电路基础02直流电路的一般分析.ppt

第2章 直流电路的一般分析,2.1 电阻电路及连接方式2.2 电压源、电流源的电路及等效变换2.3 支路电流法2.4 节点电压法2.5 叠加定理2.6 戴维南定理2.7 诺顿定理2.8 最大功率传输,2.1 电阻电路及连接方式,2.1.1 等效网络的定义“等效”是电路分析中极为重要的概念之一,电路的等效变换分析方法是电路分析中常用的一种方法。根据电路的结构，当一个电路只有两个端钮与外部相连接时，就称作二端网络，或一端口网络。每一个二端元件，如电阻、电容等，便是二端网络的最简单形式。图2-1所示为二端网络的一般符号。流过二端网络的端钮电流、端钮间电压分别叫做端口电流I,端口电压U，图中给出的U、I参考方向对二端网络为关联参考方向。,返回,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,如果有两个结构和元件参数完全不同的二端网络B和C,如图2-2所示,若B与C有完全相同的电压、电流关系（即给B加电压U,产生电流I,给C加电压U,产生的电流I与B的电流I相等）,则称B与C是互为等效的二端网络。这就是电路等效的一般定义。请注意，两个等效的网络的内部结构和元件参数虽不相同，但对外部而言，它们的影响完全相同，既有完全相同的电压、电流关系。等效网络互换后，它们的外部情况不变，“等效”是指“对外等效”。相互等效的两个电路在电路分析中可以相互代换,代换前后对B和C以外的电路中的电压、电流等参数不产生任何影响,如图2-3所示,若B与C等效,则对A电路来说,用图（a）与用图（b）求A中的各电量效果相同。,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,这种等效在实际应用中可经常见到。例如,额定值为220 V、1 kW的白炽灯和额定值为220 V、1 kW的电炉,虽然二者结构和性能完全不同,但是,对220 V电源来说,从电源获得的电流和功率完全相等。2.1.2 电阻的串联图2-4(a)所示是三个电阻串联的电路模型,它可等效成图（b）所示的电路模型。由图（a）知:串联就是几个元件依次按顺序首尾相接,中间没有分岔的一种连接形式。电阻串联电路有以下几个特点（参考图2-4）:（1）由KCL可知,通过各电阻的电流为同一电流。（2）由KVL可知,外加电压等于各个电阻上电压之和,即（2-1）,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,（3）电源供给的功率等于各个电阻所消耗的功率之和,即（2-2)根据二端网络对外等效的定义,对图2-4(a)有（2-3）对图2-4（b）有（2-4）对比式（2-3）和式（2-4）,知（2-5）,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,以上是由三个电阻串联构成电路的等效电阻，同理可推导出由个电阻串联构成电路的等效电阻：（2-6）式（2-6）指出:电阻串联,其等效电阻等于各串联电阻之和。依据式（2-6）还可推导出，电阻串联时，每电阻上的电压分别为（2-7）,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,式（2-7）说明，在串联电路中，外加电压一定时，各电阻端电压的大小与它的电阻值成正比。式（2-7）称为电压分配公式。应用此公式时，注意各电阻上电压的参考方向。如果进一步将式（2-7）两边同乘以电流I，则有（2-8）式（2-8）说明，个电阻串联时吸收的总功率等于各个电阻吸收功率之和。（2-9）式（2-9）说明:电阻串联时电阻值大消耗的功率大。电阻的功率与它的电阻值成正比。,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,根据电阻串联电路的特性，电阻串联有诸多应用。电压表测量电压的原理就是其一；需要扩大电压表的量程时，可将电压表与电阻串联；还有当负载的额定电压低于电源电压时，可以利用串联一个电阻来分压；为调节电路中的电流大小，通常可在电路中串联一个变阻器。例2.1 有一量程 为100mV，内阻 为1k的电压表。如欲将其改装成量程为，的电压表，试问应采用什么措施?解：欲扩大电压表量程，可将该电压表与适当电阻串联，如图2-5所示，当量程为 时，根据串联电阻分压特性，可得：,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,则当阻值为 时，即可满足量程U1=1V。