电磁场理论第3章：恒定电场与静磁场.ppt
第三章 恒定电流的电场和磁场,3.1 恒定电流的电场 3.2 磁感应强度 3.3 恒定磁场的基本方程 3.4 矢量磁位 3.5 磁偶极子 3.6 磁介质中的场方程 3.7 恒定磁场的边界条件 3.8 标量磁位 3.9 互感和自感 3.10 磁场能量 3.11 磁场力,3.1 恒定电流的电场,3.1.1 电流密度,图 3-1 电流密度,设通过S的电流为I，则该点处的电流密度 J为,电流密度的单位是安培/米2(A/m2)。导体内每一点都有一个电流密度，因而构成一个矢量场。我们称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即,图 3-2 面电流密度,电流分类：传导电流与运流电流（见书P48）,对于运流电流：,2.电荷守恒定律,（补充图再介绍）,应用散度定理得：,要使这个积分对任意的体积V均成立，必须使被积函数为零，即,定义,的电流为恒定电流,3.1.3 欧姆定律的微分形式,表 3-1 常用材料的电导率,实验结论：,（J为传导电流！）,（说明并推导与I=U/R的关系）,3.1.4 焦耳定律,当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电场力对电荷所作的功，即功率是,在导电体中，沿电流线方向取一长度为l、截面为S的体积元，该体积元内消耗的功率为,(板书画图）,当V0，取P/V的极限，就得出导体内任一点的热功率密度，表示为,或,此式就是焦耳定律的微分形式。应该指出，焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能。,3.1.5 恒定电场的基本方程,我们将电源外部导体中恒定电场的基本方程归纳如下：,与其相应的积分形式为,电流密度J与电场强度E之间满足欧姆定律 J=E。,由于恒定电场的旋度为零，因而可以引入电位,E=-。在均匀导体内部(电导率为常数)，有,3.1.6 恒定电流场的边界条件,图 3-4 边界条件,或,如前推导可得，恒定电流场的边界条件为,例 3-1 设同轴线的内导体半径为a,外导体的内半径为b，内、外导体间填充电导率为的导电媒质，如图 3-5 所示，求同轴线单位长度的漏电电阻。,图 3-5 同轴线横截面,解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过半径为r的任一圆柱侧面的漏电电流为I，则媒质内任一点的电流密度和电场为,内、外导体间的电压为,电导,于是，电阻,*3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟,表 3-2 恒定电场与静电场的比较,3.2 磁 感 应 强 度,图 3-8 安培定律,R,安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一电流元dl1对另一载有电流I2的回路C2上任一电流元dl2的作用力表示为,令,(举例说明),(安培力),(毕-萨定理),3.3 恒定磁场的基本方程,1.磁通连续性原理,磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量(或磁通)，单位是Wb(韦伯)，用表示：,如S是一个闭曲面，则,上式中 故可将其改写为,由矢量恒定式,P287(A1.13),P287(A1.1),则有,而梯度场的旋度为零，,所以,积分形式,P287(A1.9),使用散度定理，得到,由于上式中积分区域V是任意的，所以对空间的各点，有,上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度B是一个无源(指散度源)场。,磁通连续性方程,P287(A1.12.),2.安培环路定律,当穿过积分回路C的电流是几个电流时，可以将式(3-36)改写为一般形式：,根据斯托克斯定理，可以导出安培回路定理 的微分形式：,由于,P287(A1.13),因积分区域S是任意的，因而有,上式是安培环路定律的微分形式，它说明磁场的涡旋源是电流。我们可用此式从磁场求电流分布。对于对称分布的电流，我们可以用安培环路定律的积分形式，从电流求出磁场。,安培环路定理,例:半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。,解:,在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，,r a,ra,当ra时，积分回路包围的电流为I；当ra时，包围电流为Ir2/a2。当ra时：,当ra时：,*写成矢量形式为,r a,ra,3.4 矢 量 磁 位,可以令,称式中的A为矢量磁位(简称磁矢位)，其单位是Tm(特斯拉米)或Wb/m(韦伯/米)。矢量磁位是一个辅助量。式仅仅规定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因为若B=A，另一矢量A=A+，其中是一个任意标量函数，则,令,（库仑规范）,使用矢量恒等式,上式是磁矢位满足的微分方程，称为磁矢位的泊松方程。对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即,*,*,类比静电场公式，得,*,*,*,*,*,*,合并上三个分量式，将其写成矢量形式：,若磁场由面电流JS产生，容易写出其磁矢位为,同理，线电流产生的磁矢位为,磁通的计算也可以通过磁矢位表示：,（类比电位公式）,*,*例 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。,图 3-11 直导线磁矢位,解:,当lz时，有,上式中，若再取lr,则有,当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，可以得出,从上式，用圆柱坐标的旋度公式，可求出,*例 用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。