理想流体动力学基本方程.ppt

流 体 力 学,集美大学机械工程学院,第三章 理想流体动力学基本方程,3.1 描述流体运动的两种方法3.2 流线和流管3.3 连续性方程 控制体的概念3.4 动量方程和运动方程3.5 伯努利方程3.6 压强沿流线法向的变化 3.7 总流的伯努利方程3.8 伯努利方程应用举例3.9 叶轮机械内相对运动的伯努利方程3.10 非定常流动的伯努利方程3.11 动量方程和动量矩方程及其应用,3.1 描述流体运动的两种方法,一.拉格朗日方法 拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个流体质点的运动全过程及描述运动过程中各质点、各物理量随时间变化的规律。又称轨迹法。通常以流体质点的初始坐标点作为区别不同的流体质点的标志。设t=t0时，流体质点的坐标值是（a，b，c）。,流体质点速度为：,流体质点的空间位置、密度、压强和温度可表示为：,流体质点加速度为：,二.欧拉法 欧拉法的着眼点不是流体质点，而是空间点。欧拉法是设法在空间的每一点上描述出流体运动参数随时间的变化情况。观测先后流过各空间点的各个质点的物理量变化情况，便能了解整个或部分流场的运动情况，故又称空间点法或流场法。例如在气象观测中广泛使用欧拉法。,由欧拉法特点可知，各物理量是空间点x，y，z，t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：,加速度可表示为：,上式中右端第一项称为时变加速度，表示某空间定点处流体质点速度变化率；右端的后三项称为位变加速度，表示由于流体质点所在的空间位置变化而引起的速度变化率。,流体质点所具有的物理量（速度、密度、压强）的时间变化率，称为随体导数，也称物质导数,写成通式,定常流动和非定常流动 流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时间而变化，则称此流动为恒定流动，反之为非恒定流动。均匀流动和非均匀流动 流体运动过程中，若所有物理量皆不随空间点坐标而变，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。一维、二维、三维流动 在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为一维流动，依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个坐标，则称为三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的二维运动。,三.几个基本概念,3.2 流线和流管,一.流线与迹线,迹线是流体质点在空间运动时描绘的轨迹。它给出了同一流体质点在不同时刻的空间位置。迹线是拉格朗日法对流动的描绘。流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每一点的切线都与速度矢量相重合。流线是欧拉法对流动的描绘。,基本方程 迹线 流线性质 一般情况，流线不能相交，且只能是一条光滑曲线。,流线充满整个流场。定常流动时，流线的形状、位置不随时间 变化，且与迹线重合。流线越密，流速越大。,例题1,例1 已知平面流动的流速分布为 ux=kx uy=-ky 其中y0，k为常数。试求：流线方程；迹线方程。解据y0知，流体流动仅限于xy半平面内，因运动要素与时间t无关，故该流动为恒定二元流。流线方程：积分得：该流线为一组等角双曲线。,例题1,迹线方程：积分得：与流线方程相同，表明恒定流动时，流线与迹线在几何上完全重合。,例题2,例2假设不可压缩流体的流速场为ux=f(y,z),uy=uz=0 试判断该流动是否存在。解判断流动是否存在，主要看其是否满足连续性微分方程。,本题,满足,故该流动存在。,二.流管与流束,流管：在流场中任取一条非流线的封闭曲线l，通过此封闭曲线上的每一点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲面称为流管。由流线定义可知，位于流管表面上的各流体质点的速度与流管表面相切，没有其法向速度分量，因而流体质点不穿越流管壁。元流：当封闭曲线l所包围的面积无限小时，充满微小流管内的流体称为元流或微小流束。总流：当封闭曲线l取在运动流体的边界上时，则充满流管内的流体称为总流。