同理,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,2.1.3 电阻的并联图2-6（a）所示是三个电阻并联的电路模型,其等效电路为图2-6（b）。由图（a）知:并联就是几个元件首和首相接,尾与尾相接,各电阻分别构成一条支路的连接方式。电阻并联有如下几个特点:（1）由图2-6(a)可知,各电阻上的电压相等。（2）根据KCL,总电流等于各支路电流之和,即(2-10),返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,式中（3）电阻并联时总的消耗功率等于各电阻上消耗的功率之和,即（2-11）若推广到一般情况:个电阻并联,等效电阻的倒数等于各个电阻的倒数之和。即个电导并联,等效电导等于各个电导之和。即（2-12）（2-13）,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,式中:,分别为相并联的第i个电阻、电导,n为相并联电阻、电导的个数。电阻并联分流与电阻值成反比,即电阻值越大,分得的电流越小。同理也可推导出电阻并联时,电阻值越大消耗功率越小。（2-14）（2-15）并联电路的最大特点是具有分流作用，其主要应用在扩大电流表的量程。,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,例2.2 图2-7所示电路是一个扩大电流表量程的电路,图中Rg是一只最大量程的基本电流表表头的内阻,其值等于50,R1、R2、R3分别是电流表10mA、50 mA、100mA挡的分流电阻,求R1、R2、R3的阻值。解：电路中，通过的最大电流即量程，当 I=10mA时,，根据并联电路的分流特性，得 则 同理，当 I=50mA时,，,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,则当I=50mA时,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,2.1.4 电阻的混联电阻的混联电路是串联与并联的组合,实际电路中更多见的是混联,单独的串联和并联并不多见。混联电路可以用串、并联公式化简，图2-8给出了混联电路的结构连接图,从等效电路看,两个端子的等效电阻为（2-16）对于电阻混联电路的等效电阻计算方法,要仔细观察,寻找窍门。判别出各电阻之间的连接关系是至关重要的,因为在电路分析中,往往给出的电路不能完全直观地看出各个元件之间的连接关系。下面通过例题示范对这类问题的分析方法。,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,例2.3 求图2-9（a）所示电路中A、B之间的等效电阻。解：分析这样的电路,可以按照如下步骤进行:（1）将电路中有分支的连接点依次用字母或数字编排顺序,如图中A、B、C、D。（2）把短路线两端的点画在同一点上,即把短路线无穷缩短或伸长,若有多个接地点，也可用短路线相连。（3）依次把电路元件画在各点之间,再观察元件之间的连接关系。图2-9（a）的电路改画后如图2-9（b）所示,由此可直观地看出A、B两点间的等效电阻：,返回,上一页,下一页,2.1 电阻电路及连接方式,返回,上一页,下一页,并联 后与 串联 和 并联 为 和 并联等效电阻，即:,2.1 电阻电路及连接方式,在计算电路的等效电阻时，关键在于识别电路中各电阻的串、并联关系，其工作大致可分成以下几步：（1）根据串并联特点分析电路元件的串并联规律。串联电路所有元件流过同一电流；并联电路所有元件承受同一电压。（2）连接导线可伸缩，所有无阻导线连接点可用节点表示。（3）等位点间可短接。（4）在不改变电路连接关系的前提下，可根据需要改画电路，以便更清楚地表示出各电阻的串并联关系。（5）逐点用文字代替变化，按照顺序简化电路，最后计算出等效电阻。,返回,上一页,2.2 电压源、电流源的电路及等效变换,2.2.1 电源的联结如图2-10（a），由3个理想电压源串联组成的二端网络N，根据电路等效的定义，可以用一个电压源等效替代，如图2-10（b）所示，由KVL，该电压源的电压为 注意：等效时要先确定等效电压源 的参考极性。若要将电压源并联，则并联的电压源必须极性相同、电压值相等。否则，不允许并联在一起。如图2-11（a），由3个理想电流源并联组成的二端网络N，可以用一个电流源等效替代，如图2-11（b）所示，由KCL，该电流源的电流为,返回,下一页,2.2 电压源、电流源的电路及等效变换,注意：等效时要先确定等效电压源 的参考极性。若要将电流源串联，则串联的电流源必须极性相同、电流值相等。否则，不允许串联在一起。