电路原理第三章电阻电路的一般分析.ppt

第3章 电阻电路的一般分析,重点,熟练掌握电路方程的列写方法：支路电流法网孔电流法 回路电流法 结点电压法,线性电路的一般分析方法,(1)普遍性：对任何线性电路都适用。,（2）元件的电压、电流关系特性。,（1）电路的连接关系KCL，KVL定律。,方法的基础,(2)系统性：计算方法有规律可循。,复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和结点电压法。,网络图论,哥尼斯堡七桥难题,图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。在电路分析中，图论可作为数学工具来选择电路独立变量。,3.1 电路的图,1.电路的图,一个元件作为一条支路,元件的串联及并联组合作为一条支路,有向图,(1)图的定义(Graph),G=支路，结点,电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。,a.图中的结点和支路各自是一个整体。,b.移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。,c.如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。,这是数学意义的图定义，在电路图中，不可能存在孤立结点。,从图G的一个结点出发沿着一些支路连续移动到达另一结点所经过的支路构成路径。,(2)路径,（3）连通图,图G的任意两结点点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。,(4)子图,若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。,（5）树(Tree),T是连通图的一个子图、并且满足下列条件：,(1)连通(2)包含所有结点(3)不含闭合路径,树支：构成树的支路,连支：属于G而不属于T的支路,2）树支的数目是一定的：,连支数：,不是树,树,特点,1）对应一个图有很多的树,问：是否所有的图都可以生成树？,（6）回路(Loop),如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其他结点不重复出现，这条闭合路径就构成了图G的一条回路。,不是回路,回路,（7）平面图：一个图若它的各条支路除所联接的结点外不再交叉，这样的图称为平面图。,（8）网孔：对平面电路，其内部不含任何支路的回路称网孔。,（2，5，3）,（1，7，5，4，8，2）,（9）基本回路,支路数树枝数连支数结点数1基本回路数,结论,结点、支路和基本回路关系,基本回路具有独占的一条连枝,任一个树，每加进一个连支便形成了一个只包含该连支的回路，而构成此回路的其他支路均为树支。这样的回路称为单连支回路或基本回路，显然这组回路是独立的。,2）对应一个图有很多组基本回路；但任意一组基本回路的回路数目是固定的，等于连支数,图、树枝、基本回路关系小结：,3）对于平面电路，网孔数为基本回路数,1）对应一个图有很多树，但树支的数目是固定的：,例,图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。,3.2 KCL和KVL的独立方程数,1.KCL的独立方程数,1,4,3,2,结论,n个结点的电路,独立的KCL方程为n-1个。,上述四个方程并不相互独立，可由任意三个推出另一个，即只有三个是相互独立的。,独立方程对应的节点称为独立节点。,2.KVL的独立方程数,KVL的独立方程数=基本回路数=b(n1),结论,n个结点、b条支路的电路,独立的KCL和KVL方程数为：,下 页,上 页,返 回,3.3 支路电流法(branch current method),2b法：对于有n个节点、b条支路的电路，当以支路电流和电压为变量时，未知量共有2b个。只要列出2b个独立的电路方程，便可以求解这2b个变量。这种方法称为2b法。,2b法的独立方程：根据KCL列出(n-1)个独立方程，根据KVL列出(b-n+1)个独立方程；根据支路元件的VCR可以列出b个独立方程，共计2b个。,2b法举例,n=4,b=6;独立方程数为12,根据VCR关系,根据KCL,根据KVL,对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。,以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,支路电流法,支路电流法独立方程,（1）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程,（2）选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程,相当于将2b法中的电压变量直接利用支路VCR表示，变量减少为b个。,例,1,3,2,有6个支路电流，需列写6个方程。