电工学-第2章电路的瞬态分析.ppt

1,第 2 章 电路的瞬态分析,2.1 瞬态分析的基本概念,2.2 储能元件,2.3 换路定律,2.4 RC 电路的瞬态分析,2.5 RL 电路的瞬态分析,2.6 一阶电路瞬态分析 的三要素法,下一章,上一章,返回主页,大连理工大学电气工程系,2,2.1 瞬态分析的基本概念,一、稳态和瞬态,电路的结构和元件的参数一定时，电路的工作状态一定，电压和电流不改变。这时电路所处的状态称为稳定状态，简称稳态。,当电路在接通、断开、改接以及参数和电源发生突变时，都会引起电路工作状态的变化。,换路,大连理工大学电气工程系,3,换路后为什么会有瞬态过程？,换路后，旧的工作状态被破坏、新的工作状态在建立，电路将从一个稳态变化到另一个稳态，这种变化往往不能瞬间完成，而是有一个瞬态过程。,电路在瞬态过程中所处的状态称为瞬态状态，简称瞬态。,换路是引起瞬态过程的外因。,电容中的电场能和电感中的磁场能的不能突变是引起瞬态过程的内因。,大连理工大学电气工程系,4,二、激励和响应,电路从电源（包括信号源）输入的信号统称为 激励。激励有时又称输入。,电路在外部激励的作用下，或者在内部储能的 作用下产生的电压和电流统称为响应。响应有 时又称输入。,(1)零输入响应,电路在无外部激励的情况下，仅由内部储能元件中所储存的能量引起的响应。,按照产生响应原因的不同，响应可分为：,大连理工大学电气工程系,5,(2)零状态响应,(3)全响应,在换路时储能元件未储存能量的情况下，由激励所引起的响应。,在储能元件已储有能量的情况下，再加上外部激励所引起的响应。,在线性电路中:全响应零输入响应零状态响应,大连理工大学电气工程系,6,阶跃响应即在直流电源作用下的响应。,按照激励波形的不同，零状态响应和全响应可分为阶跃响应、正弦响应和脉冲响应等。,U,0,当 t 0 时,U,当 t 0 时,阶跃激励,换路前电路与电源断开,换路后电路与电源接通,在阶跃激励作用下的响应称为阶跃响应。,大连理工大学电气工程系,7,一、电容元件,电容元件是储能元件，电容元件将电源传输给它的电能以电场能量的形式储存起来。所以电容元件具有储存电场能量的物理性质。,电容元件用字母C来表示，其国际标准单位为法拉（F），经常用的辅助单位还有微法拉（F）、皮法拉（pF），它们之间的换算关系为：,2.2 储能元件,大连理工大学电气工程系,8,电容图片,陶瓷电容,云母电容,薄膜电容,复合介质电容,铝电解电容,钽电解电容,真空电容,大连理工大学电气工程系,9,（伏）V,库仑（C）,法拉（F）,若C为大于零的常数,则称为线性电容。,当电容器极板两端加电源后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在介质中建立起电场，其电荷量q与所加电压u成比例，这个比例系数就称为电容。,若电路的某一部分只具有储存电场能量的性质时，称它为理想电容元件。,符号,大连理工大学电气工程系,10,电容器的电容与极板的尺寸及其间介质的介电常数等关。,当电压u随时间变化时，在电路中产生电流:,或,在直流稳态时，i=0电容相当于直流开路。,电容的属性隔直流、通交流,大连理工大学电气工程系,11,电容的瞬时功率,把电能转换成了电场能。,电场能又转换成了电能。,电压与电流关系,大连理工大学电气工程系,12,t=0 t=t0,电容中储存的电场能,u=0 u=U,从外部输入的电能,若外部不能向电容提供无穷大的功率,电场能就不可 能发生突变。因此，电容的电压 u 不可能发生突变。,由于,大连理工大学电气工程系,13,电容串联时,电容并联时,C C1C2,大连理工大学电气工程系,14,二、电感元件,电感元件是储能元件，电感元件将电源传输给它的电能以磁场能量的形式储存起来。所以电感元件具有储存磁场能量的物理性质。,电感元件用字母L来表示，其国际标准单位为亨利（H），经常用的辅助单位还有毫亨利（mH），它们之间的换算关系为：,大连理工大学电气工程系,15,电感图片,磁棒电感线圈,双层空心电感线圈,工字形电感线圈,贴片电感,铁心电感线圈,磁珠电感,多层空心电感线圈,大连理工大学电气工程系,16,单匝线圈,若规定感应电动势的方向与磁通的方向符合右螺旋定则，则可得：,当通过单匝线圈的磁通发生变化时，线圈中要产生感应电动势，其大小等于磁通的变化率，即：,单位：e 伏(V)t 秒(S)韦伯(Wb),楞次定律,法拉第电磁感应定律,显然，在此规定下i与e的参考方向也为一致。,大连理工大学电气工程系,17,即其实际方向与参考方向相反。,即其实际方向与参考方向相同。,大连理工大学电气工程系,18,i,=N=L i,（安）A,韦伯（Wb）,亨利（H）,若电路的某一部分只具有储存磁场能量的性质称它为理想电感元件。,若L为大于零的常数则称为线性电感,电感,磁链,N,线圈的电感与线圈的尺寸匝数及介质的导磁性能等有关。