根据电压源的基本特征，电压源 与其他元件并联，由外部特性等效的概念可知，该并联电路可以用一个等效的电压源来替代，端口电压值 由电压源决定为，端口电流值I由电压源与外部电路共同决定。图2-12所示，图（a）可以等效为图（b）。但需注意的是图（b）中的 与图（a）电路的 含义完全不同。,返回,上一页,下一页,2.2 电压源、电流源的电路及等效变换,同理，根据电流源的基本特征，电流源 与其他元件串联，由外部特性等效的概念可知，该串联电路可以用一个等效的电流源来替代，端口电流值由电流源 决定为，端口电压值U由电流源与外部电路共同决定。图2-13所示，图（a）可以等效为图（b）。但需注意的是图（b）中的 与图（a）电路的 含义完全不同。例2.4 如图2-14（a）所示电路，将其化简为最简等效电路。解：根据电压源的基本特征，电压源 与其他元件并联，并联电路可以用一个等效的电压源来替代，如图2-14（a）可等效为图2-14（b）。根据电流源的基本特征，电流源 与其他元件串联，串联电路可以用一个等效的电流源来替代，如图2-14（b）可以等效为图2-14（c）。,返回,上一页,下一页,2.2 电压源、电流源的电路及等效变换,2.2.2 实际电源模型的等效变换我们已经知道,在某些情况下,实际电源适宜用实际电压源的模型表示,另一些情况下则适宜用实际电流源的模型表示。对于外电路来说,只要电源的外特性一样,则用哪一种模型来表示,所起的作用都是一样的。这就是说,实际电源既可以用电压源模型表示,也可以用电流源模型表示。只要两种模型具有相同的伏安关系（VAR）,即满足前述的等效条件,所以二者可以等效互换。,返回,上一页,下一页,2.2 电压源、电流源的电路及等效变换,如图2-15（a）实际电压源，可用理想电压源串联电阻来表示，其VAR为，此为回路KVL方程，方程两边同除R,得,移项,得此即2-15（b）图的VAR,它是实际电流源,为理想电流源并联电阻。图2-15（b）为节点的KCL形式。,返回,上一页,下一页,2.2 电压源、电流源的电路及等效变换,实际电压源与实际电流源的物理意义不同，但从等效角度看，两者端口具有相同的VAR，是可以互换的两电路，即如图2-16（a）实际电压源，电压值为，内阻为,可以等效为图2-16（b）实际电流源，电流值为,内阻不变为，电流源方向与原电压源参考方向相反。例 2.5 如图2-17（a）（b）电路，分别求含电流源和电压源的最简等效电路。解：根据实际电压源和电流源等效变换的关系，可得到如图2-17所示电路 实际电压源和电流源等效变化可以总结为：,返回,上一页,下一页,2.2 电压源、电流源的电路及等效变换,（1）电压源串联电阻变换为电流源并联电阻：电流源为 即电压源值除以串电阻值，并电阻串电阻。（2）电流源并联电阻变换为电压源串联电阻：电压源为 即电流源值乘以并电阻值，串电阻并电阻 另外，两种电源模型等效变换时，还应注意下列几个问题：（1）两种实际电源之间的等效变换均指对外电路而言，而对电源内部电路并不等效。（2）方向关系，与参考方向相反。（3）理想电压源，理想电流源，不能互换,返回,上一页,下一页,2.2 电压源、电流源的电路及等效变换,（4）并联时 化为电流源处理方便。串联时 化为电压源处理方便。例 2.6 求图2-18（a）所示电路的电压源模型与电流源模型。解：在图2-18(a)中,R1与Us并联,将R1去掉后对端口U和I不产生任何影响,故图2-18(a)所示电路可以等效成图2-18(b)所示的电压源模型。将图2-18(b)变换成图2-18(c)的电流源模型,则,返回,上一页,下一页,2.2 电压源、电流源的电路及等效变换,这里再次强调,电源等效变换仅对电源以外的电路等效,对电源内部并不等效。例如,图2-18(b)和(c)的电源模型,当I=0时,U相等,但 上流过的电流和承受的电压以及消耗的功率均不相等。例 2.7 如图2-19所示电路，求含电压源的最简等效电路。解：解题步骤依次化简为如图2-20所示（a）（b）（c）（d）（e）（f）例 2.8 利用等效变换法，求图2-21(a)所示电路中的电流。解：根据电源模型等效变换原理，可将图2-21(a)依次变换为图2-21(b)(c)。根据图2-21(c)可得：,返回,上一页,下一页,2.2 电压源、电流源的电路及等效变换,从图2-21(a)变换到图2-21(c)，只有ac支路未经变换，故知在图2-21(a)的ac支路中电流大小方向与已求出的I完全相同，即为1A，则为求 和,应先求出。根据图2-21(c)，有 再根据图2-21(a)，有 所以得：,返回,上一页,2.3 支路电流法,为了完成一定的电路功能,在一个实际电路中,人们总是将元件组合连接成一定的结构形式,于是就出现了上一章所讲的支路、节点、回路和网孔。