理论力学05点的运动学和刚体的基本运动.ppt

,第二篇 运动学,第五章 点的运动学和刚体的基本运动,运动学,5-1 运动学的基本概念,是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。(包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。,建立机械运动的描述方法 建立运动量之间的关系,为后续课打基础及直接运用于工程实际。,(relativity):参考体(物);参考系;静系;动系。,1)点的运动 2)刚体的运动,引 言,4,一.矢径法：运动方程，轨迹,运动学,5-2 点的运动方程,二.直角坐标法,5,以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。弧坐标法,运动学,一.弧坐标,自然轴系,1.弧坐标的运动方程S=f(t),三.弧坐标法,6,一.矢径法：,运动学,5-3 动点的速度和加速度,一般（思考园）,速度：,加速度：,7,二.直角坐标法,运动学,8,加速度.,注 这里的 x,y,z 都是时间单位连续函数。,当消去参数 t 后,可得到 F(x,y)=0 形式的轨迹方程。F(y,z)=0,运动学,9,点的速度,三.自然轴系,运动学,切线方向矢 法线方向矢 指向凹侧副法线方向矢全是变矢量,-密切面,割线r与弧线s极限时重合,10,切向加速度-表示速度大小的变化,运动学,点的加速度,法向加速度-表示速度方向的变化,11,由图可知,运动学,12,运动学,例 5.1 一绳AMC的一端系于固定点A，绳子穿过滑块M上的小孔。绳的另一端系于滑块C上。滑块M以已知等速v0运动。绳长为l，AE的距离为a且垂直于DE。求滑块C的速度与距离AM=x之间的关系。又当滑块M经过E点时，滑块C的速度为何值？,13,运动学,曲率半径与法向加速度有关先求速度和法向加速度,点的瞬时全加速度,14,运动学,（求切向加速度）,5-4 刚体的平动和定轴转动,例,由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的,运动学,是指刚体的平行 移动和转动,5-4-1刚体的平行移动(平动),基本运动,OB作定轴转动CD作平动,AB、凸轮均作平动,运动学,位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。,运动学,一.刚体平动的定义:刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持方向不变。由A,B 两点的运动方程式:而,例,AB在运动中方向和大小始终不变 它的轨迹,可以是直线可以是曲线,运动学,得出结论:即,二.刚体平动的特点:平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状,速度,加速度都一样。即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。,平动定理:当刚体平动时，刚体内各点轨迹的形状相同（或重叠），在同一瞬时各点都有相同的速度和加速度,运动学,5-4-2 刚体的定轴转动,一.刚体定轴转动的特征及其简化定义：当刚体运动时，刚体内有一线段上的所有点始终保持不动，刚体的这种运动称为定轴转动，该直线称转轴。,运动学,三.定轴转动的角速度和角加速度 1.角速度：,单位 rad/s,若已知转动方程,2.角加速度:设当t 时刻为,t+t 时刻为+,与方向一致为加速转动,与 方向相反为减速转动,3.匀速转动和匀变速转动当=常数,为匀速转动；当=常数,为匀变速转动。,运动学,单位:rad/s2(代数量),是对整个刚体而言(各点都一样)；v,a是对刚体中某个点而言(各点不一样)。,运动学,(即角量与线量的关系),5-4-3 定轴转动刚体上各点的速度和加速度,一.线速度V和角速度之间的关系,R称为转动半径,运动学,二.角加速度 与an,a 的关系,运动学,结论:v方向与 相同时为正,R,与 R 成正比。各点的全加速度方向与各点转动半径夹角 都一致,且 小于90o,在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:,各点速度分布图,各点加速度分布图,运动学,我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速,它们变速的基本原理是什么呢?,5-4-4 轮系的传动比,一.