,三.流量,流量：单位时间内通过过流断面的流体量称为流量。流体量可以用体积、质量和重量表示，其相应的流量分别是体积流量Qv（由于体积流量使用较多，故简写为Q）、质量流量Qm和重量流量QG。过流断面：与流束或总流的流线相垂直的断面称为过流断面。当流线是平行的直线时，过流断面是平面，否则它是不同形式的曲面。,断面平均流速 过流断面上实际流速分布都是非均匀的。在流体力学中，为方便应用，常引入断面平均流速概念。,3.3连续性方程 控制体的概念,连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的数学表达式。连续性微分方程 取如图所示微小六面体为控制体，分析在dt时间内流进、流出控制体的质量差：,x方向:,Y方向：,Z方向：,据质量守恒定律：单位时间内流进、流出控制体的流体质量差等于控制体内流体面密度发生变化所引起的质量增量。即：,将 代入上式，化简得：或 上式即为流体运动的连续性微分方程的一般形式。,对于恒定不可压缩流体，连续性方程可进行简化：定常流 或不可压缩流体 或,例题3,例3 已知变扩管内水流作恒定流动，其突扩前后管段后管径之比d1/d2=0.5，则突扩前后断面平均流速之比V1/V2=?,解,据恒定不可压缩总流的连续性方程有 V1/V2=(d2/d1)2=4,例题4,例3 平面流动的速度分布为,3.4 动量方程和运动方程,以上是积分形式的动量方程,定常条件下有,欧拉运动方程,O,X方向:,同理:,将欧拉方程表示为分量的形式,理想,恒定,3.5伯努利方程,五个条件:,质量力有势,不可压缩流体,沿流线 有v=u(dy/dx)w=u(dz/dx),(a)(b)(c),将：(a)dx+(b)dy+(c)dz可得：,积分得,若质量力为重力，则有W=-gz,则理想流体伯努利方程可写为：,理想流体元流伯努利方程的几何意义与能量意义几何意义 伯努利方程式每一项的量纲与长度相同，都表示某一高度。如图：表示研究点相对某一基准面的几何高度，称位置水头。：表示研究点处压强大小的高度，表示与该点相对压强相当的液柱高度，称压强水头。：称测压管水头。：表示研究点处速度大小的高度，称流速水头。：称总水头。,伯努利方程表明重力作用下不可压缩理想流体定常流动过程中三种形式的水头可互相转化，但总水头沿流程守恒。,能量意义：表示单位质量流体对某一基准具有的位置势能。：表示单位质量流体具有的压强势能。：表示单位质量流体具有的动能。伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。,3.6 压强沿流线法向的变化,当曲率半径很大时,上式左边可忽略不计,故沿流线的法向有,均匀流、急变流和渐变流 在流场中，如果任一确定流体质点在其运动过程中速度保持不变（大小和方向均不变），则将这样的流动称为均匀流。如果流体质点在运动过程中,其速度大小或方向发生明显变化，这样的流动称为急变流。流线的曲率半径都很小。在实际工程中，有些流动虽然不属于严格意义上的均匀流，但是流体质点的速度变化比较缓慢（例如渐扩管或渐缩管中的流动），这样的流动称为渐变流。流线的曲率半径都很大。,3.7 总流的伯努利方程,在实际工程中，流动往往具有固定的边界，例如液体和气体在管道中的流动，这种流动是由许多微小流束（元流）组成的，所有这些流束的全体成为总流。,设1-1、2-2为总流的两个截面，对于任意一条微小流束，有。,将两式相乘，并在整个截面上积分，,如果截面1-1、2-2都处在缓变流中，则z+p/g=常数,在截面1-1、2-2上，各点的速度是变化的，为简化起见，用平均速度V表示速度水头的积分,因此,对于不可压缩流体的定常流动，Q1=Q2，故有,总流从11至22断面流动中，单位质量流体的平均能量损失为hw，对水而言称水头损失.,经前面处理后，可得重力作用下不可压缩实际流体定常总流伯努利方程：,总流伯努利能量方程是在一定条件下推导出来的，所以应用这一方程时要满足以下限制条件：流动定常；流体上作用的质量力只有重力；流体不可压缩；列伯努利方程的过流断面上的流动必须是渐变流；与断面流速分布有关，因而受流态影响。在渐变流情况下，可取1。,有分流或汇流时实际流体总流伯努利方程,有流量汇入,将上面第一、二个方程两边分别乘以Q1、Q2 再相加，得总能量守恒的伯努利方程,有流量分出,将上面第一、二个方程两边分别乘以Q2、Q3 再相加，得总能量守恒的伯努利方程,总流能量方程的应用要点：,（1）基准面是写方程中 Z 值的依据。