当组成电路的元件不是很多,但又不能用串联和并联方法计算等效电阻时,这种电路称为复杂电路。图2-22是一个具体的例子,该电路有三条支路、两个节点、两个网孔,若以该电路各支路电流为未知量计算电路时,最少要列三个方程。本节所讨论的分析方法就是以支路电流为计算对象的分析方法,称作支路电流法。支路电流法是以完备的支路电流变量为未知量,根据各个元件上的VAR和电路各节点的KCL、回路的KVL约束关系,建立数目足够且相互独立的方程组,求解出各个支路的电流,进而根据电路的基本关系求得其它未知量,如电压、功率、电位等等。,返回,下一页,2.3 支路电流法,下面以图2-23所示的电路为例，说明支路电流法的求解过程。图2-23中的电路共有三条支路、2个节点和3个回路。已知各电源电压值和各电阻的阻值，求解3个未知支路的电流，需要列出三个独立方程联立求解。所谓独立方程是指该方程不能通过已列出的方程线性变换而来。列方程时，必须先在电路图上选定各支路电流的参考方向，并标明在电路图中。根据KCL，列出节点a和b的KCL方程为（2-17）（2-18）,返回,上一页,下一页,2.3 支路电流法,显然，式（2-17）与式（2-18）实际相同，所以只有1个方程是独立的，可见2个节点只能列出1个独立的电流方程。可以证明：若电路中有n个节点，则应用KCL只能列出（n-1）个独立的节点电流方程。其次，选定回路绕行方向，一般选顺时针方向，并标明在电路图中。根据KVL，列出各回路的电压方程。对于回路I，可列出（2-19）对于回路II，可列出（2-20）对于回路III，可列出（2-21）,返回,上一页,下一页,2.3 支路电流法,从式（2-19）、式（2-20）与式（2-21）可以看出，这三个方程中的任何一个方程都可以从其他两个方程中导出，所以只有两个方程是独立的。这正好是求解三个未知电流所需要的其余方程的数目。同样可以证明，对于m个网孔的平面电路，必含有m个独立的回路，且。网孔是最容易选择的独立回路。总之，对于一个电路含有n个节点,m个网孔,b条支路,应用KCL可以列出（n-1）个独立节点的电流方程，应用KVL可以列出m个网孔电压方程，而独立方程总数为(n-1)+m，恰好等于支路数b，所以方程组有唯一解。,返回,上一页,下一页,2.3 支路电流法,如图2-23，使用支路电流去求解时则必须列写b个相互独立的方程,联立式（2-17）、式（2-18）及式（2-19），即 解方程组就可以求得。支路电流法的一般步骤如下：（1）首先选定支路电流的参考方向，标明在电路中，b条支路共有b个未知变量。（2）再根据KCL列出节点方程，n个节点可列（n-1）个独立方程.,返回,上一页,下一页,2.3 支路电流法,（3）接着选定网孔绕行方向，标明在电路中，根据KVL列出网孔方程，网孔数就等于独立回路数，所以可列m个独立电压方程。（4）n个节点,m个网孔,b条支路的电路需要列出b个独立的方程,其中n-1个节点电流方程,m个回路方程,即b=(n-1)m。所以联立求解上述b个独立方程，求得各支路电流。例2.9 图2-24所示电路，用支路电流法求各支路电流。解：由于电压源与电阻串联时电流相同，本电路仅需假设三条支路电流 如图所示。此时只需列出一个节点a的 KCL方程,返回,上一页,下一页,2.3 支路电流法,按顺时针方向，列出两个网孔的KVL方程 联立以上三个式子，求解得还有一种情况，对于含有电流源的电路,从原理上讲也应列写(n-1)m个独立方程,这是因为虽然电流源支路的电流已知,而电流源的端电压是未知的,所以,电路的未知数仍然是b个。但是,我们是以各支路电流为未知量分析电路的,而电流源支路电流已知,若不要求计算电流源的端电压,则可以使方程数减少,从而使解方程的过程简化。例2.10 如图2-25所示电路,用支路电流法求各支路电流。,返回,上一页,下一页,2.3 支路电流法,解：在图2-25所示电路中,节点数n=4,网孔数m=3,支路数b=6。若以 和 电流源电压u为未知量,需要列写六个方程。其方程为节点A 节点B 节点C 网孔回路ABDA 网孔回路BCDB 网孔回路ABCA,返回,上一页,下一页,2.3 支路电流法,分析上述六个方程,可以发现,电流源电压u在前五个方程中并未出现,所以,只要将前五个方程联立求解,即可求出各支路电流。由此可总结出这样一条规律:若电路中有k条含有电流源的支路,则KVL方程减少k个就足可计算出各支路电流。例 2.11 对如图2-26所示电路,用支路电流法求各支路电流及理想电流源上的端电压U。解：设各支路电流为I1,I2,I3,参考方向如图2-26所示,电流源端电压U的参考方向如图所示。