一密绕的长线圈,S 横截面积(m2)l 长度(m)N 匝数 磁导率(H/m),符号,N,多匝线圈,大连理工大学电气工程系,19,电压电流关系：,在直流稳态时，u=0，电感相当于短路。,=L i,u+e=0,或,大连理工大学电气工程系,20,电感的瞬时功率,把电能转换成了磁场能。,磁场能又转换成了电能。,电压与电流关系,大连理工大学电气工程系,21,t=0 t=t0,电感中储存的磁场能,i=0 i=I,从外部输入的电能,若外部不能向电感提供无穷大的功率,磁场能就不可 能发生突变。因此，电感的电流 i 不可能发生突变。,由于,大连理工大学电气工程系,22,无互感存在的两电感线圈串联时,等效电感为,L L1L2,无互感存在的两电感线圈并联时,等效电感为,大连理工大学电气工程系,23,例1:有一电感元件，L=0.2H,电流 i 如图所示，求电感元件中产生的感应电动势eL和两端电压u的波形。,则：,大连理工大学电气工程系,24,由图可见：,(1)电流正值增大时，eL为负，电流正值减小时，eL为正；,(2)电流的变化率di/dt大，则eL大；反映电感阻碍电流变化的性质。,(3)电感两端电压u和通过它的电流i的波形是不一样的。,大连理工大学电气工程系,25,由于电容中的电场能和电感中的磁场能不能突变,所以换路瞬间，电容上的电压和电感中的电流不可能突变。,2.3 换路定律,换路定律,电容电压和电感电流在换路后的初始值应等于换路前的终了值。,换路前的终了时刻表示为 t=0-,换路后的初始时刻表示为 t=0,一、换路定律,大连理工大学电气工程系,26,换路定律仅适用于换路瞬间。,换路前的电路,换路定律,换路后 uC和 iL的初始值,换路后其他电流和电压的初始值,换路后的电路,电路达到新稳态时电流和电压的稳态值,初始值用 u(0)和 i(0)表示,稳态值用 u()和 i()表示,大连理工大学电气工程系,27,二、初始值的确定,求解要点：,初始值：电路中各 u、i 在 t=0+时的数值。,(1)uC(0+)、iL(0+)的求法。,1)先由t=0-的电路求出 uC(0)、iL(0)；,2)根据换路定律求出 uC(0+)、iL(0+)。,大连理工大学电气工程系,28,要确定t=0时刻的电路，关键是在t=0时刻储能元件电容和电感如何处理。一般分为下列两种情况进行处理：,在直流激励情况下，换路前如果电路已处于稳态，则在 t=0的电路中，电容元件可视为开路，电感元件可视为短路。,换路前，如果储能元件没有储能,则在 t=0 的电路中，可将电容元件视为短路，将电感元件视为开路。,大连理工大学电气工程系,29,(2)其它电量初始值的求法。,1)由t=0+的电路求其它电量的初始值；,2)在 t=0+时的电压方程中 uC=uC(0+)、t=0+时的电流方程中 iL=iL(0+)。,大连理工大学电气工程系,30,三、稳态值的确定,电路换路后，经过暂态过程又达到新的稳定状态，这时电路中的电压、电流值称为稳态值(稳态分量)。用u()、i()表示。求直流激励下的稳态值,可画出t=的电路，即在换路后的电路中将电容元件开路,电感元件短路即可。,大连理工大学电气工程系,31,例1：,换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。,换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；电感元件视为短路。,由t=0-电路可求得：,4,2,+,_,R,R2,R1,+,+,4,i1,4,iC,_,uC,_,uL,iL,R3,L,C,t=0-等效电路,大连理工大学电气工程系,32,4,2,+,_,R,R2,R1,+,+,4,i1,4,iC,_,uC,_,uL,iL,R3,L,C,t=0-等效电路,由换路定则：,大连理工大学电气工程系,33,(2)由t=0+电路求 iC(0+)、uL(0+),uc(0+),由图可列出,带入数据,iL(0+),大连理工大学电气工程系,34,解：解之得,并可求出,大连理工大学电气工程系,35,计算结果：,电量,大连理工大学电气工程系,36,结论,1.换路瞬间，uC、iL 不能跃变,但其它电量均可以跃 变。,4.换路前,若uC(0-)0,换路瞬间(t=0+等效电路中),电容元件可用一理想电压源替代,其电压为uc(0+);换路前,若iL(0-)0,在t=0+等效电路中,电感元件 可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。,2.换路前,若电路已达到稳态，则在换路瞬间，可视电容元件开路，电感元件短路。,3.换路前,若储能元件没有储能,则在换路瞬间，可视电容元件短路，电感元件开路。