理论力学教学材料-6刚体的平面运动.ppt

1,第六章刚体的平面运动,2,刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式,运动学,6-1 刚体平面运动的运动方程,一平面运动的定义 刚体运动时，其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变也就是说，刚体上任一点都在与某固定平面平行的平面内运动这种运动称为刚体的平面运动,3,例如:曲柄连杆机构中连杆AB的运动，A点作圆周运动，B点作直线运动，AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动,运动学,注意：（1）平面运动刚体内各点的运动是不同的；（2）不能把平面运动与平动混为一谈。,4,运动学,请看动画,5,运动学,因此，在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度,二、刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动,A1A2作平动,A点代表A1A2的运动,S代表刚体的运动,6,运动学,三运动方程为了确定平面图形的运动，取静系Oxy，在图形上任取一点O（称为基点），并取任一线段OA，只要确定了OA的位置，S的位置也就确定了。,刚体平面运动方程,任意线段OA的位置也就是平面图形S 的位置决定于 三个独立的参变量。当平面图形运动时，它们 是时间t的单值连续函数。所以,7,故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动，选择以作平动的坐标系Oxy铰接于O点（基点）,运动学,6-2 平面运动分解为平动和转动,由上式知：,若 为常量，则平面图形作 定轴转动。,若 为常量，则平面图形作平动。,则：平面图形的运动（绝对运动）=,图形随动系（基点O）的平动（牵连运动）,+图形相对于动系绕基点的转动（相对运动）,注意动系是在基点与刚体铰接，动系作平动，图形相对于基点可以转动。,8,运动学,例如车轮的运动,车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成,车轮对于静系的平面运动（绝对运动）车厢（动系O x y)相对静系的平动（牵连运动）车轮相对车厢（动系O x y）的转动（相对运动）,O,9,运动学,车轮的平面运动,随基点A的平动,绕基点A的转动,10,运动学,再例如:平面图形在时间内从位置I运动到位置II,以A为基点:随基点A平动到AB后,绕基点转 角到AB以B为基点:随基点B平动到AB后,绕基点转 角到AB图中看出：AB AB AB，于是有,11,运动学,所以，平面图形随基点平动与基点的选择有关，而绕基点的转动与基点的选取无关(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的,都是相同的）基点的选取是任意的。(通常选取运动情况已知的点作为基点),12,运动学,曲柄连杆机构,AB杆作平面运动平面运动的分解,（请看动画）,13,6-3平面图形内各点的速度,运动学,一基点法（合成法）,已知：图形S内一点A的速度，图形角速度求：,指向与 转向一致,取A为基点,将动系铰接于A点,动系作平动。则动点B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成：,其中：大小vBA=AB，方位：AB，,14,即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影等这就是 速度投影定理利用这以定理求平面图形上点的速度的方法称为速度投影法。速度投影定理反映了刚体上任意两点间的距离保持不变的特性。,运动学,即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法它是求解平面图形内一点速度的基本方法,二速度投影法,将上式在AB上投影：,待求点,基点,15,三速度瞬心法 1.问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？,运动学,瞬时速度中心（简称速度瞬心）,平面图形S，某瞬时其上一点O速度,图形角速度，沿 方向取半直线OL,然后顺 的转向转90o至OL的位置,在OL上取长度 则：,方位IO，指向与 相反。所以,vI=0,16,即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心（I）,运动学,速度瞬心又称为瞬时转动中心,设某瞬时平面图形的角速度为，速度瞬心在I点。以I点为基点，有：,即 大小：vA=AI,方向：AI与一致,同理：,即：平面图形上任一点的速度，就是该点随图形绕该瞬时图形的速度瞬心转动的速度。也就是：某瞬时图形上任一点的速度的大小等于该点到速度瞬心的距离与图形此瞬时角速度的乘积，方向垂直与该点到速度瞬心的连线与角速度一致。,17,运动学,4确定速度瞬心位置的方法,注意：速度瞬心的加速度不为于零。,平面图形的运动可以看成是绕它的一系列速度瞬心作瞬时转动。,已知图形上一点的速度 和图形角速度，则速度瞬心,且I在 顺转向绕A点转90的方向一侧。,已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动（或称纯滚动）,则图形与固定面的接触点I为速度瞬心。,18,运动学,均有：,19,运动学,已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直 此时,图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度=0,图形上各点速度相等,这种情况称为瞬时平动.