根据KCL和KVL列出下述方程：节点1回路1,返回,上一页,下一页,2.3 支路电流法,回路2其中 联立方程解得：,返回,上一页,2.4 节点电压法,与用独立电流变量来建立电路方程相类似，也可用独立电压变量来建立电路方程。在全部支路电压中，只有一部分电压是独立电压变量，另一部分电压则可由这些独立电压根据KVL方程来确定。若用独立电压变量来建立电路方程，也可使电路方程数目减少。对于具有n个节点的连通电路来说，它的(n-1)个节点对第n个节点的电压，就是一组独立电压变量。用这些节点电压作变量建立的电路方程，称为节点方程。这样，只需求解(n-1)个节点方程，就可得到全部节点电压，然后根据KVL方程可求出各支路电压，根据VCR方程可求得各支路电流。,返回,下一页,2.4 节点电压法,2.4.1 节点电压用电压表测量电子电路各元件端钮间电压时，常将底板或机壳作为测量基准，把电压表的公共端或“-”端接到底板或机壳上，用电压表的另一端依次测量各元件端钮上的电压。测出各端钮相对基准的电压后，任两端钮间的电压，可用相应两个端钮相对基准电压之差的方法计算出来。与此相似，在具有n个节点的连通电路(模型)中，可以选其中一个节点作为基准，其余(n-1)个节点相对基准节点的电压，称为节点电压。,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,例如在图227电路中，共有4个节点，选节点0作基准，用接地符号表示，其余三个结点电压分别为，如图所示。这些节点电压不能构成一个闭合路径，不能组成KVL方程，不受 KVL约束，是一组独立的电压变量。任一支路电压是其两端节点电位之差或节点电压之差，由此可求得全部支路电压。图2-26所示电路各支路电压可表示为:,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,2.4.2 节点方程 下面以图2-27所示电路为例说明如何建立节点方程。列出用节点电压表示的电阻 VCR方程：（2-22）,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,返回,上一页,下一页,对电路的三个独立结点列出KCL方程：将式（2-22）代入KCL方程中，经过整理后得到：节点方程（2-23）式（2-23）可以概括为如下形式：（2-24）,2.4 节点电压法,式（2-24）是具有三个独立节点的节点电位方程的一般形式，有如下规律：（1）其中 称为节点自电导，它们分别是各结点全部电导的总和。此例中（2）称为结点i和j的互电导,是结点i和j间电导总和的负值，此例中（3）、是流入该结点全部电流源电流的代数和。此例中,。若是电压源与电阻串联的支路，则看成是已变换了的电流源与电导相并联的支路。当电流源的电流方向指向相应节点时取正号，反之，就取负号。,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,从上述推导可知，由独立电流源和线性电阻构成电路的节点方程，其系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出节点方程。由独立电流源和线性电阻构成的具有n个节点的连通电路，其节点方程的一般形式为：（2-25）,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,根据以上分析，可归纳节点电位法的一般步骤如下：（1）指定连通电路中任一节点为参考节点，用接地符号表示。标出各节点电压，其参考方向总是独立节点为“+”，参考节点为“”。（2）用观察法列出(n-1)个节点方程。（3）联立并求解方程组，得到各节点电位。（4）选定支路电流和支路电压的参考方向，根据节点电位与支路电流的关系式，计算各支路电流或其他需求的电量。例2.12 图2-28所示电路，用节点电位法求各支路电流。解：该电路有3个节点，怡C为参考节点，独立节点A、B分别设为，列节点电位方程为,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,化简得：解方程组得：根据图中标出的各支路电流的参考方向，可计算得：,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,例2.13 图2-29所示电路，用节点电位法求解电流。解：该电路有4个节点，以0为参考节点，独立节点a、b、c的电位分别设为。因为c节点与参考节点0之间仅连接理想电压源，则，再分别列写节点a、b的节点电位方程：节点a：节点b：,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,联立，化简得解得 对节点c，有,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,例2.14 图2-30所示电路，用节点电位法求两个电压源中的电流 及。