=UIsin=UIsin90=UI,对电感，u领先 i 90,故PL=0，即电感不消耗功率。由于QL0，故电感吸收无功功率。,PC=UIcos=Uicos(-90)=0QC=UIsin=UIsin(-90)=-UI,对电容，i领先 u 90,故PC=0，即电容不消耗功率。由于QC0，故电容发出无功功率。,6.电感、电容的无功补偿作用,当L发出功率时，C刚好吸收功率，则与外电路交换功率为pL+pC。因此，L、C的无功具有互相补偿的作用。,8.6.3 复功率及功率守恒,1.复功率,为了用相量电压和电流来计算功率，引入“复功率”。,有功，无功，视在功率的关系：,有功功率:P=UIcosj 单位：W 无功功率:Q=UIsinj 单位：var 视在功率:P=UI 单位：VA,功率三角形,阻抗三角形,电压三角形,复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即,此结论可用特勒根定理证明。,一般情况下：,例.已知如图，求各支路的复功率。,解：,复功率守恒。,2、功率因数提高,设备容量 S(额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。,P=Scosj,cosj=1,P=S=75kW,cosj=0.7,P=0.7S=52.5kW,一般用户：异步电机 空载cosj=0.20.3 满载cosj=0.70.85 日光灯 cosj=0.450.6,设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；当输出相同的有功功率时，线路上电流大I=P/(Ucosj)，线路压降损耗大。,功率因数低带来的问题：,解决办法：并联电容，提高功率因数(改进自身设备)。,分析:,功率因数提高后，线路上电流减少，就可以带更多的负载，充分利用设备的能力。,补偿容量的确定：,综合考虑，提高到适当值为宜(0.9 左右)。,补偿容量也可以用功率三角形确定：,单纯从提高cosj 看是可以，但是负载上电压改变了。在电网与电网连接上有用这种方法的，一般用户采用并联电容。,思考：能否用串联电容提高cosj?,已知：f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6(滞后)。要使功率因数提高到0.9,求并联电容C。,解：,8.7 最大功率传输,讨论正弦电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。,Zeq=Req+jXeq，ZL=RL+j XL,ZL=RL+jXL可任意改变,(a)先讨论XL改变时，P的极值,显然，当Xi+XL=0，即XL=-Xeq时，P获得极值,(b)再讨论RL改变时，P的最大值,当RL=Req时，P获得最大值,综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：,此结果也可由P分别对XL、RL求偏导数得到。,2.若ZL=RL+XL=|ZL|，RL、XL均可改变，但XL/RL不变,(即|ZL|可变，不变),此时获得最大功率的条件|ZL|=|Zeq|。,最大功率为,单相瓦特表原理：,电流线圈中通电流i1=i；电压线圈串一大电阻R(RL)后，加上电压u，则电压线圈中的电流近似为i2u/R。,8.8 有功功率的测量,指针偏转角度(由M确定)与P成正比，由偏转角(校准后)即可测量平均功率P。,使用功率表应注意：,(1)同名端：在负载u,i关联方向下，电流i从电流线圈“*”号端流入，电压u正端接电压线圈“*”号端，此时P表示负载吸收的功率。,(2)量程：P的量程=U的量程 I的量程cos(表的),测量时，P、U、I均不能超量程。,已知：电动机 PD=1000W，功率因数为0.8（滞后）U=220V，f=50Hz，C=30F。求负载电路的功率因数。,例.,解：,例.,三表法测线圈参数(R、L)。,已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。,解：,8章作业：,8-16，8-18 阻抗与导纳8-20，8-27 正弦稳态分析8-31 相量图分析8-35 功率因数提高8-38 功率综合应用 8-40 最大功率,课时计划：,8课时 8.18.2 8.38.4 8.48.5 8.38.4,