理论力学第13章动能定理.ppt

第十三章动能定理,主要内容,13.1 力的功,13.2 质点和质点系的动能,13.3 动能定理,13.6 普遍定理的综合应用举例,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,13.4 功率 功率方程 机械效率,动能定理,自然界有许多种运动形式，这些运动形式本质上相互区别，但又相互依存，相互联系，并在一定条件下相互转化。例如：机械运动可以转化为电、热、声、光、磁等等，反过来，电、热、声、光、磁也可以转化为机械运动。各种运动形式的转化，是通过能量来相互联系的。能量是各种运动形式的度量。物体作机械运动时所具有的能量称为机械能，它包括动能、势能。,这一章我们研究动能、势能与力的功之间的联系以及功率，功率方程等内容。这一章有两个重点：动能定理和机械能守恒定理，四个关键：A、力的功的计算，B、质点系动能的计算，C、质点及质点系势能的计算，D、机械能守恒的条件。,13.1 力的功,力的功是力沿路程累积效应的度量。,一、常力的功,式中 为力 与直线位移方向之间的夹角。功是代数量，在国际单位制中，功的单位为（焦耳）。,二、变力的功,质点 在变力 作用下沿曲线运动，如图。力 在无限小位移 中可视为常力，经过的一小段弧长 可视为直线，可视为沿点 的切线。在一无限小位移中力作的功称为元功，记之。,于是有,力在全路程上作的功等于元功之和，即,上两式也可以写成以下矢量点乘形式,由上式可知，当力始终与质点位移垂直时，该力不作功。,在直角坐标系中，为三坐标轴的单位矢量，则,将以上两式代入式（1），得到作用力从 到 的过程中所作的功。,13.1 力的功,三、常见力的功,1、重力的功,质点质量为,重力作功仅与质点运动开始和末了位置的高度差 有关，与运动轨迹的形状无关。,质点系,式中 为质点系全部质量之和，为运动始末位置其质心的高度差。质点系重力作功仍与质心的运动轨迹形状无关。,重力作功为,13.1 力的功,2、弹性力的功,初变形，末变形 弹簧常数,弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。,3、定轴转动刚体上作用力的功,设力 与作用点 处的轨迹切线之间的夹角为，如图,则力 在切线上的投影为,当刚体绕定轴转动时，转角 与弧长 的关系为,13.1 力的功,式中 为力作用点 到轴的垂距。力 的元功为,因为 等于力 对于转轴 的力矩，于是,力 在刚体从角 到 转动过程中所作的功为,如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其中 为力偶对转轴 的矩，也等于力偶矩矢 在 轴上的投影。,4、平面运动刚体上力系的功,平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和。,13.1 力的功,平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。,这个结论也适用于作一般运动的刚体，基点也可以是刚体上任意一点。,5、万有引力的功,其元功为,万有引力的功也与路径无关，只与始末位置有关，它的元功是某个函数的全微分。,为作用在质点m上的万有引力，为质点m的矢径。,13.1 力的功,6、作用在速度瞬心上的力的功,设一刚体沿某一固定表面做无滑动的滚动，作用在接触点B处的滑动摩擦力 阻碍着这两个物体之间发生相对滑动，则 的元功为，因为B点是刚体的速度瞬心 所以,因此，即刚体沿固定表面作纯滚动时，接触点处摩擦力的功为0。一般地说作用在速度瞬心上的力的元功是等于0的。,13.1 力的功,13.2 质点和质点系的动能,物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。,一、质点的动能,设质点的质量为，速度为，则质点的动能为,动能是标量，恒取正值。在国际单位制中动能的单位为,二、质点系的动能,质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即,刚体是由无数质点组成的质点系，将刚体的运动分解为随同质心的平动和相对于质心的转动，据此计算某些问题中的动能较为方便：,1、平动刚体的动能,刚体作平动时，各点的速度都相同，可以质心速度 为代表，于是平动刚体的动能为,式中 是刚体的质量。