解：该电路有4个节点，以0为参考节点，独立节点电位分别设为。节点b与参考节点0之间仅连接理想电压源，则。节点a与c之间也连接有理想电压源，有。用5V理想电压源的电流，作为未知变量来列写节点方程。节点a、c的方程分别为节点a：节点c：,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,联立化简，还要增加两个辅助方程联立这四个式子，解得再列写节点b的节点电位方程，此时20V的电压源可看成是电流源，有,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,所以，两个电压源中的电流。节点电位法的注意事项如下：(1)选择参考点时,其一,原则上选择任何一个节点均可以,但习惯上使参考点与尽可能多的节点相邻,这样,求出各节点电位后计算支路电流较方便；其二,若电路含有理想电压源支路,应选择理想电压源支路所连的两个节点之一作参考点,这样,另一点的电位等于理想电压源电压,使方程数减少。若二者发生矛盾,应优先考虑第二点。(2)与理想电流源串联的电阻对各节点电位不产生任何影响,这是因为理想电流源的等效内阻为无穷大的缘故。(3)与理想电压源并联的电阻两端电压恒定,对其它支路电流不产生任何影响,故也不影响各节点电位的大小。,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,(4)前面所讨论的是具有三个和三个以上节点的电路,若电路中仅有两个节点(如图2-31所示电路),应用节点电位法最为简单,该电路的电位方程为,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,可直接计算出,这一特殊情况下的节点电位法称做弥尔曼定理。其一般为式为（2-26）分子为流入节点A的等效电流源之和，分母为节点A所连接各支路的电导之和。例2.15 用节点电位法求图2-32所示电路中各支路电流。已知。解：设0点为参考点,则节点电压为,返回,上一页,下一页,2.4 节点电压法,由欧姆定律及KVL得,返回,上一页,2.5 叠加定理,叠加性是自然界的一条普遍规律，例如：在力学中，两个分力的合力等于分力的矢量叠加。对于线性电路，当电路中有多个激励时，总响应同样是各个激励分别产生的响应的线性叠加。叠加定理是分析线性电路的一个重要定理，下面以图2-33所示电路说明线性电路的叠加性。图2-33（a）电路，由弥尔曼定理得（2-27）,返回,下一页,2.5 叠加定理,由式（2-27）可以看出，由两项组成，其中第一项，是当 时，电压源单独作用的结果，它与 成正比关系，如图2-33（b）所示；第二项，是当 时，电流源单独作用的结果，它与 成正比关系，如图2-33（c）所示。电路中其他各处的电压和电流也具有相同的性质，这就是电路的叠加性。上述结论推广到一般情况，在含有多个激励源的线性电路中，任一支路的电流（或电压）等于各理想激励源单独作用在该电路时，在该支路中产生的电流（或两点间产生的电压）的代数和（叠加）。线性电路的这一性质称之为叠加定理。,返回,上一页,下一页,2.5 叠加定理,应用叠加定理的注意事项：（1）叠加定理仅适用于线性电路，不能用于非线性电路。（2）将含有多个电源的电路，分解成若干个仅含有单个电源的分电路。并给出每个分电路的电流或电压的参考方向。在考虑某一电源作用时，其余的理想电源应置为零，即理想电压源短路；理想电流源开路。其他元件的连接方式都不应有变动。（3）叠加时要注意电流与电压的参考方向。叠加是代数量相加，当分量与总量的参考方向一致，取“+”号；与总量的参考方向相反，则取“”号。（4）叠加定理不能用于计算电路的功率，因为功率是电流或电压的二次函数。,返回,上一页,下一页,2.5 叠加定理,例：假设利用叠加定理来计算功率得 而实际上，单独作用时功率之和为 例2.16 图2-34（a）所示电路中,有电压源和电流源共同作用。已知,试用叠加定理求各支路电流。,返回,上一页,下一页,2.5 叠加定理,解：(1)首先将原电路分解成每一个电源单独作用时的电路模型。图2-34(b)为电压源 单独作用时的电路模型。由于电流源不作用,即令,所以电流源开路。图2-34(c)为电流源单独作用时的电路模型。此时电压源 不作用,令=0,所以电压源短路。图2-34(a)电路中任一支路的电流(或电压)是(b)电路与电路(c)中相应支路电流(或电压)的叠加。并且要把待求量的参考方向标在图上,以便于叠加。