电路基础课件-第7章动态电路的时域.ppt

第7章 动态电路的时域分析,7.1 换路定律及初始值的计算7.2 一阶电路的零输入响应7.3 一阶电路的零状态响应7.4 一阶电路的的全响应7.5 一阶电路的三要素7.6 二阶电路分析小结,7.1 换路定律及初始值的计算,7.1.1 过渡过程的概念 当开关S闭合时,电阻支路的灯泡立即发亮,而且亮度始终不变,说明电阻支路在开关闭合后没有经历过渡过程,立即进入稳定状态。电感支路的灯泡在开关闭合瞬间不亮,图7.1实验电路然后逐渐变亮,最后亮度稳定不再变化。,电容支路的灯泡在开关闭合瞬间很亮,然后逐渐变暗直至熄灭。这两个支路的现象说明电感支路的灯泡和电容支路的灯泡达到最后稳定，都要经历一段过渡过程。一般说来,电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路 的过渡过程。实际电路中的过渡过程是暂时存在最后消失,故称为暂态过程,简称暂态。,图7.1 实验电路,含有储能元件L、C（或称动态元件）的电路在换路时通常都要产生过渡过程。7.1.2 换路定律及初始值的计算 1.换路及换路定律,(71),2.求独立初始值(1)作t=0-等效电路,求出uC(0)和 iL(0);(2)根据换路定律确定出uC(0+)及 iL(0+)。3.相关初始值计算(1)用电压为uC(0+)的电压源和电流为 iL(0+)的电流源取代 原电路中C和L的位置,可得t=0+等效电路;(2)以t=0+等效电路求出相关初始值。,例7.1 图7.2（a）所示电路中,已知US=18V,R1=1,R2=2,R3=3,L=0.5H,C=4.7F,开关S在t=0时合上,设S合上前电路已进入稳态。试求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、uL(0+)、uC(0+)。解 第一步,作t=0等效电路如图7.2（b）所示,这时电感相当于短路,电容相当于开路。第二步,根据 t=0等效电路,计算换路前的电感电流和电容电压:,图7.2 例7.1图,第三步,作t=0+等效电路如图7.2（c）所示,这时电感L相当于一个12A的电流源,电容C相当于一个12V的电压源。第四步,根据t=0+等效电路,计算其它的相关初始值:,根据换路定律,可得,例7.2 图7.3（a）所示电路在t=0时换路,即开关S由位置1合到位置2。设换路前电路已经稳定,求换路后的初始值 i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。解(1）作t=0等效电路如图7.3（b）所示。则有,图7.3 例7.2图,例7.3 如图7.4（a）所示电路,t=0时刻开关S闭合,换路前电路无储能。试求开关闭合后各电压、电流的初始值。,（2）作t=0+等效电路如图7.3（c）所示。由此可得,图7.4 例7.3图 V,解（1）根据题中所给定条件,换路前电路无储能,故得出,（2）作t=0+等效电路如图7.4（b）所示,这时电容相当于 短路,电感相当于开路。则有,作业：P224页 7.1,7.2 一阶电路的零输入响应,7.2.1 RC电路的零输入响应 1.RC电路的零输入响应 的数学分析 根据图7.6所示电路电压、电流的参考方向,依KVL,有,图7.6 RC电路的零输入响应,将（式中负号是因为电容电压和电流参考方向不一致）,将其代入上式可得,(72),式（72）是一个常系数一阶线性齐次微分方程。由高等数学知识可知其通解形式为uC=Aept。其中,常数p是特征方程的根,A为待定的积分常数。式（72）的特征方程可将uC=Aept代入而得,特征根为,所以,将初始条件uC(0+)=Uo代入上式,可得A=Uo,则,（73）,式（73）就是零输入响应,即电容放电过程中电容电压uC随时间变化规律的表达式。