,2、定轴转动刚体的动能,刚体绕 定轴转动时，如图，其中任一点 的速度为，式中 是刚体的角速度，是质点 到转轴的垂距。于是绕定轴转动刚体到 动能为,13.2 质点和质点系的动能,3、平面运动刚体的动能,作平面运动的刚体的动能，等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能和。,13.2 质点和质点系的动能,13.3 动能定理,一、质点的动能定理,取质点运动微分方程的矢量形式,在方程两边点乘，得,因，于是上式可写成,或,即质点动能定理的微分形式,积分上式得,即质点动能定理的积分形式,二、质点系的动能定理,质点系内任一质点，质量为，速度为，根据质点动能定理的微分形式，有,设质点系有 个质点，对于每个质点都可列出一个如上的方程，将 个方程相加，得,或,为质点系动能定理的微分形式,即,对上式积分，得,为质点系动能定理的积分形式,13.3 动能定理,质量为m的物体，自高处自由落下，落到下面有弹簧支持的板上，如图所示。设板和弹簧的质量都忽略不计，弹簧的刚度系数为k。求弹簧的最大压缩量。,例 题 13-1,13.3 动能定理,例 题 13-1,运 动 演 示,13.3 动能定理,求得,解：物体从位置落到板上时是自由落体运动，速度由0增到v1，动能由0变为。,在这段过程中，重力作的功为mgh。,应用动能定理得,例 题 13-1,13.3 动能定理,物体继续向下运动，弹簧被压缩，物体速度逐渐减小。当速度等于零时，弹簧被压缩到最大值 smax。,在这段过程中重力作的功为 mgsmax，弹簧力作的功为。,应用动能定理得,例 题 13-1,13.3 动能定理,求得,由于弹簧的压缩量必定是正值，因此答案取正号，即,例 题 13-1,13.3 动能定理,同时也可把上两段合在一起考虑，即对质点从开始下落至弹簧压缩到最大值的过程应用动能定理。,解得的结果与前面所得相同。,在这一过程的始末位置质点的动能都等于零。在这一过程中，重力作的功为 mg(h+smax)，弹簧力作的功同上，于是有,例 题 13-1,13.3 动能定理,卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m1，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程s时的速度与加速度。,例 题 13-2,13.3 动能定理,解：圆柱和鼓轮一起组成质点系。作用于该质点系的外力有：重力m1g和m2g，外力偶M，水平轴支反力FOx和FOy，斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦力Fs。,应用动能定理进行求解，先计算力的功。,因为点O没有位移。力FOx，FOy和m1g所作的功等于零；圆柱沿斜面只滚不滑，边缘上任一点与地面只作瞬时接触，因此作用于瞬心D的法向约束力FN和摩擦力Fs不作功，此系统只受理想约束，且内力作功为零。,m1g,FOx,FOy,m2g,FN,Fs,1,2,13.3 动能定理,例 题 13-2,主动力所作的功计算如下：,质点系的动能计算如下：,式中J1，JC分别为鼓轮对于中心轴O，圆柱对于过质心C的轴的转动惯量：,1和2分别为鼓轮和圆柱的角速度，即,13.3 动能定理,由动能定理得,以 代入，解得：,于是,例 题 13-2,（1）,13.3 动能定理,例 题 13-2,系统运动过程中，速度 与路程 都是时间的函数，将式（1）两端对时间求一阶导数，有,求得圆柱中心 的加速度为,13.3 动能定理,材料承受冲击的能力可在冲击试验机上测定，如图所示。试验机摆锤质量为18 kg，重心到转动轴的距离l=840 mm。杆重不计。试验开始时，将摆锤升高到摆角 的地方然后释放，冲断试件后，摆锤上升的摆角。求冲断试件需用的能量。,例 题 13-3,13.3 动能定理,解：冲断试件前后，摆锤的角速度发生突然变化。摆锤损失的动能被试件吸收，就是冲断试件需用的能量。