(2)按每一个电源单独作用时的电路模型求出每条支路的电流或电压。由图2-34(b)求出电压源单独作用时各支路电流。,返回,上一页,下一页,2.5 叠加定理,因为电阻R开路,所以由图2-34(c)求出电流源单独作用时各支路电流又因为R1和R2并联,利用分流公式得,返回,上一页,下一页,2.5 叠加定理,(3)各电源单独作用时电流或电压的代数和就是各支路的电流或电压值。例2.17 利用叠加定理，求如图2-35(a)所示电路中的电流。解：画出各独立电源单独作用下的电路图，分别如图2-35(b)、(c)、(d)、(e)所示，求单独作用时的响应。,返回,上一页,下一页,2.5 叠加定理,由（b）图，由（c）图，由（d）图，由（e）图，由叠加性，,返回,上一页,下一页,2.5 叠加定理,线性电路除具有叠加性外，还具有另一特性，即齐次性。当所有激励（电压源和电流源）都同时增大或缩小K倍（K为实常数），电路响应（电压和电流）也将同样增大或缩小K倍，这就是齐性定理，它不难从叠加定理推导出来。应当指出，这里的激励是指独立电源，并且必须全部激励同时增大或缩小K倍，否则将导致错误。可以将例2.16中的电压源由10V增至20V，电流源由1A增至2A，根据齐性定理，电路中的各支路电流就要同时增大两倍，不信？自己动手试试。用齐性定理分析梯形电路非常方便。,返回,上一页,下一页,2.5 叠加定理,用齐性定理分析梯形电路非常方便。例2.18 如图2-36所示电路中，利用齐性定理，求出电路中各电流和电压。解：利用线性电路的齐次性来求解，为此，先设的数值，然后向前推算，设，按推算顺序可得：现给定，比 增大 倍，由齐次性，上述推得的各个电流，电压均要增大2.5倍，例如。,返回,上一页,2.6 戴维南定理,在线性电路分析中，往往只需计算某一支路的电压、电流、功率等物理量。此时，虽然可以用前面介绍的方法计算，但由于未知量较多，使计算过于烦琐。为了简化计算过程，可以把待求支路以外的部分电路等效成一个实际电压源或实际电流源模型，这种等效分别称作戴维南定理和诺顿定理。2.6.1 二端网络如图2-37所示，在线性电路中，待求支路以外的部分电路若含有独立电源就称作有源二端线性网络，用字母N表示。若不含有独立电源则称为无源二端网络，用字母 表示。,返回,下一页,2.6 戴维南定理,一个有源二端网络，不论它的简繁程度如何，当与外电路相连时，它就会像电源一样向外电路提供电能，因此，这个有源二端网络可以等效变换成一个电源。一个电源可以用两种电路模型表示：一种是理想电压源和电阻串联的实际电压源模型；另一种是理想电流源和电阻并联的实际电流源模型。这两种等效模型得出戴维南定理与诺顿定理。2.6.2 戴维南定理任意一个线性二端含源电路N，对其外部电路而言，可以用一个理想电压源和电阻的串联组合来等效。该理想电压源的电压值等于线性有源二端网络的开路电压，其串联电阻值为有源二端网络变成无源二端网络后的等效电阻，这就是戴维南定理，该电路模型称为戴维南等效电路。,返回,上一页,下一页,2.6 戴维南定理,戴维南定理的证明：在单口网络端口上外加电流源i,根据叠加定理，端口电压可以分为两部分组成。一部分由电流源单独作用(单口内全部独立电源置零)产生的电压 如图2-38（b）所示，另一部分是外加电流源置零(i=0)，即单口网络开路时，由单口网络内部全部独立电源共同作用产生的电压 如图2-38（c）所示。由此得到这就证明了含源线性电阻单口网络，在端口外加电流源存在惟一解的条件下，可以等效为一个电压源 和电阻Ro串联的单口网络。在证明戴维南定理的过程中应用了叠加定理，因此要求有源二端网络N必须是线性的。,返回,上一页,下一页,2.6 戴维南定理,只要分别计算出单口网络N的开路电压 和单口网络内全部独立电源置零(独立电压源用短路代替及独立电流源用开路代替)时单口网络 的等效电阻Ro，就可得到单口网络的戴维南等效电路。例2.19 求如图2-39(a)所示单口网络的戴维南等效电路。解：在单口网络的端口上标明开路电压 的参考方向，注意到端口电流I=0，可求得 将单口网络内1V电压源用短路代替，2A电流源用开路代替，得到图2-39(b)电路，由此求得 根据 的参考方向，即可画出戴维南等效电路，如图2-39(c)所示。,返回,上一页,下一页,2.6 戴维南定理,例2.20 用戴维南定理求图2-40(a)所示电路中流过 的电流。解：此题若将R2断开,则其余部分是一有源二端网络(端钮为a,b),但不易看出电路结构。如将c点也断开,则左右两边各为一个有源二端网络ac和bc(如图2-40(b)所示。)