(此时各点的加速度不相等),对(a)的情况，若vAvB，也是瞬时平动,20,例如:曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动,此时连杆BC的图形角速度，BC杆上各点的速度都相等.但各点的加速度并不相等设匀，则,而的方向沿AC的，瞬时平动平动不同,运动学,21,解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动。,基点法（合成法）研究 AB，以 A为基点，且方向如图示。,运动学,例1 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀 转动。求：当=45时,滑块B的速度及AB杆的角速度,22,试比较上述三种方法的特点。,运动学,根据速度投影定理,不能求出,23,运动学,例2：绕线轮作纯滚动，其上圆柱部分的绕线以u水平向右运动，求O、A、C、D点的速度。,解：,vO=R=vA=2R=vC=IC=vD=ID=,24,运动学,例3：图示机构，曲柄OA以0转动。设OA=AB=r，图示瞬时O、B、C在同一铅直线上，求此瞬时点B和C的速度。,解：（1）以OA为研究对象：vA=r0，方向OA,（2）以AB为研究对象：,IAB,（3）以BC为研究对象：,IBC,AB,BC,25,6-4 平面图形内各点的加速度,取A为基点，将平动坐标系铰接于A点，取B动点，则B点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动,由动系作平动时的加速度合成定理 可得：,运动学,一.基点法(合成法),已知：图形S 内一点A 的加速度 和图形 的,（某一瞬时）。求：该瞬时图形上任一点B的加速度。,26,其中：，方位AB，指向与 一致；，方向：BA。,运动学,即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。,上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。,为何没有？,27,*二加速度瞬心由于 的大小和方向随B点的不同而不同,所以总可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基点A的加速度等值反向，其绝对加速度Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心,运动学,28,由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基点法求图形上各点的加速度或图形角加速度,运动学,解：轮O作平面运动，I为速度瞬心，,由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而,29,由此看出，速度瞬心I 的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心I的加速度指向轮心,运动学,以O点为基点，则,（*）,将(*)式分别向、轴投影：,30,解：(a)AB作平动，,运动学,例5 已知O1A=O2B=l,图示瞬时 O1A/O2B 试问(a),(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？,(a),(b),31,(b)AB作平面运动,图示瞬时作瞬时平动,此时,运动学,下面求加速度：,以A点为基点，则,（*）,32,运动学,将（*）式向x轴投影：,x,将各量代入，得：,33,运动学,例6 曲柄滚轮机构：滚子半径R=15cm,曲柄OA转速n=60 rpm。求：当=60时(OAAB),滚轮的，。（习题6-11）,翻页请看动画,34,请看动画,35,解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动（1）求,运动学,IAB,（顺时针）,A,（逆时针）,以AB为研究对象,以轮为研究对象,36,运动学,以AB为对象，以A为基点：,方向：AO,将（*）式向轴投影：,（2）求,aB=？，方位：水平，指向假设,（*）,aBA=？，方位BA，指向假设,方向：B A,以轮为研究对象：,B=aB/BIB=131.5/15=8.77rad/s(逆时针),37,例7图示机构，已知OA=20cm，BO1=100cm，AB=120cm；OA以0=5rad/s2转动，图示瞬时OA的0=10rad/s，求此时B点的加速度。,运动学,解：以AB杆为研究对象,（1）求O1B杆的1,AB作瞬时平动,1,38,运动学,（2）求aB,1,以A点为基点，则B点加速度：,（*）,其中：,39,运动学,1,将（*）式向AB投影：,方向：,讨论：,40,刚体平面运动习题课,一概念与内容1.刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变2.刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动 3.刚体平面运动的分解 分解为 4.基点可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点,运动学,41,运动学,6.刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例7.求平面图形上任一点速度的方法（1）基点法：（2）速度投影法：（3）速度瞬心法：其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例,42,8.求平面图形上一点加速度的方法基点法：，A为基点,是最常用的方法此外，当=0,瞬时平动时也可采用方法它是基点法在=0时的特例。,运动学,9.