,2.RC电路的零输入响应曲线 从式（73）、（74）和式（75）中可以看出,电压uC(t)、uR(t)和电流i(t)都是按同样的指数规律衰减的,它们随时间变化的曲线如图7.7（a）、（b）所示。,（74）,（75）,图7.7 RC电路零输入响应曲线,3.时间系数 及其对暂态过程的影响,所以称其为时间常数,并令,(76),引入时间常数后,式（73）、（74）和式（75）可表示为,图7.8 时间常数对暂态过程的影响,现以电容电压uC(t)为例来说明时间常数的意义。将t=、2、3、等不同时间的响应uC值列于表7.1之中。,例7.4 如图7.9（a）所示电路,在t=0时刻开关S闭合,S闭合前电路已稳定。试求t0时的i1(t)、i2(t)和iC(t)。,图7.9 例7.4图,解（1）作t=0等效电路如图7.9（b）所示。则有,（2）作t0电路如图7.9（c）所示,其等效电路如图7.9（d）所示。则等效电阻,故电路的时间常数,根据式（73）可得,在图7.9（c）所示电路中,可求得,7.2.2 RL电路的零输入响应 1.RL电路 零输入响应的数字分析,图7.10 RL电路的零输入响应,在图 7.10（b）中,依KVL,可得,将电感的伏安关系 代入上式,可得,(77),式(77)也是一个常系数一阶线性齐次微分方程,与式（72）相似,其通解的形式为。其中,是电路的时间常数。特征方程为,则,代入初始条件iL(0+)=Io,可得A=Io,故电路的零输入响应,(78),(79),(710),2.RL电路 零输入响应 曲线 式(710)中电感电压为负值,是因为电流不断减小,根据楞次定律可知,电感上的感应电压,力图维持原来电流不变,故实际的感应电压的极性与参考极性相反,因而为负值。从式（78）、（79）和式（710）中可以看出,iL(t)、uR(t)和uL(t)都是按同一时间常数的指数规律衰减,它们随时间变化的曲线如图7.11所示。RL电路的时间常数,同样具有时间量纲,其大小同样反映 了电路中过渡过程进行的快慢。都可写成相同的形式,即,图7.11 RL电路的零输入响应曲线,(711),例7.5 如图7.12（a）所示为一测量电路,已知 如图7.12（a）所示为一测量电路,已知 L=0.4H,R=1,US=12V,电压表的内阻RV=10k,量程为50V。开关S原来闭合,电路已处于稳态。在t=0时,将开关打开,试求:（1）电流 i(t)和电压表两端的电压uV(t);（2）t=0时（S刚打开）电压表两端的电压。,图7.12 例7.5图,解（1）t0电路如图7.12（b）所示,为一RL电路。电路的时间常数为,电感中电流的初始值为,根据式（711）,可得电感电流的表达式为,电压表两端的电压为,该数值远远超过电压表的量程,将损坏电压表。在断开电感电路时,必须先拆除电压表。从上例分析中可见,电感线圈的直流电源 断开时,线圈两端会产生很高的电压,从而出现火花甚至电弧,轻则 损坏开关设备,重则引起火灾。因此工程上都采取一些保护措施。常用的办法是在线圈两端并联续流二极管或接入阻容吸收电路,如 图7.13（a）、（b）所示。,（2）当 t=0时,图7.13 RL电路切断电源时的保护措施,作业：P225页7.2 7.3 7.4 7.5,7.3 一阶电路的零状态响应,7.3.1 RC电路的零状态响应 1.RC电路的零状态响应的数学分析 根据图7.16中S闭合后的电路,依KVL,有,图7.16 RC电路的零状态响应,将R、C的伏安关系:代入上式后可得,(712),式(712)是一个常系数一阶线性非齐次微分方程。由高等数学知识可知,它的解由其特解ucp和相应齐次方程的通解uch两部分组成,即,对应于式（712）的齐次微分方程即式（72）,其通解为,非齐次方程式(712)的特解为电路达到稳态时的解,因此uC的全解为,将初始条件uC(0+)=0代入上式,可得,则电容电压的零状态响应为,2.RC电路的零状态响应曲线 uC(t)、uR(t)和i(t)随时间变化的曲线如图7.17（a）、（b）所示。