对左侧有源二端网络,可求得对右侧有源二端网络,因b、c端开路,所以流过,的电流即为,则,返回,上一页,下一页,2.6 戴维南定理,求 时,短路,开路,则b、c端等效电阻为整个电路等效为图2-40(c),故例2.21 如图2-41（a）所示电路，应用戴维南定理求电流I。,返回,上一页,下一页,2.6 戴维南定理,解：（1）求，电路如图2-41（b）所示当待求支路断开时，电路的开路电压为：（2）求，电路如图2-41（c）所示（3）求I，电路如图2-41（d）所示,返回,上一页,下一页,2.6 戴维南定理,应用戴维南定理求解电路的步骤归纳如下：（1）将待求支路从原电路中移开，求余下的有源二端网络N的开路电压。（2）将有源二端网络N变换为无源二端网络，即将理想电压源短路，理想电流源开路，内阻保留，求出该无源二端网络 的等效电阻。（3）将待求支路接入理想电压源 与电阻 串联的等效电源，再求解所需的电流或电压。,返回,上一页,2.7 诺顿定理,与戴维南定理的证明过程相同，既然有源二端网络能等效为理想电压源与电阻的串联形式，则一定也能等效为理想电流源与电阻的并联形式，即诺顿定理。诺顿定理可表述为：任何线性有源电阻性二端网络N，可以用一个电流为 的理想电流源和阻值为R0的电阻并联的电路模型来替代。其电流 等于该网络N端口短路时的短路电流；R0等于该网络N中所有独立电源置零时，从端口看进去的等效电阻。如图2-42所示，称为短路电流。Ro称为诺顿电阻，也称为输入电阻或输出电阻。电流源 和电阻Ro的并联单口，称为单口网络的诺顿等效电路。,返回,下一页,2.7 诺顿定理,在端口电压电流采用关联参考方向时，单口的 VCR方程可表示为（2-29）例2.22 如图2-43（a），用诺顿定理求解电路中的电流I。解：(1)将待求支路短路，如图2-43(b)所示。由图可求得短路电流为：(2)将图2-43(b)中的恒压源短路，得无源二端网络如图2-43(c)所示，由图可求得等效电阻Ro为：,返回,上一页,下一页,2.7 诺顿定理,(3)根据 和 画出诺顿等效电路并接上待求支路，得图2-43(a)的等效电路，如图2-43(d)所示，由图可求得I为：例2.23 根据诺顿定理，求出如图2-44(a)所示电路AB端的等效电流源模型。解：在图2-44（a）中，将A、B短路（图中用虚线表示），则 为,返回,上一页,下一页,2.7 诺顿定理,将图2-44（a）中的电流源与电压源置零后的电路如图2-44（b）所示，其等效电阻R0为 等效电流源模型如图2-44（c）所示。应用诺顿定理求解电路的步骤归纳如下：（1）将待求支路从原电路中移开，求余下的有源二端网络N的短路电流。（2）将有源二端网络N变换为无源二端网络，即将理想电压源短路，理想电流源开路，内阻保留，求出该无源二端网络 的等效电阻。（3）将待求支路接入理想电流源 与电阻 并联的等效电源，再求解所需的电流或电压。,返回,上一页,2.8 最大功率传输,本节介绍戴维南定理的一个重要应用。在测量、电子和信息工程的电子设备设计中，常常遇到电阻负载如何从电路获得最大功率的问题。在电子技术中，常要求负载从给定电源（或信号源）获得最大功率，这就是最大功率传输问题。这类问题可以抽象为图2-45(a)所示的电路模型来分析。网络N表示供给电阻负载能量的含源线性电阻单口网络，它可用戴维南等效电路来代替，如图2-45(b)所示。电阻 表示获得能量的负载。此处要讨论的问题是电阻 为何值时，可以从单口网络获得最大功率。,返回,下一页,2.8 最大功率传输,图2-45（b）中，流经负载的电流为负载所获得的功率为由此可见，负载得到的功率是关于可变负载 的非线性函数。要使P为最大值，应使，导数为零时才有极值点，即,返回,上一页,下一页,2.8 最大功率传输,得（2-30）所以负载与戴维南等效电路的输出电阻相等时，负载获得最大功率。此时，负载获得的最大功率为（2-31）,返回,上一页,下一页,2.8 最大功率传输,归纳以上结果可得结论：线性有源二端网络N向负载 传输功率时，当 时，负载 才能获得最大功率，其最大功率为，这就是最大功率传输定理。电路的这种工作状态称为负载与有源二端网络的“匹配”。负载 一定，等效电阻 可变化，则 时 最大。这里应当注意，负载获得最大功率时，电路的输出电阻 消耗的功率 也等于，即 仅是电源产生功率的一半，电源的效率仅为50%。对传输功率较小的线路（如电子线路），其主要功能是处理和传输信号，电路传输的能量并不大，人们总是希望负载上能获得较强的信号，把效率问题放在次要位置。,返回,上一页,下一页,2.8 最大功率传输,例如扩音机的负载是扬声器，若希望扬声器的功率最大，应选择扬声器的电阻等于扩音机的内阻。这种负载电阻等于电路输出电阻的状态，工程实际中称作功率匹配。对于传输功率较大的线路（如电力线路），不允许工作