平面运动方法与合成运动方法的应用条件平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速 度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形 角速度、角加速度之间的关系合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有 相对滑动时的运动关系的传递,43,二解题步骤和要点 1.根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动 形式注意每一次的研究对象只是一个刚体 2.对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速 度(图形角速度)问题的方法,用基点法求加速度(图形角加速 度)3.作速度分析和加速度分析，求出待求量(基点法:恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；速度投影法:不能求出图形;速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键）,运动学,44,*例1 曲柄肘杆压床机构已知：OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m,BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平求该位置时的、及,运动学,翻页请看动画,45,请看动画,46,例1 曲柄肘杆压床机构已知:OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m,BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平.求该位置时的，及,解：OA,BC作定轴转动,AB,BD均作平面运动 根据题意：(1)研究AB：,运动学,(2)研究BD：BDIBD为等边三角形,47,例2 行星齿轮机构,运动学,请看动画,48,解：OA定轴转动;轮A作平面运动,瞬心I点,运动学,*例2 行星齿轮机构已知:R,r,o 轮A作纯滚动，求,49,例3 平面机构中,楔块M:=30,v=12cm/s;盘:r=4cm,与 楔 块间无滑动求圆盘的及轴O的速度和B点速度,运动学,请看动画,50,解：杆OC,楔块M均作平动,圆盘作平面运动，I为速度瞬心,运动学,*例3 平面机构中,楔块M:=30,v=12cm/s;盘:r=4cm,与 楔块间无滑动求圆盘的及轴O的速度和B点速度,51,比较例2和例3可以看出,不能认为圆轮只滚不滑时,接 触点就是瞬心,只有在接触面是固定面时,圆轮上接触点 才是速度瞬心 每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和 角速度,并且瞬心在刚体或其扩大部分上,不能认为瞬心在 其他刚体上.例如,例1 中AB的瞬心在IAB点,BD的瞬心在IBD 点,而且IAB也不是CB杆上的点,运动学,52,运动学,例4 导槽滑块机构,请看动画,53,运动学,*例4 导槽滑块机构,已知：曲柄OA=r,匀角速度 转动,连杆AB的中点C处连接一 滑块C可沿导槽O1D滑动,AB=l,图示瞬时O,A,O1三点 在同一水平线上,OAAB,AO1C=30。求：该瞬时O1D的角速度,解：OA,O1D均作定轴转动,AB作平面运动,研究AB:,图示位置,作瞬时平动,所以,研究AB、O1D（复合运动）动点:AB杆上C(或滑块C),动系:O1D杆,54,运动学,绝对运动：曲线运动，方向相对运动：直线运动，方向：O1D牵连运动：定轴转动，方向 O1D,根据，作速度平行四边形,这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题注意这类题的解法，再看下例,ve即O1D杆上与滑块C 接触的点的速度,55,运动学,例5 平面机构,请看动画,56,例5 平面机构图示瞬时,O点在AB中点,=60,BCAB,已知O,C在同一水平线上,AB=20cm,vA=16cm/s,试求该瞬时AB杆,BC杆的角速度 及滑块C的速度,解:轮A,杆AB,杆BC均作平面运动,套筒O作定轴转动,滑块C平动.取套筒为动点,动系固结于AB杆;静系固结于机架,运动学,由于沿AB,所以方向沿AB并且与反向。从而确定了AB杆上与O点接触点的速度方向。,研究AB,IAB为速度瞬心,57,也可以用瞬心法求BC和vC，很简便,研究BC根据速度投影定理,运动学,（）,58,解:OA定轴转动;AB,BC均作平面运动,滑块B和C均作平动,求,对AB杆应用速度投影定理：,对BC杆应用速度投影定理：,运动学,例6 已知：配气机构中，OA=r,以等 o转动,在某瞬时=60 ABBC,AB=6 r,BC=.求 该瞬时滑块C的 速度和加速度,59,求,以AB为研究对象，以A为基点求B点加速度：,(a),作加速度矢量图,将（a）式向BA方向投影,运动学,其中,60,再以BC为研究对象，以B为基点,求,运动学,注 指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同，反之，结果为负，说明假设与实际指向相反,将(b)式在BC方向线上投影：,其中,61,例7 导槽滑块机构,运动学,请看动画,62,运动学,解：应用点的合成运动方法确定AE杆上C的速度 取CD杆上C为动点，动系固结于AE；则,应用平面运动方法确定AE上A、C 点之间速度关系(b),例7 导槽滑块机构图示瞬时,杆AB速度，杆CD速度 及 角已知，且AC=l,求导槽AE的角速度,(a),63,运动学,将(b)代入(a)得,作速度矢量图投至 轴，且vCv，vu，有,64,运动学,本章结束,