7.3.2 RL电路的零状态响应 1.RC电路的零状态响应的数学分析,充电电流 i(t)和电阻电压uR(t)为,(715),(716),图7.18 RL电路的零状态响应,根据图7.18中S闭合后的电路,依KVL,有,（717）,式（717）也是一常系数一阶线性非齐次微分方程,它的解同样由其特解 ilp和相应的齐次方程的通解 ilh组成,即,其中,特解仍是电路达到稳态时的解,齐次微分方程的通解与RL串联电路的零输入响应形式相同,即,令,故得,将 iL(0+)=0代入上式可得,则电路的零状态响应 iL(t)为,电感电压 uL(t)和电阻电压 uR(t)分别为,(718),(719),图7.19 RL电路零状态响应曲线,2.RC电路的零状态响应 iL(t)、uL(t)和uR(t)随时间变化的波形曲线如图7.19（a）、（b）所示。RC电路的零状态响应电压uC(t)和RL电路的零状态响应电流 iL(t),都可以写成相同的形式,即,(720),例7.6 图7.20所示电路,t=0时开关S闭合。已知uC(0_)=0,求t0时的uC(t)、iC(t)和i(t)。,图7.20 例7.6图,解 因为uC(0_)=0,故换路后电路属于零状态响应。因此电容电压可套用式（720）求出。又因为电路稳定后,电容相当于开路,所以,时间常数,根据式（720）得,则,例7.7 图7.21所示电路,换路前电路已达稳态,在t=0时开关S打开,求t0时的 iL(t)和 uL(t)。解 因为iL(0_)=0,故换路后电路的响应为零状态响应。因此电 感电流表达式可套用式（720）。又因为电路稳定后,电感相当于 短路,所以,时间常数,图7.21 例7.7图,根据式（720）得,7.4 一阶电路的全响应,1.一阶电路全响应的数学分析 根据图7.23中S闭合后的电路,依KVL,有,图7.23 RC电路的全响应,（721）,对应于式(721)的齐次微分方程的通解为,非齐次微分方程的特解为,因此,微分方程式（721）的全解为,电路的全响应可分解为稳态分量和暂态分量之和。即 全响应=稳态分量+暂态分量 2.RC电路的全响应曲线,代入初始条件uC(0+)=Uo,可得,则全响应,图7.24 三种情况下uC随时间变化的曲线,(723),(722),图7.24给出了UoUS三种不同初始状态下,RC电路的全响应uC(t)的曲线。还可将式（723）写成下列形式,(724),全响应还可以分解为零输入响应和零状态响应的叠加。即 全响应=零输入响应+零状态响应,根据线性电路的叠加定理,电路的全响应uC(t)可以看作是分别由外 加激励US和初始状态uC(0+)单独作用时产生响应的叠加。当US=0时,响应uC(t)由初始状态uC(0+)作用所产生,它就是零输 入响应,则,当uC(0+)=0时,响应uC(t)由外加激励US所产生,它就是零状态响应,则,因此,电路的全响应为,上式与式（724）完全相同。图7.25给出了oUS三种情况下,用零输入响应和零状态响应叠加而得到的uC(t)的全响应曲线,其结果与稳态分量和暂态分量叠加是一样的。,图7.25 三种情况下uC随时间变化的曲线,对于一阶电路全响应,暂态响应分量是,A是初始值与稳态值之差,即A=f(0+)f(),当 f(0+)=f()时,则暂态响应分量为零,电路无过渡过程。其中稳态值 f()可以由直流稳态电路求得,此时,电容相当于开路,电感相当于短路。例7.8 图7.26所示电路,在t=0时开关S打开,uC(0+)=5V。求t0电路的全响应uC(t)。解 作t0电路如图7.26（b）所示。用响应的两种分解方法求全响应 uC(t)。方法1 全响应分解为零输入响应和零状态响应的叠加。