齿轮传动,因为是做纯滚动(即没有相对滑动)无论内、外啮合，都有：,运动学,定义齿轮传动比,对于两个啮合的齿轮，其齿数 Z1，Z2与齿轮的半径 R1,R2 成正比,运动学,由于转速n与w 有如下关系：,显然当:时,为升速转动；时,为降速转动。,运动学,三.链轮系:设有：A,B,C,D,E,F,G,H 轮系,则总传动比为：,其中m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。,二.皮带轮系传动,(而不是 方向不同),皮带传动,运动学,5-4-5 定轴转动刚体的角速度、角加速度，其上各点的速度、加速度的矢量表示,一.角速度和角加速度的矢量表示,按右手定则规定，的方向。,二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示,运动学,先检查他们的方向分别为切向和法向,一.基本概念和基本运动规律及基本公式,第五章 点的运动学 和刚体的基本运动,习题课,运动学,例 5.6 如图机构中，AB 杆与套筒 B 固连，可在铅垂滑道内滑动，CD 杆穿过套筒 B 与齿轮 E 固连，齿轮 E 的半径为 r；曲柄 OC 长度为 R、以匀角速度 转动。齿轮 G 与齿轮 E始终啮合。求：（1）齿轮 G 的半径，轮心的位置如何确定？（2）齿轮 G 的角速度。,运动学,解：（1）CD 杆作平动，则点 E 的轨迹与 C 点轨迹相同，是一个半径为R 的圆，该圆心 G 在 OC 的平行线上，且 EG=OC。以 G为圆心、半径分别为 R-r、R+r的两个圆均可取为齿轮 G，前者为外啮合、后者为内啮合；图示为外啮合情况，因此，我们取齿轮 G 的半径 R-r。,运动学,例 5.7 如图圆盘 C 以匀角速度 绕倾斜轴 OB 转动，盘面与转轴垂直，圆盘的半径为 r；设 OB 轴在 平面Oyz内，盘面与 平面Oyz的交线为 CD，点A 为圆盘边缘上一个固连点。求：CA 与CD 为任意角时 A 点的速度和加速度矢量。,运动学,解：以矢量思路考虑，有,OB方向单位矢:,CD方向单位矢:,角速度矢量:,运动学,角加速度矢量:,速度矢量:,运动学,5-5 刚体的定点转动（不讲）,定义刚体运动时，如果其上有一点始终不动，则称该刚体作定点转动,速度投影定理-讲解刚体上任意两点在同一瞬时的速度在两点连线方向的投影相等。证明：设刚体上任意两点A、B，它们在同一瞬时的速度分别为 v A，vB，则,运动学,点积矢量AB,AB长度不变：,AB换为AB方向的单位矢量：也必然成立,速度投影定理刚体上任意两点在同一瞬时的速度在两点连线方向的投影相等。,运动学,定点转动刚体的角速度、角加速度和其上各点的速度、加速度,设 t 瞬时某点 A 的速度 v A 0，v A OA（O为其定点）取含 OA线的平面 v A，取平面上异于 OA 线任取一点B，使 v B v A，平面上所有点的速度均垂直于该平面（对A、B应用速度投影定理面内分量必然都为零），平面上任意直线上各点的速度必为直线分布；（否则 t 时间后，该直线将被弯曲或伸缩，这对刚体是不容许的）。同理AB 线上各点的速度也必须是直线分布，因为与 矢端的连线不平行于平面，这条矢端连线一定会与 平面相交，设交点为 C，其速度必为零，所以 OC 线上所有点的速度为零（OC 线上所有点的速度也必须直线分布）,运动学,在 t 瞬时，OC 线是唯一的，若刚体上还有一条速度为零的直线，可推知这两条直线决定的平面上所有点的速度也为零，进一步可推知整个刚体的速度为零，这与 vA 0矛盾。在 t 至t+t时间内，平面只能绕 OC 线转动一个微小角度，否则，在t+t瞬时，平面将沿 OC 线折成一个角或变成凹凸不平的曲面，这对刚体是不容许的。由于 平面与刚体固连，在 t 至t+t 时间内，刚体的运动也只能是跟随 平面绕 OC 线转动一个微小角度。因此在 t 到 t+t时间内，可以将刚体看成绕 OC 线作定轴转动，转过的角度为，OC 线称为刚体在 t 瞬时的瞬时转动轴，简称瞬轴。由以上分析得：定点转动刚体在每一瞬时都有一根瞬轴，刚体的定点转动是刚体绕一系列瞬轴转动的合成。在每一瞬时 t，平面转角速率(t)/t 便是刚体的瞬时角速度的值，按右手规则化为矢量，便是瞬时角速度矢量，与瞬轴共线,运动学,定义：角加速度矢量，与定轴转动刚体相比，定点转动刚体的瞬轴一般都在变化（无论是相对刚体的位置、还是相对于参考系的位置），定点转动刚体角速度矢量 的大小、方向一般是随时间变化的，其作用线总是通过固定点 O；由方程知，定点转动刚体的角加速度矢量的大小、方向一般也是随时间变化的，并且与的方向一般不在一直线上,瞬时速度矢量,微分得瞬时加速度矢量,现在与的方向是变化的,5.7（曲率半径）5.10（平动和定轴转动）5.15（矢量法求线速度）,习题,42,运动学,第五章结束,61 点的运动矢量分析方法 62 点的运动的直角坐标法 63 点的运动的自然坐标法,第六章 点的运动学,一.