KCL方程:,取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列KVL写方程:,回路1,回路2,回路3,支路电流法的一般步骤：,(1)标定各支路电流（电压）的参考方向；,(2)选定(n1)个节点，列写其KCL方程；,(3)选定b(n1)个独立回路，列写其KVL方程；(元件特性代入),(4)求解上述方程，得到b个支路电流；,(5)进一步计算支路电压和进行其它分析。,支路电流法的特点：,支路法列写的是 KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。,例1.,节点a：I1I2+I3=0,(1)n1=1个KCL方程：,求各支路电流及电压源各自发出的功率。,解,(2)b(n1)=2个KVL方程：,11I2+7I3=6,7I111I2=70-6=64,21,几种特殊支路,无伴生的独立电流源：即无电阻与独立电流源并联,(3)受控电源,(2)无伴生的独立电压源：即无电阻与独立电压源串联,例2.,节点a：I1I2+I3=0,(1)n1=1个KCL方程：,求支路电流和电源发出的功率,解1.,(2)b(n1)=2个KVL方程：,11I2+7I3=U,7I111I2=70-U,增补方程：I2=6A,+U_,得 I1=2A；I26A；I38A；U122V,电压源发出功率 P=70I1=140W；电流源发出功率PU I2732W,利用支路电流与无伴生电流源之间关系,由于I2已知，故只列写两个方程,节点a：I1+I3=6,避开电流源支路取回路：,7I17I3=70,得 I1=2A；I26A；I38A；,电流源两端电源U11I27I3122V,+U_,电压源发出功率 P=70I1=140W；电流源发出功率PU I2732W,提示：电路包含无伴生电流源时，有两种方法列支路电流方程。,(1)把电流源两端的电压U视为变量，并增加一个增补方程；(2)把电流源所在支路电流视为已知值，只要列出b-1个方程。,例3.,节点a：I1I2+I3=0,求支路电流(电路中含有受控源）,解,11I2+7I3=2U,7I111I2=70-2U,增补方程：U=7I3,提示：电路包含受控电源，支路电流法方程列写分两步：,(1)先将受控源看作独立源列方程，列出b个独立方程；(2)将控制量用支路电流表示，得到增补方程。,得 I1=8/3A；I214/3A；I322/3A；,利用支路电流与受控电源控制量的关系,例4.,用支路电流法求支路电流ix和iy。,电路中有受控电流法，可把它视为独立电流源，并且其所在支路电流为已知，如图设其他支路的电流。一共有(6-1)个变量,列出KCL方程(选择独立结点),i1i3ix,i3iy2u0,i2iyi1,列出KVL方程(选择的基本回路不要包含受控电流源所在支路),I,2i13iy1i30,2i1i2160,增补方程：u3iy,解方程可得：i1=5A i2=6A i3=7A ix12A iy1A,例5.,列写支路电流方程.(电路中含有受控源）,R4,u2,i1,i3,uS,i1,R1,R2,R3,b,a,+,+,i2,i6,i5,u,c,i4,+,R5,+,u2,KCL方程(n-1)：,-i1-i2+i3+i4=0(1)-i3-i4+i5 i6=0(2),KVL方程(b-n+1)：,R1i1-R2i2=uS(3)R2i2+R3i3+R5i5=0(4)R3i3+R4i4=-u2(5)R5i5=u(6),补充方程：,i6=i1(7)u2=-R2i2(8),n=3,b=6,3.4 网孔电流法,1.网孔电流法,以网孔电流作为电路的独立变量，列写电路方程分析电路的方法。仅适用于平面电路。,基本思想,由于网孔电流已经满足了KCL的约束关系，所以用网孔电流法作为电路变量求解时只需要列出KVL方程。,提示,n个结点、b条支路的平面电路中，网孔数等于基本回路数b-n+1，网孔电流变量数也为b-n+1,28,2.独立方程的列写,（1）根据网孔列写b-(n-1)个KVL方程,网孔电流法举例(支路电流与网孔电流关系),支路电流与网孔电流的关系:i1=im1;i2=(im1 im2);i3=im2,列网孔KVL方程:-us1+R1im1+R2(im1-im2)+us2=0-R2(im1-im2)-us2+R3 im2+us3=0,相当于将支路电流法中的支路电流用网孔电流法来表示，变量减少为b-n+1个。,R11=R1+R2 网孔1的自电阻。等于网孔1中所有电阻之和。,R22=R2+R3 网孔2的自电阻。等于网孔2中所有电阻之和。,自电阻总为正。,R12=R21=R2 网孔1、网孔2之间的互电阻。,当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,us11=uS1-uS2 网孔1中所有电压源电压的代数和。,us22=uS2 uS3 网孔2中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向与该网孔方向一致时，取负号；反之取正号。