,图7.26 例7.8图,按图7.26（b）所示电路,当IS=0时,uC(0+)=5V,则电路的零输入响应为,故得出,按图7.26(b)所示电路,当uC(0+)=0时,IS=1A,则电路的零状态响应为,电路的全响应电容电压则为,方法2 全响应分解为稳态分量和暂态分量的叠加。,稳态分量,暂态分量为,所以全响应为,作业：P226页 7.11 7.12 7.13 7.14,7.5 一阶电路的三要素法,1.一阶电路的三要素与三要素法 在动态电路中任一电流或电压均由初始值f(0+)、稳态值f()和时间常数三个要素所确定。由于一阶电路的全响应为零输入响应与零状态响应之和,所以全响应是动态电路响应的一般形式。若全响应变量用f(t)表示,则全响应可按下式求出,(725),由上式可见,对一阶电路的分析,只要计算出响应变量的初始值、稳态值和时间常数三个要素,依式（725）便可直接得出结果,这一分析方法,称为一阶电路分析的三要素法。2.三要素的计算(1)初始值f(0+)。第一步作t=0等效电路,确定独立初始值;第二步作t=0+等效电路,计算相关初始值。,(2)稳态值 f()。可通过作换路后t=稳态等效电路来求取。作t=电路时,电容相当于开路;电感相当于短路。(3)时间常数。RC电路=RC,RL电路=L/R。其中R是换路后从动态元件两端看进去的代文宁等效电阻。需要指出的是,三要素法仅适用于一阶线性电路,对于二阶或高阶电路是不适用的。例7.9 图7.28（a）所示电路,在t=0时开关S打开,设S打开前电路已处于稳态,已知US=24V、R1=8、R2=4、L=0.6H。求t0时的 iL(t)和 uL(t)并画出其波形。解(1）求初始值 iL(0+)、uL(0+)。作t=0等效电路如图7.28（b）所示。则有,作 t=0+等效电路如图7.28（c）所示。依KVL,可得,图7.28 例7.9图,（2）求稳态值 iL()、uL()。作t=稳态等效电路如图7.28（d）所示,则有,（3）求时间常数。先计算电感元件断开后端口电路的输入电阻,电路如图7.28（e）所示,于是有,则时间常数为,根据式（725）计算出各响应量为,iL(t)、uL(t)的波形如图7.28（f）所示。,例7.10 图7.29（a）所示电路,在t=0时开关S闭合,S闭合前电路已 达稳态。求t0时uC(t)、iC(t)和i(t)。解(1）求初始值uC(0+)、iC(0+)、i(0+)。作t=0等效电路如图7.29（b）所示。则有,作t=0+等效电路如图7.29（c）所示。列出网孔电流方程,图7.29 例7.10图,联立求解可得,（2）求稳态值uC()、iC()、i()。作t=时稳态等效电路如图7.29（d）所示,则有,（3）求时间常数。将电容元件断开,电压源短路,如图7.29（e）所示,求得等效电阻,时间常数,(4)根据式（725）得出电路的响应电压、电流分别为,例7.11 如图7.30（a）所示含受控源电路,开关S闭合前电路已处于稳态,在 t=0时开关S闭合。求 t0时的 iL(t)、uL(t)和 i(t)。,图7.30 例7.11图,解（1）求 iL(0-),因此时电路已处于稳态,2 H电感相当于短路 线,故 iL(0-)=1A。（2）求初始值i L(0+)、uL(0+)、i(0+),因iL(0_)=1A,故由换路定 律得 作t=0+等效电路如图7.30（b）所示,这时电感相当于1A的电流 源。列出节点电位方程,解之,得,（3）求稳态值 iL()、uL()、i()。作t=时稳态等效电路如图7.30（c）所示,则有（4）求时间常数。先计算电感元件断开后端口电路的输入电阻,其等效电路如图7.30（d）所示。图中在端口外加电压U,产生输入电流为,故 则时间常数为,(5）根据式（725）计算出各响应量为,例7.12 如图7.31（a）所示电路中,已知 US=12V,R1=3k,R2=6k,C=5F,开关S原先断开已久,电容中无储能。