,设摆锤冲击试件前的角速度为1，将试件冲断后摆锤的角速度为2。角速度的变化是在冲击的一瞬间发生的，这时摆锤在铅直位置。,摆锤在 的位置开始下落，这时角度速度等于零，因此动能等于零。当摆锤落到铅直位置与试件相撞前，角速度为1，这时动能为T1。在这一过程中重力作正功。,先研究冲击试件前的下落过程。,例 题 13-3,13.3 动能定理,代入已知数据，得,现在研究冲断试件后摆锤的上升过程。刚冲断试件的瞬时，设摆锤的角速度为2，动能为T2。当摆锤到达最高位置时，角速度为零，动能等于零，在这过程中，重力作负功。根据动能定理有,代入已知数据，得,根据动能定理有,例 题 13-3,13.3 动能定理,摆锤在冲断试件时损失的动能等于冲断试件需要的能量Wk，即,设试件的最小横断面面积为S，则有,称为材料的冲击韧度，它是衡量材料抵抗冲击能力的一个指标。,例 题 13-3,13.3 动能定理,此例题也可以在1和2两摆角之间直接应用动能定理。,代入数据，同样求得,例 题 13-3,根据动能定理，有,13.3 动能定理,13.4 功率 功率方程 机械效率,一、功率,单位时间内力所作的功称为功率，以 表示,作用力的功率：,力矩的功率：,在国际单位制中，功率的单位为瓦特,工程中常用单位为千瓦，,二、功率方程,取质点系动能定理的微分形式，两端除以，得,即功率方程,在机械工程中，我们通常用另一种形式的功率方程，因为机器在工作时要输入一定的功（功率，能量）,同时要克服一定的阻力，从而消耗或输出一部分功（功率能量），因此，在机械工程中，我们按下面方式来分析受力。,驱动力：从外部施加给机器，驱动机器运转的力，在机器工作的过程中，这些力作正功，如电动机的转矩，液压传动中液体的压力等。,有用阻力（生产阻力）:如机床加工时的切削力，冲床加工时工件对机器的冲击阻力，起重机的载荷，等等，这些力消耗能量，作负功，但是它们是不可少的。,无用阻力（有害阻力）：如机器运转时接触面间的摩擦阻力，空气阻力等等，这些力白白消耗能量，作负功。,13.4 功率 功率方程 机械效率,此外，还有重力及零件变形时的弹性力等，但这些力所作的功一般比上述三种力的功小很多，通常忽略不计。,于是，动能定理的微分形式可写成,即机器的功率方程。,驱动力元功的绝对值，,有用阻力的元功的绝对值,无用阻力的元功的绝对值,上式两端除以，得,上式还可以写成,其物理意义是：输入机器的功率（驱动功率）消耗于三部分：使机器运转所需功率，克服有用阻力所需功率，克服无用阻力所需功率。,13.4 功率 功率方程 机械效率,三、机械效率,机械效率,有效功率,机械效率 表明机器对输入功率 的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一。一般情况下，,分析：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即,13.4 功率 功率方程 机械效率,1、力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则此空间称为力场。,一、势力场,3、重力场：质点在地球表面的任何位置都要受到一个确定的重力的作用，称地球表面的空间为重力场。,2、势力场：若质点在力场内运动，作用于质点的力所作的功只与力作用点的初始位置与终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为势力场。,重力场、万有引力场、弹性场都是势力场。,4、万有引力场：太阳周围的空间。,5、弹力场：弹簧周围的空间。,6、有势力：在势力场中，质点受到的力称为有势力。,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,有势力特点：,（1）作用在质点上的有势力仅是质点坐标的单值连续函数,（2）有势力作功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，与该点轨迹形状无关。,二、势能,势能：在势力场中,质点从点 运动到任选点,有势力所作的功称为质点在点 相对于点 的势能，用 表示。