,大连理工大学电气工程系,37,解,(1)求初始值,uC(0-)=0,根据换路定律，由换路前的电路求得：,大连理工大学电气工程系,38,iR(0)=iL(0)=1 A,根据 uC(0-)和 iL(0-)，由换路后的电路求得：,uR(0)=RiR(0)=(5 1)V=5 V,iC(0)=IS+iL(0)=(5+1)A=6 A,uL(0)=USuR(0)uC(0)=(5 5 0)V=0 V,大连理工大学电气工程系,39,(2)求稳态值,iC()=0,在稳态直流电路中，C 相当于开路，L 相当于短路。,uL()=0,由换路后的电路再求得：,iL()=iR()=iC()IS=(05)A=5 A,uR()=RiR()=5(5)V=25 V,uC()=USuL()uR()=50(25)V=30 V,大连理工大学电气工程系,40,2.4 RC电路的暂态分析,一阶电路暂态过程的求解方法,1.经典法:根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。,2.三要素法,仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。,一阶电路,求解方法,大连理工大学电气工程系,41,代入上式得,换路前电路已处稳态,(1)列 KVL方程,1.电容电压 uC 的变化规律(t 0),零输入响应:无电源激励,输入信号为零,仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。,图示电路,实质：RC电路的放电过程,一、RC电路的零输入响应,大连理工大学电气工程系,42,(2)解方程：,特征方程,由初始值确定积分常数 A,齐次微分方程的通解：,电容电压 uC 从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC 决定。,(3)电容电压 uC 的变化规律,大连理工大学电气工程系,43,电阻电压：,放电电流,电容电压,2.电流及电阻电压的变化规律,3.、变化曲线,大连理工大学电气工程系,44,4.时间常数,(2)物理意义,令:,单位:S,(1)量纲,当 时,时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢,大连理工大学电气工程系,45,越大，曲线变化越慢，达到稳态所需要的时间越长。,时间常数 的物理意义,U,大连理工大学电气工程系,46,当 t=5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。,(3)暂态时间,理论上认为、电路达稳态,工程上认为、电容放电基本结束。,随时间而衰减,大连理工大学电气工程系,47,例4 下图所示电路中，开关S合在a点时,电路已处于稳态，t=0开关S由a点合向b点，试求:t0 时 uc、i1、i2 和 i3 随时间的变化规律,画出变化曲线。,C,t=0,b,a,+-,S,uC,4,2,4,8,10F,+-,10V,i1,i2,i3,解:uC(0+)=uC(0-)=104/(2+4+4)=4V,U0=4V,R0=(4/4+8)=10,=R0 C=10 10 106=104 S,=4e 10000tV,大连理工大学电气工程系,48,i1=i3=i2/2,C,b,4,4,8,i1,i2,i3,=0.4e 10000tA,=0.2e 10000tA,o,t,i,u,大连理工大学电气工程系,49,二、RC电路的零状态响应,零状态响应:储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。,实质：RC电路的充电过程,分析：在t=0时，合上开关s，此时,电路实为输入一 个阶跃电压u，如图。与恒定电压不同，其,电压u表达式,大连理工大学电气工程系,50,一阶线性常系数非齐次微分方程,方程的通解=方程的特解+对应齐次方程的通解,1.uC的变化规律,(1)列 KVL方程,(2)解方程,求特解：,大连理工大学电气工程系,51,求对应齐次微分方程的通解,微分方程的通解为,确定积分常数A,根据换路定则在 t=0+时，,大连理工大学电气工程系,52,(3)电容电压 uC 的变化规律,暂态分量,稳态分量,电路达到稳定状态时的电压,仅存在于暂态过程中,大连理工大学电气工程系,53,3.、变化曲线,当 t=时,表示电容电压 uC 从初始值上升到 稳态值的63.2%时所需的时间。,2.电流 iC 的变化规律,4.时间常数 的物理意义,大连理工大学电气工程系,54,o,t,U,u,i,uC=U(1e t/),uC、uR及i 的变化曲线,由上表可以看出，同样可认为t(35)以后暂态过程已经结束。,大连理工大学电气工程系,55,上述暂态过程的分析方法称为经典法。