t=0时将开关S闭合,经 0.02s后又重新打开,试求t0时的 uC(t)及 其波形。解 由于开关S闭合后又打开,故电路的过渡过程分为两个阶段。(1)t=0作为换路时刻,开关S闭合后,为电容的充电过程,利用三要素法求得电容电压uC的变化规律。,图7.31 例7.12图,(2)以 t=0.02s 作为新的换路时刻,开关S打开后,电容的放电过程开始,利用三要素法求出电容放电时电压的变化规律。,则,作业：P227页7.16 7.17 7.18 7.19,uC(t)的变化曲线如图7.31（b）所示。,7.6 二阶电路分析,1.RLC 串联电路零输入响应的数学分析 依KVL,得,图7.33 RLC串联电路的零输入响应,按图中标定的电压、电流参考方向有,将以上各式代入KVL方程,便可以得出以uC为响应变量的微分方程,为,式(726)为一常系数二阶线性齐次微分方程,其特征方程为,其特征根为,(727),(726),式中,=R/2L称为衰减系数,称为固有振荡角频率。(1)当(R/2L)21/LC时,p1、p2为不相等的负实根,称为过阻尼情况。特征根为,微分方程的通解为,(728),式中待定常数A1、A2由初始条件来确定,其方法是当 t=0+时刻,则由式(728)可得,对式(728)求导,可得t=0+时刻uC(t)对t的导数的初始值为,(729),(730),联立求解式(729)和式(730),便可以解出A1、A2。根据式(728)可见,零输入响应uC(t)是随时间按指数规律衰减的,为非振荡性质。uC(t)的波形如图7.34所示。,图7.34 过阻尼时的uC(t)波形,(2)当(R/2L)2=1/LC时,p、p2为相等的负实根,称为临界阻尼情况。特征根为,微分方程的通解为,(731),式中常数A1、A2由初始条件uC(0+)和uC(0+)来确定。uC(t)的波形图 根据式(731)可知,这种情况的响应也是非振荡的。uC(t)随时间变化的波形图如图7.35所示。(3)当(R/2L)21/LC时,p1、p2为具有负实部的共轭复根,称为欠阻尼情况。特征根为,根据式(733)可知,响应随时间变化的规律具有衰减的振荡 特性,它的振幅 随时间按指数规律衰减,衰减的快慢取决于衰减系数的大小,越大则衰减就越快。衰减振荡的角频率为d,d越大,则振荡周期T=2/d就越小。uC(t)的波形图如图7.36所示。(4)当R=0时,p1、p2为一对共轭虚根,称为无阻尼情况。特征根为,式中,(732),称为阻尼振荡角频率。微分方程的通解为,(733),式中常数A和由初始条件确定。,响应的表达式为,从式(734)和uC(t)的波形图中可见,电路的零输入响应是不衰减的正弦振荡,其角频率为0。由于电路电阻为零,故称为无阻尼等幅振荡情况。,(734),A和可以直接由初始条件确定。uC(t)的波形如图7.37所示。,图7.36 欠阻尼情况电路零输入响应 uC(t)波形曲线,图7.37 无阻尼等幅振荡情况电容 电压响应波形图,2.以上几种情况的物理意义 电容和电感都是储能元件,只有电阻是耗能元件。电容放电时它所储存的电场能量,一部分消耗在电阻中,一部分转移到电感储存于磁场中。在过阻尼情况下,由于R较大,能量消耗极为迅速,因此电感获得的磁场能量不可能再返回给电容,而是随电路电流的下降而逐渐释放出来,一起消耗在电阻上。所以,电容电压uC是单调下降的,形成非振荡的放电过程。而在欠阻尼情况下,由于R较小,电容放电时,被电阻消耗的能量较少,大部分电场能转变为磁场能储存于电感中。当电容储能为零时,电感开始放电,电容被反向充电。当电感储能为零时,电容又开始放电。这样周而复始。由于电阻不停地消耗着能量,因此电容电压呈指数衰减的振荡过程。如果R=0,即电路中无能量损耗,则在振荡过程中,电容释放给电感的能量和电感吸收后又释放给电容的能量将始终相同。