,解：,r a,ra,从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即,设在导线内磁位是A1,导线外磁位是A2，,ra时，,ra时，,可以求出导线内、外的磁场分别为,导体外部的磁感应强度为,在r=a处B1=B2，有,3.5 磁 偶 极 子,概念磁偶极子：通电小圆环。定义磁偶极矩：,3.6 磁介质中的场方程,1.磁化强度M,式中Pm是分子磁矩，求和对体积元V内的所有分子进行。磁化强度M的单位是A/m(安培/米)。,定义,2.磁化电流,图 3-13 磁化介质的场,全部磁介质在r处产生的磁矢位为,可以将上式改写为,*,*,*,*,*,等效磁化体电流：,等效磁化面电流：,1：如何理解“等效”？2：与极化电荷的区别？,图 3-14 磁化电流示意图,例 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图 3-15 所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流JmS。,图 3 15 例 3-7用图,解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，M=M0ez，由式(3-52)得磁化电流为,在界面z=0上，n=-ez,在界面z=L上，n=ez，,在界面r=a上，n=er,3.磁场强度,在外磁场的作用下，磁介质内部有磁化电流Jm。磁化电流Jm和外加的电流J都产生磁场，这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式：,令,其中H称为磁场强度，单位是A/m(安培/米)。于是有,与上式相应的微分形式是,4.磁导率,实验得知，M与H间的关系为,式中m是一个无量纲常数，称为磁化率。非线性磁介质的磁化率与磁场强度有关，非均匀介质的磁化率是空间位置的函数，各向异性介质的M和H的方向不在同一方向上。顺磁介质的m为正，抗磁介质的m为负。这两类介质的m约为 10-5量级。,式中，r=1+m，是介质的相对磁导率，是一个无量纲数；=0r，是介质的磁导率，单位和真空磁导率相同，为H/m(亨/米)。铁磁材料的B和H的关系是非线性的，并且B不是H的单值函数，会出现磁滞现象，其磁化率m的变化范围很大，可以达到106量级。,5.磁介质中恒定磁场基本方程,例 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图 3-16 所示。设内、外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的磁导率为，求各区域的H、B、M。,同轴线示意图,解：以后如无特别声明，对良导体(不包括铁等磁性物质)一般取其磁导率为0。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场只有分量，且其大小只是r的函数。分别在各区域使用介质中的安培环路定律C Hdl=S JdS，求出各区的磁场强度H，然后由H求出B和M。当ra时，电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培环路定律得,考虑这一区域的磁导率为0，可得,(r a),(r a),当arb时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，可得,(arb),当brc时，考虑到外导体电流均匀分布，可得出与积分回路交链的电流为,则,当rc时，这一区域的B、H、M为零。,3.7 恒定磁场的边界条件,图 3-17 Bn的边界条件,设底面和顶面的面积均等于S。将积分形式的磁通连续性原理(即S BdS=0)应用到此闭合面上，假设圆柱体的高度h趋于零，得,写成矢量形式为,即,图:Ht的边界条件,将介质中积分形式的安培环路定律,应用在这一回路，得,若界面上的电流可以看成面电流，则,于是有,考虑到l=bn,得,使用矢量恒等式,如果无面电流(JS=0)，这一边界条件变成为,用下标t表示切向分量，上式可以写成标量形式：,上式两式相除，并注意B2=2H2,B1=1H1,得,这表明，磁力线在分界面上通常要改变方向。若介质1为铁磁材料，介质2为空气，此时2 1,因而2 1，由式(3-66)得B2 B1。假如1=10000,2=0，在这种情况下，当=87时，2=1.09，B2/B1=0.052。由此可见，铁磁材料内部的磁感应强度远大于外部的磁感应强度，同时外部的磁力线几乎与铁磁材料表面垂直。,3.9 互 感 和 自 感,在线性磁介质中，任一回路在空间产生的磁场与回路电流成正比，因而穿过任意的固定回路的磁通量也是与电流成正比。如果回路由细导线绕成N匝，则总磁通量是各匝的磁通之和。称总磁通为磁链，用表示。对于密绕线圈，可以近似认为各匝的磁通相等，从而有=N。,一个回路的自感定义为回路的磁链和回路电流之比，用L表示，即,自感的单位是H(亨利)。自感的大小决定于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率。,图：互感,(黑板画图),互感的单位与自感相同。同样，我们可以用载流回路C2的磁场在回路C1上产生的磁链21与电流I2的比来定义互感M21，即,互感的大小也取决于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率和回路的匝数。可以证明：M12=M21,例：P71 3-9,解：设导线中电流为I，由无限长导线的磁场公式，可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为,磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为,所以单位长外自感为,类似于静电场的能量可以用电场矢量D和E表示，磁场能量也可用磁场矢量B和H表示，并由此得出磁通密度的概念。,磁场能量密度为,3.10 磁场能量,例 同轴线单位长度自感和储能（黑板补充）*例 求无限长圆柱导体单位长度的内自感。解：设导体半径为a，通过的电流为I，则距离轴心r处的磁感应强度为,单位长度的磁场能量为,单位长度的内自感为,