当电路比较复杂时，可以用戴维宁定理将换路后的电路化简为一个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的部分化简为戴维宁等效电路，再将储能元件接上），然后利用经典法所得出的公式。,大连理工大学电气工程系,56,例5：下图所示电路中，已知：R1=3k，R2=6k，C1=40 F，C2=C3=20 F，U=12V,开关S闭合前,电路已处于稳态，试求:t 0 时的电压 uC。,大连理工大学电气工程系,57,解：C2和C3并联后再与C1串联，其等效电容为,将t 0的电路除C以外的部分化为戴维宁等效电源,等效电源的内阻为,等效电源的电动势为,大连理工大学电气工程系,58,由等效电路可得出电路的时间常数,=R0 C=2 103 20 106=40 103S,uC=U(1 e-t/)=E(1 e-t/),=8(1e 25t)V,输出电压为,大连理工大学电气工程系,59,三、RC电路的全响应,RC电路的全响应是指换路后电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)均不为零时电路的响应，也就是零输入响应和零状态响应的叠加。,下图中，若开关S合于b时，电路已处于稳态,则 uC(0)=U0，t=0时将S由b合向a，则t 0时电路的微分方程为：,大连理工大学电气工程系,60,R,C,uR,t=0,b,a,i,S,uC,+-,U0,微分方程的通解为：,uC=uC+uC=U+Ae t/RC,uC(0+)=uC(0)=U0,积分常数 A=U0U,全响应=稳态分量+暂态分量,uC=U0 e-t/+U(1e-t/),或者写成,全响应=零输入响应+零状态响应,大连理工大学电气工程系,61,全响应曲线,o,t,U,u,U0,（设U U0）,o,t,U,u,U0,uC=U0 e-t/+U(1e-t/),uR=(U U0)e-t/,或,大连理工大学电气工程系,62,解,根据,换路瞬间的电容电流为,大连理工大学电气工程系,63,该电路的时间常数,uC=12 V 时,=RC,=10 103 20 106 s,=0.2 s,根据,15,大连理工大学电气工程系,64,2.5 RL电路的暂态分析,一、RL电路的零输入响应,R,t=0,b,a,U,iL,S,uL,uR,S合在位置a时,电感中通有电流,t=0时开关S由位置a合向位置b,RL电路被短路。若iL(0-)=I0，则iL(0+)=I0,(若换路前电路已处于稳态,则I0=U/R),根据KVL uL+uR=0,(2.5.1),+-,大连理工大学电气工程系,65,式(2.5.1)的特征方程是 Ls+R=0,特征根为 s=R/L,式(2.5.1)的通解为,iL(0+)=I0,则 A=I0,在t=0+时,时间常数=L/R,变化曲线,大连理工大学电气工程系,66,讨论题：1.下图所示电感线圈电路,如果线圈的电感L 很大,开关S断开时会产生什么后果?应如何解决?,t=0,S,R,L,iL,+,U,uRL,在S断开瞬间电流变化率很大,使自感电动势 eL很大,这个感应电动势可能使开关两触点之间的空气击穿造成电弧,开关触点被烧坏。,为了防止这种现象发生，在线圈从电源断开的同时可将线圈加以短路，例如用续流二极管D,使电流(或磁能)通过二极管D逐渐减小。,iL,大连理工大学电气工程系,67,为了加速线圈的放电过程,可用一个低值泄放电阻R与线圈连接,如下图。,若换路前电路已处于稳态,则换路后,uRL=RiL,当RR时,|uRL(0)|U|,在线圈两端会出现过电压现象,所以泄放电阻R不宜过大。,大连理工大学电气工程系,68,t=0,S,R,L,uV,iL,+,2,4V,例6:已知电压表的内阻RV=1000,求uV(0+)。,解:,iL(0+)=iL(0-)=4/2=2A,uV(0+)=-iL(0+)RV=-2 1000=-2000V,因电压表的内阻很大，在S断开之前，应先将电压表取下!以免引起过电压而损坏电压表。,大连理工大学电气工程系,69,二、RL电路的零状态响应,R,t=0,U,iL,S,uL,uR,在换路前电感元件未储有能量，即电路处于零稳态。,+,在 t=0时，将开关S合上，电路即与一恒定电压为U的电压源接通。,根据KVL uL+uR=U,特解 iL就是稳态分量,(2.5.2),大连理工大学电气工程系,70,式(2.5.2)的通解为,在 t=0时，iL(0+)=iL(0-)=0,大连理工大学电气工程系,71,三、RL电路的全响应,R,t=0,U,iL,S,uL,uR,+,R0,如图所示电路中，iL(0-)=I0在 t=0时，将开关S合上，则t 0时电路的微分方程与式(2.5.2)相同,通解也为,但积分常数A与零状态时不同,在 t=0时，iL(0+)=iL(0-)=I0，,所以全响应为,(2.5.3),大连理工大学电气工程系,72,全响应=稳态分量+暂态分量,全响应=零输入响应+零状态响应,上式可改写为,o,t,U/R,I0,(2.5.3),将式(2.5.3)中电感电流的稳态分量 U/R 用iL()表示得：,iL(t)=iL()+iL(0+)iL()e-t/,稳态值 初始值 时间常数,大连理工大学电气工程系,73,解,由于 10.2 s，20.1 s，1 2,所以 iL1 增长得慢，iL2 增长得快。