因此电容电压uC的振幅将不会衰减,振荡将无限制地持续下去,形成等幅振荡。这就是无阻尼情况。,例7.13 图7.33电路中,已知L=10H,C=0.1F。试求（1）R=40,uC(0+)=16V,i(0+)=0.4A时的零输入响应uC(t)。（2）R=10,uC(0+)=10V,i(0+)=1A时的零输入响应uC(t)。并画出其波形。解（1）R=40时,按式(727)求方程特征根为,显然,电路属于过阻尼情况。根据式(728),电路方程的解为,根据初始条件确定常数A1、A2。当t=0+时刻,上两式联立解出:A1=16.083,A2=0.083，故得出零输入响应电容电压为,uC(t)的波形图示于图7.38中。,图7.38 例7.13在过阻尼时的uC波形,图7.39 例7.13在欠阻尼时的uC波形,（2）R=10时,方程的特征根为,显然,电路属于欠阻尼情况。根据式（733）可得零输入响应电容电压为,根据初始条件确定常数A和角度值。当t=0+时刻,再有,(A),(B),将(A)式代入(B)式得,故解得电路的零输入响应电容电压为,例7.14 如图7.40所示RLC串联电路,开关S在 t=0时闭合,已 知R=10,L=1H,C=1/9F,US=16V,求零状态响应uC(t)。解 根据电路及元件的两种约束关系,t0电路的微分方程为 这是一常系数线性二阶非齐次微分方程,根据数学理论,该方程的解应由两部分组成,即,(735),图7.40 例7.14图,式中的ucp为方程的特解,实际上就是电路的稳态值。式中的uch是方程式(735)所对应的齐次方程的通解。解的形式根据特征根的不同情况来确定,分为过阻尼、欠阻尼、临界阻尼和无阻尼四种形式。本题由已知条件得特征根为,故电路属于过阻尼情况。齐次微分方程的通解为,非齐次微分方程的特解为,故得,根据初始条件确定常数A1、A2。,联立求上两式得出,响应曲线如图7.41所示。,图7.41 例7.14的响应uC波形,作业：P223页（1）,小 结,1.动态电路的过渡过程 一阶电路在过渡过程中电压电流的变化规则是从换路后的初始值按指数规律变化到稳态值的过程。过渡过程进行的快慢取决于电路的时间常数。引起过渡过程的电路变化称为换路。换路前后瞬间,电感电流、电容电压不能突变,称为换路定律。即,利用换路定律和0+等效电路,可求得电路中各电流、电压的初始值。2.一阶电路的零输入响应 零输入响应就是无电源一阶线性电路,在初始储能作用下产生的响应。其形式为,式中,f(0+)是响应的初始值,是电路的时间常数,RC电路的=RC,RL电路的=L/R,它是决定响应衰减快慢的物理量,是重要的常数。3.一阶电路的零状态响应 零状态响应就是电路初始状态为零时由输入激励产生的响应。其形式为,式中,f()是响应的稳态值。4.一阶电路的全响应 全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生 的响应。其两种分解为,5.一阶电路的三要素法 一阶电路的响应f(t),由初始值f(0+)、稳态值f()和时间常数三要素所确定,利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电源作用下的电路响应。三要素公式为 计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值f(),分别用t=0+电路和 t=电路解出。作t=0+电路时uC(0+)和iL(0+)分别视为电压源和,(零输入响应),(零状态响应),(暂态响应),(稳态响应),电流源。作t=电路时,电容相当于开路;电感相当于短路。时间常数中的电阻R,是动态元件两端电路的代文宁等效电路电阻。6.无电源二阶电路的零输入响应和直流二阶电路的零状态响应 明确由于特征根p1、p2取值的4种不同的情况,二阶电路的响应分为过阻尼、临界阻尼、欠阻尼和无阻尼。,