,推广:R11im1+R12 im2+R13 im3+-+R1mimm=us11R21im1+R22im2+R23 im3+-+R2mimm=uS22-Rm1im1+Rm2im2+Rm3 im3+-+Rmmimm=uSmm,网孔电流法的一般步骤：,(1)选定l=b-(n-1)个网孔，并确定其电流绕行方向；,(2)对l 个网孔，以网孔电流为未知量，列写其KVL方程；,(3)求解上述方程，得到l 个网孔电流；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用网孔电流表示)；,与支路电流法比较，网孔电流法的方程总数少了n-1个。,例：用网孔法求各支路电流R1=60,R2=20,R3=40,R4=40；Us1=50V，Us2=10V,Us4=40,解：,(1)设选网孔电流(顺时针),(2)列 网孔KVL 方程,(R1+R2)I1-R2I2=US1-US2,-R2I1+(R2+R3)I2-R3I3=US2,-R3I2+(R3+R4)I3=US4,(3)求解网孔电流方程，得 I1=0.786,I2=1.143,I3=1.071,(4)求各支路电流：Ia=I1,Ib=I2-I1,Ic=I3-I2,Id=-I3,(5)校核：选一新回路。60Ia-40Id 50+40 即90=90,3.5 回路电流法(loop current method),基本思想,假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示。来求得电路的解。,1.回路电流法,以基本回路组中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为未知量时，称网孔法,基本回路为数2。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为：,回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：,列写的方程,与支路电流法相比，方程数减少n-1个。,回路1：R1 il1-R2(il2-il1)-uS1+uS2=0,回路2：R2(il2-il1)+R3 il2-uS2=0,整理得：,(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2,-R2il1+(R2+R3)il2=uS2,2.方程的列写,R11=R1+R2 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。,观察可以看出如下规律：,R22=R2+R3 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。,自电阻总为正。,R12=R21=R2 回路1、回路2之间的互电阻。,当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,ul1=uS1-uS2 回路1中所有电压源电压的代数和。,ul2=uS2 回路2中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。,由此得标准形式的方程：,对于具有 l=b-(n-1)个基本回路的电路，有:,其中:,Rjk:互电阻,+:流过互阻的两个回路电流方向相同,-:流过互阻的两个回路电流方向相反,0:无关,Rkk:自电阻(为正),37,若如图选取回路，列出回路电流方程。,回路1：(R1+R2)il1+R1il2=uS1-uS2,回路2：R1il1+(R1+R3)il2=uS1,回路法的一般步骤：,(1)选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；,(2)对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；,(3)求解上述方程，得到l 个回路电流；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用回路电流表示)；,例1,用回路电流法求解电流 i.,解1,独立回路有三个，选网孔为独立回路：,解2,只让一个回路电流经过R5支路,特点,（1）待求支路电流直接得到,（2）互电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻,3.理想电流源支路的处理(无伴生电流源处理),方法1:引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。,例2,电流源两端电压视为变量,增补方程：,利用回路电流与电流源电流值的关系,方法2:选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即 iS。,例3,为已知电流，减少了一个KVL方程,下 页,上 页,返 回,4.受控电源支路的处理,对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源，按上述方法列方程；再将控制量用回路电流表示。,与电阻并联的电流源，可做电源等效变换。