基本概念和基本运动规律及基本公式1.基本概念：直线运动,曲线运动(点);平动,定轴转动(刚体)。2.基本运动规律与公式:,第五章 点的运动学 和刚体的基本运动,习题课,运动学,运动学,刚体定轴转动,转动方程:角速度:,角加速度:,匀速转动:,匀变速运动:,运动学,二.解题步骤及注意问题1.解题步骤:弄清题意,明确已知条件和所求的问题。选好坐标系：直角坐标法，自然法。根据已知条件进行微分，或积分运算。用初始条件定积分常数。,运动学,注意问题：几何关系和运动方向。求轨迹方程时要消去参数“t”。坐标系（参考系）的选择。,例题,例一、列车圆弧行走,例4 已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM0.4m，在 某瞬时测得,例6已知如图，O点以任一角度抛出一质点，试证明质点最早到达直线的抛角为。,三.例题例1列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开曲线轨道时的速度是v148km/h。求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？,运动学,解：由于是匀变速运动，则常量。由公式而由已知,列车走上曲线时，全加速度列车将要离开曲线时，全加速度,运动学,返回,其中,例2已知如图，求时正好射到A点且用力最小。,分析：只有在A点，vy0且为最大高度时，用力才最小。,解：由,由于在A点时，vy=0，所以上升到最大高度 A点时所用时间为：,运动学,将上式代入和，得：,运动学,返回,例3已知：重物A的,（常数）初瞬时速度,方向如图示。求：,滑轮3s内的转数；重物B在3s内的行程；重物B在3s时的速度；滑轮边上C点在初瞬时的加速度；滑轮边上C点在3s时的加速度。,运动学,解：因为绳子不可以伸长，所以有,运动学,滑轮3s内的转数,重物B在3s内的行程,重物B在3s时的速度,t=0 时，,滑轮边上C点在3s时的加速度,运动学,返回,滑轮边上C点在初瞬时的加速度,例4 已知：圆轮O由静止开始作等加速转动，OM0.4m，在 某瞬时测得,求：转动方程;t5s时，点的速度和 向心加速度的大小。,解：,运动学,M,t5s时，点的速度和向心加速度的大小,当5s时，,运动学,M,返回,例5试画出图中刚体上两点在图示位置时的速度和加速度。,运动学,返回,例6已知如图，从O点以任一角度抛出一质点，试证明质点最早到达直线的抛角为。,（与上升的最大高度无关，只要求时间对抛射角度的变化率）,运动学,到达高度为 h 时，t 与的关系有下式确定,解：选坐标系，则,O,将对求导数,将（最早到达的条件）代入，得,又,证毕。,运动学,表示出在某一角度下时间会最短。（极值）,返回,哈工大第六版习题7-17-4.7-87-127-14,习题,62,运动学,课堂自学.用柱坐标法给出点的运动方程。与 有何不同?就直线和曲线分别说明。,(直线.曲线都一样),为速度的大小变化率,在曲线中应为切向加速度。,柱坐标法方程,63,运动学,指出在下列情况下,点M作何种运动?,(匀变速直线运动),(匀速圆周运动),(匀速直线运动或静止),(直线运动),(匀速运动),(圆周运动),(匀速运动),(直线运动),(匀速曲线运动),(匀变速曲线运动),64,点作曲线运动,画出下列情况下点的加速度方向。M1点作匀速运动 M2点作加速运动 M3点作减速运动,判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?,运动学,65,点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零 点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否一定为零,运动学,答:不一定.速度为零时加速度不一定为零(自由落体上抛到顶点时)加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度,切向加速度和法向加速度的物理意义？,答：表示速度大小的变化 表示速度方向的变化,66,点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，还是越跑越慢？,证明 是沿着主法线方向,即。,证明:,运动学,67,运动学,第六章习题,哈工大第六版6-26-66-76-9,