,当 t 0.15 s 时，,大连理工大学电气工程系,74,例7:下图所示电路中，已知：R1=R2=1k，L1=15mH，L2=L3=10mH，(设线圈间无互感,)电流源 I=10mA,开关S闭合前,各电感均未储有能量,试求:t 0 时的电流 i。,t=0,S,i,I,R1,R2,L1,L2,L3,解:等效电感,=10mH,将电流源与R1并联的电路进行等效变换,E=R1I=10V,R0=R1=1k,大连理工大学电气工程系,75,由等效电路可得出电路的时间常数,=10 S,等效电路,大连理工大学电气工程系,76,稳态值,初始值,2.6 一阶线性电路暂态分析的三要素法,仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。,据经典法推导结果,全响应,uC(0-)=Uo,s,R,U,+,_,C,+,_,i,uc,大连理工大学电气工程系,77,：代表一阶电路中任一电压、电流函数,式中,在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：,利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得、和 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。,大连理工大学电气工程系,78,电路响应的变化曲线,大连理工大学电气工程系,79,三要素法求解暂态过程的要点,(1)求初始值、稳态值、时间常数；,(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。,(2)将求得的结果代入暂态过程三要素通用表达式；,大连理工大学电气工程系,80,求换路后电路中的电压和电流，其中电容 C 视为开路,电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。,(1)稳态值 的计算,响应中“三要素”的确定,大连理工大学电气工程系,81,1)由t=0-电路求,在换路瞬间 t=(0+)的等效电路中,注意：,(2)初始值 的计算,大连理工大学电气工程系,82,1)对于简单的一阶电路，R0=R;,2)对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。,(3)时间常数 的计算,对于一阶RC电路,对于一阶RL电路,注意：,大连理工大学电气工程系,83,R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。,大连理工大学电气工程系,84,例1：,电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压 和电流、。,(1)确定初始值,由t=0-电路可求得,由换路定则,三要素法应用举例,大连理工大学电气工程系,85,(2)确定稳态值,由换路后电路求稳态值,(3)由换路后电路求 时间常数,大连理工大学电气工程系,86,uC 的变化曲线如图,大连理工大学电气工程系,87,用三要素法求,由换路定则,大连理工大学电气工程系,88,大连理工大学电气工程系,89,解,（1）初始值,由换路前电路,大连理工大学电气工程系,90,再由换路后电路,大连理工大学电气工程系,91,（2）稳态值,由于换路后电路无外部激励,i1()=i2()=i3()=0,（3）时间常数,大连理工大学电气工程系,92,（4）求出待求响应,大连理工大学电气工程系,93,例2:用三要素法求下图中t 0 时的 uC(t)，画出其随时间的变化曲线。已知换路前电路已达到稳态。,解:(1)求uC的三要素,uC(0+)=uC(0),大连理工大学电气工程系,94,uC(t)=uC()+uC(0+)uC()e-t/,(2)写出 uC(t)的表达式,=4+(2 4)e-t/(210-3)=4 2 e-500t V,(3)画出 uC随时间的变化曲线,大连理工大学电气工程系,95,本章基本要求,1.理解电路的暂态与稳态，以及电路时间常数的物理意义;2.掌握一阶线性RC电路的零输入响应及在阶跃激励下的零状态响应和全响应的分析方法。3.掌握一阶线性电路暂态分析的三要素法。,大连理工大学电气工程系,96,第 2 章 结 束,下一章,上一章,返回主页,