（伴生电流源的处理）,例4,受控电压源看作独立电压源列方程,增补方程：,利用回路电流与受控电源控制量的关系,例5,列回路电流方程,解1,选网孔为独立回路,U2,U3,增补方程：,n=5,b=8,解2,如图选择回路，使得每个电流源仅在一个回路中。,增补方程：,例6,用回路电流法求电路中电压U，电流I和电压源产生的功率。,解,如图选择电路的基本回路,il1,il2,il3,例7,用回路电流法求电路中电压U。,解,如图选择电路的基本回路，将6A电流源只包含在回路3中。列方程:,（1015）il110il23U,10il1（10123）il2il33U,il36,增补方程：,U15il1,联立方程求解得：,il12A il2=4A,U30V,例8,用回路电流法求电路中电压u1。,解,电路中有无伴生的独立电流源和受控电流源，如图选择回路。,il1,il3,il2,il4,分别在4个路中列出方程：,增补方程：,u12(il3il2),i1il1,联立方程求解得：,il11/3A il24.5A il415Au15V,3.6 结点电压法(node voltage method),选结点电压为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL 方程。各支路电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。,基本思想：,以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。,1.结点电压法,uAB+uBD+uDA(uA-uB)+(uB-uD)+(uDuA)0,KVL自动满足,KVL说明,在如图所示的回路中应用KVL,2.方程的列写,选定参考结点，标明其余 n-1个独立结点的电压,方程数目,结点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方程数为：,与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。,(2)列KCL方程：,i1+i2=iS1+iS2,-i2+i3+i4=0,把支路电流用结点电压表示,-i3+i5=-iS2,整理，得：,令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5,上式简记为：,G11un1+G12un2 G13un3=iSn1,G21un1+G22un2 G23un3=iSn2,G31un1+G32un2 G33un3=iSn3,标准形式的结点电压方程,等效电流源,其中,G11=G1+G2 结点1的自电导，等于接在结点1上所有 支路的电导之和。,G22=G2+G3+G4 结点2的自电导，等于接在结点2上所有 支路的电导之和。,G12=G21=-G2 结点1与结点2之间的互电导，等于接在 结点1与结点2之间的所有支路的电导之 和，为负值。,自电导总为正，互电导总为负。,G33=G3+G5 结点3的自电导，等于接在结点3上所有支路的电导之和。,G23=G32=-G3 结点2与结点3之间的互电导，等于接在结 点1与结点2之间的所有支路的电导之和，为负值。,计算电导需注意的问题：（1）一条支路上有多个电阻；（2）两个结点间有多条支路上存在电阻,iSn2=-iS2uS/R5 流入结点2的电流源电流的代数和。,iSn1=iS1+iS2 流入结点1的电流源电流的代数和。,由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用结点电压表示：,流入结点取正号，流出取负号。,一般情况,其中,Gii 自电导，等于接在结点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。电流源支路的电导总是为0。,iSni 流入结点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij=Gji互电导，等于接在结点i与结点j之间的所支路的电导之和，总为负。,结点法的一般步骤：,(1)选定参考结点，标定n-1个独立结点；,(2)对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程；,(3)求解上述方程，得到n-1个结点电压；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用结点电压表示)；,试列写电路的节点电压方程。,(G1+G2+GS)U1-G1U2GsU3=USGS,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3=USGS,例1,使用结点电压法求出i1，i2。,例2,解：选定参考结点，列出结点方程如下：,解以上方程得：,所以：,3.