,零势能点:在同一个势力场中，不同位置，势能不同，为了比较各点的势能，必须在计算各个位置的势能时，取同一个终点 的势能等于0，它被称为零势能点。,现在计算几种常见的势能：,1、重力场中的势能,重力场中，以铅垂轴为 轴，处为零势能点。质点于 坐标处的势能 等于重力 由 到 处所作的功，即,2、弹性力场中的势能,设弹簧的一端固定，另一端与物体连接，弹簧的刚度系数为。以变形量为 处为零势能点，则变形量为 处的弹簧势能 为,如果取弹簧的自然位置为零势能点，则有，于是得,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,3、万有引力场中的势能,设质量为 的质点受质量为 的物体的万有引力 作用，如图,取点 为零势能点，则质点在点 的势能为,式中 为引力常数，是质点的矢径方向的单位矢量；由图可见，为矢径 长度的增量。设 是零势能点的矢径，于是有,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,4、机械能守恒定律,机械能：质点系在某瞬时的动能和势能的代数和。,设质点系在运动过程的初始和终了瞬时的动能分别为 和，所受力在这过程中所作的功为，根据动能定理有,如系统运动中，只有有势力作功，而有势力的功可用势能计算，即,移项后得,上式就是机械能守恒定律的数学表达式。此类质点系称为保守系统。,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,如果质点系还受到非保守力的作用，称为非保守系统，非保守系统的机械能是不守恒的。设保守力所作的功为，非保守力所作的功为，由动能定理有,因，于是有,或,当质点系受到摩擦阻力等力作用时，是负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为机械能耗散；当质点系受到非保守力的主动力作用时，如果 是正功，则质点系在运动过程中机械能增加，这时外界对系统输入了能量。,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,机械能守恒的条件：,1、质点系仅受有势力的作用时，机械能守恒。,2、质点系如果受有非有势力的作用，其机械能一般是不守恒的，但是当作用于质点系上的所有非有势力做功之和为零（或均不做功时）系统的机械能守恒。,例如，具有理想约束的刚体系在有势力场中运动时，因所有的非有势力都不做功，或做功之和为零，这时刚体系的机械能守恒，因此，这样一来，我们在做题时，分析受力时，要注意哪些是有势力，哪些是非有势力，系统的机械能守恒条件是否满足。,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,如图所示的鼓轮D匀速转动，使绕在轮上钢索下端的重物以v=0.5 ms1匀速下降，重物质量为m=250 kg。设当鼓轮突然卡住时，钢索的刚度系数 k=3.35106 Nm1。求此后钢索的最大张力。,例 题 13-4,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,解：轮匀速转动时，重物处于平衡状态，临卡住的前一瞬刻钢索的伸长量，,当鼓轮被卡住后，由于惯性，重物将继续下降，钢索继续伸长，钢索对重物作用的弹性力逐渐增大，重物的速度逐渐减小。当速度等于零时，弹性力达最大值，此值等于钢索的最大张力。,例 题 13-4,钢索的张力。,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,因重物只受重力和弹性力的作用，因此系统的机械能守恒。取重物平衡位置为重力和弹性力的零势能点，则在、两位置系统的势能分别为,因,于是有,注意到，上式可改写为,例 题 13-4,mg,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,因max 应大于st，因此上式应取正号。,解得,钢索的最大张力为,代入数据，求得,由此可见，当鼓轮被突然卡住后，钢索的张力增大了5.9倍。,例 题 13-4,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,如图所示，摆的质量为m，点C为其质心，O端为光滑铰支，在点D处用弹簧悬挂，可在铅直平面内摆动。