无伴电压源支路的处理,（1）以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系,(G1+G2)U1-G1U2=I,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,-G4U2+(G4+G5)U3=I,U1-U3=US,看成电流源,增补方程,利用结点电压与电压源电压值的关系,特殊支路的处理,（2）选择合适的参考点,U1=US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,选择无伴生电压源的一端作为参考结点。,4.受控电源支路的处理,对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。,先把受控源当作独立 源列方程；,(2)增补方程,列写电路的结点电压方程。,例3,利用结点电压与受控电源控制量关系,设参考点，把受控源当作独立源列方程；,(2)用结点电压表示控制量。,列写电路的结点电压方程。,例4,解,例5,列写电路的结点电压方程。,注：与电流源串接的 电阻不参与列方程,增补方程：,U=Un3,例6,求U和I。,解得：,本章小结,以哪些物理量为未知变量。,3.各种方法如何处理特殊电源。1）支路电流法中的无伴生理想电流源和受控电源。2）回路电流法中的无伴生电流源和受控电源。3）结点电压法中的无伴生电压源合受控电源。,2.如何列出各种方法所需要的方程。,注意,计算自电阻、互电阻、自电导和互电导；计算回路的电压代数和，结点的电流源代数和,支路法、网孔法、回路法和结点法的比较：,(2)对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。,(1)方程数的比较,分别列出电路的结点电压方程和回路电流方程。,结点电压方程：,回路电流方程：,第3章 习题课,1.简答题,（1）目前掌握分析电路的基本方法有哪两种？,（2）电路分析方程法（支路电流法、回路电流法、结点电压法）的理论基础是什么？,（1）电路方程法和电路等效方法,（2）电路方程法是以KCL、KVL和VCR为理论基础，选择适当的电路变量，建立一组独立的电路方程并予以求解的方法。因选取电路变量不同，分为支路电流法、回路电流法和结点电压法。,（3）对于一个具有n个结点、b条支路的线性电路，回路电流法是以(b-n+1)个独立且完备的回路电流为未知量，结点电压法是以(n-1)个独立且完备的结点电压为未知量。,（4）网孔法仅适用于平面电路。结点法和回路电流法能适用于平面电路和非平面电路，因而更具有一般性。,（3）回路电流法、结点电压法的未知变量各为多少？,（4）网孔电流法、结点电压法和回路电流法对电路的适用性如何？,2.对图中所示非平面图，（1）选择支路（1，2，3，4）为树；（2）选择支路（5，6，7，8）为树，问独立回路各有多少？求其基本回路组？,电路结点n5，支路数b10，故其独立回路数lbn16,解,(1)若选择（1，2，3，4）为树,(2)若选择（5，6，7，8）为树,则图所对应的基本回路组为1，2，3，4，5；1，2，6;1，2，3，7;2，3，4，8;3，4，9;2，3，10。,则图所对应的基本回路组为1，5，8；2，6，5，8；3，6，7;4，5，7;5，6，9；5，7，8，10。,3.用回路电流法求解图示 电路中电压U0？,解,选网孔为独立回路,对回路、和，列出方程,增补方程,选外层回路列KVL方程：,U012V,4.使用回路电流法求解图中电源元件的功率,解,如图选择独立回路,对回路、和，列出方程,增补方程,10V电压源吸收功率P10(il2+il3)=0w,15A电流源发出功率P=10*(U010)100W,受控源发出功率P=U0/2*3*(il1+il3)+U0=200W,5.列出如图所示电路的结点电压方程,解,选取参考结点，标定独立结点,列出独立结点方程,增补方程,列写结点电压方程的基本方法和技巧:（1）不要将与受控电流源串联的电阻记入结点的自电导中，因为结点电压法本质就是列出以结点电压为变量表示的相应结点的KCL方程，根据KCL，电流源支路的电流等于电流源的电流，与电流源所串联的电阻无关。这个处理原则对独立电流源的情况显然同样适用。（2）如果电路中含有无伴生电压源支路，而题中又未指定参考结点时，可以选择无伴生电压源相关的两个结点之一作为参考结点，则另一结点的电压就等于此电压源的正值或负值，这样就无需对该结点列出KCL方程。本题中无伴生独立电压源和受控电压源串联起来，可以看成一个无伴生电压源，处理方法不变。（3）因为无伴生电压源支路的电流无法直接用结点电压表示，所以本题中的控制量i2需要用KCL表示为电阻R5和R6支路电流代数和，而后两者支路电流是可以用结点电压来表示，从而将控制量i2表示为结点电压。,6.列出结点电压方程，并求解出各点电位,解,选取参考结点，标定独立结点,列出独立结点方程,增补方程,7.用结点法求i1，i2，i3及4i3受控电流源发出的功率。,解,选取参考结点，标定独立结点,列出独立结点方程,增补方程,故受控电流源电流4i3=0，则发出功率为0,8.求电流I。,解,先将电路图作等效变换如图所示。,再分别使用回路电流法和结点电压法求解。,解,选择回路及其绕行方向。,列出回路电流方程,回路电流法求解,增补方程,I=il3=2.45mA,解,选择参考结点，标定独立结点。,列出独立结点方程,结点电压法求解,增补方程,