设摆对水平轴O的转动惯量为JO，弹簧的刚度系数为k；摆杆在水平位置处平衡。设OD=CD=b。求摆从水平位置处初角速度0摆下作微幅摆动时，摆的角速度与 角的关系。,例 题 13-5,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,例 题 13-5,运 动 演 示,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,解：研究摆的运动。作用于摆的力有弹簧力F，重力mg和支座约束力FOx和FOy。前两力为保守力，后两力不作功，因此摆的机械能守恒。,取水平位置为摆的零势能位置，此时机械能等于动能。摆作微幅摆动，角极小。系统对平衡位置的势能为，而动能为。,解此方程得摆杆的角速度为,由机械守恒，有,例 题 13-5,13.5 势力场 势能 机械能守恒定律,13.6 普遍定理的综合应用举例,均质圆轮半径为r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。建立圆轮质心的运动微分方程。,例 题 13-6,得,应用功率方程,轮与地面接触点为瞬心，如图所示，因此摩擦力与法向约束力不作功。重力的功率为,F,aC,mg,FN,解：均质圆轮作平面运动，动能为,例 题 13-6,1.应用功率方程建立该方程。,13.6 普遍定理的综合应用举例,因,当 很小时，于是得质心C的运动微分方程为,例 题 13-6,13.6 普遍定理的综合应用举例,取质心的最低位置O为重力场零势能点，圆轮在任意位置的势能为,同一瞬时的动能为,因机械能守恒，有,把V和T的表达式代入，取导数后得,从前面的分析已知，地面的法向约束力和摩擦力不作功，只有重力作功，因此系统的机械能守恒。于是质心的运动微方程也可通过机械能守恒定律建立。,2.应用机械能守恒定律建立该方程。,例 题 13-6,13.6 普遍定理的综合应用举例,因 于是得,当很小时，于是得圆轮作微幅摆动时质心的运动微分方程为,例 题 13-6,13.6 普遍定理的综合应用举例,绳的一端系小球，另端固定，如图所示。设球以初速 vA=3 ms1 从位置OA摆下，当摆到铅直位置时，绳受到固定在O1点的钉子限制，开始绕此点摆动。已知l=1 m,h=0.7 m,A=60。（1）求小球到达点C 时的速度vC。（2）设球的质量为m=0.5 kg，不计绳的质量，设绳碰撞时无能量损失。求当绳碰到O1点的钉子前、后，且仍在铅直位置时，绳中的拉力TB 和 TB。,例 题 13-7,13.6 普遍定理的综合应用举例,解：球的轨迹可分为两段：一段是以O为中心、l为半径的圆弧AB。另一段是以O1为中心、l为半径的圆弧BC。,显然绳的拉力T在运动过程中总垂直位移，故拉力T的功，而重力的功。代入后得,T,mg,v,A到B的运动阶段，球的受力图如图中M位置所示。,应用质点动能定理，得,1.求小球到达点C时的速度vC。,例 题 13-7,(a),13.6 普遍定理的综合应用举例,再考察B到C的运动阶段，球的受力图如图中M 位置所示，应用质点动能定理，得,同理，约束力的功，而重力的功为,mg,v,T,代入后得,将式 代入得,例 题 13-7,(b),13.6 普遍定理的综合应用举例,如果把ABC视作一个连续运动的阶段，应用质点动能定理，因绳的拉力不作功，得,得,将数据代入（c），得,例 题 13-7,（c）,13.6 普遍定理的综合应用举例,应用牛顿定律在法线方向的投影式求绳的拉力TB和TB。这里，也应分开两种状态。,在第一种情形下，小球是沿圆弧AB运动，圆心为O，半径为l，B点的法向加速度为，,2.绳中的拉力TB 和 TB。,由牛顿第二定律,例 题 13-7,13.6 普遍定理的综合应用举例,代入数据得,例 题 13-7,将式 代入得,13.6 普遍定理的综合应用举例,代入数据得,TB 约为TB 的2.53倍。,由牛顿第二定律得,例 题 13-7,在第二种情形下，小球是沿圆弧BC运动，圆心为O1，半径为 l，B点的法向加速度为。,13.6 普遍定理的综合应用举例,