一般通过两断面中较低一断面的形心，使一Z 为零，而另一Z 值为正值。（2）两计算断面必须是均匀流或渐变流断面并包含已知和要求参数；（3）过水断面上计算点的选取，可任取，一般：管流断面中心点，明渠流自由液面上；（4）两计算断面压强必须采用相同计算基准（绝对、常用：相对压强）；（5）方程中各项单位必须统一。,3.8 伯努利方程应用举例,解题步骤,（1）选计算断面，并在计算断面上确定计算点。（2）选基准面。（3）建立方程，求未知量。,应用举例,小孔定常出流毕托管测速原理文丘里流量计,已知:图示一敞口贮水箱,小孔与液面的垂直距离为H(淹深).设水位保持不变.,求：(1)自由出流速度v(2)出流流量Q,解：设流动为不可压缩理想流体的定常流动.,对于断面、有,整理得,从孔口流出的流量为,-托里拆利公式,小孔定常出流,设小孔面积为A,流股发生收缩后.收缩断面处的截面积为A1,则收缩系数为,实际出流量为,收缩系数与孔口边缘状况有关。,式中 流速系数，一般为0.960.99；,式中 流量系数，与孔口形状，孔口边缘情况和 孔口在壁面上的位置这三个因素有关。,对大孔口应考虑速度不均匀分布的影响。,淹没出流时流速、流量计算式与自由出流时的完全相同。,如图，对1、2两点列出伯努利方程：,驻点2点处的压强为,液体在弯管内上升的高度为,毕托管测速原理,驻点2点处的流速为零,式中 流速修正系数，取决于毕托管的外形尺寸 和加工精度，其值由实验确定，一般取 两测压管内液柱高差。,实际流速,液体中某点的流速：,已知：主管路直径D，喉管直径d；定常流条件下，测压管水头差为，推导管路中实际水流量Q 的计算式。,对过水断面11和22列出理想流体的伯努力方程,化简得,运用连续性方程,得主管道流速,文丘里流量计,实际流量,理想情况下的流量,式中 流量系数，主要与管子材料、尺寸、加工精度、安装质量、流体的黏性及其运动速度等 因素有关，,结构常数。,例题5,例5 已知无穷远 V=1.2m/s,p=0 求:驻点处的压强ps,故 ps=0.073 m水柱,解:,例6 已知:d=200mm H=4.5m Q=100(l/s)求:水流的总水头损失,解:,选1-1与2-2两个断面间的流动,将H=z1-z2和p1=p2=0 及 V1=0 2=1.0 则有,例题6,例7 已知:zc=9.5m zB=6m 不计损失求:c 点压能和动能,解:1-1与2-2两截面间流动,由伯努利方程有,列1-1与c断面间能量方程有,例题7,3.9 叶轮机械内相对运动的伯努利方程,S方向的力平衡方程为(座标固结叶轮上),对于同一流线上任意两点,可写为,可对流体机械(水轮机,汽轮机,水泵,风机)的解释,3.10 非定常流动的伯努利方程,容器旁管非定常出流,由0-0到1-1点积分有,积分得,U形管中液体的振荡,3.11 动量方程和动量矩方程及其应用,在工程实际中，常常需要求物体所受的流体作用力或者力矩。这就需要求出物体表面每一点的压强分布，再用积分方法求出合力或合力矩。解决这类问题的方法有两种：一种是利用流体的运动微分方程式，在根据边界条件求出速度和压强分布。用这种方法的困难很大。另一种则是利用动量方程和动量矩方程求解，这种方法往往不需要知道流动的细节，只要根据边界上的流动情况就可以解决问题。,取截面1-1和2-2间的体积为控制体,定常流动的动量方程的一般形式：,：单位时间内通过截面A的流体所携带的动量。,一般而言，在截面上，点速度的分布是不均匀的。因此，可用u表示速度，V表示平均速度，令,称为动量修正系数,得,理想流体定常流动总流的动量方程。其物理意义是：作用在所研究的流体上的外力矢量和等于单位时间内流出与流入的动量之差。,对式 的被积函数对某点取矩，经类似以上处理，得,三维情况下,向各坐标轴方向投影,有,此式就是动量矩方程。表示单位时间内流出、流进控制面的流体对某固定点的动量矩之差，等于作用在流体上的所有外力对同一点力矩的矢量和。,如果总流有若干个进口面和出口面，则动量方程和动量矩方程为,非惯性坐标系中的动量矩方程为,注意点及求解步骤:(1)建立坐标系,标出控制体(2)分析控制体所受到的力(3)分析动量的变化(流出减流进,速度投影有正负)(4)注意作用力是谁施予谁(可利用牛顿第三定律),动量方程的应用举例,水流对弯管的作用力,图示一弯管，沿x 轴、y 轴的动量方程为,Rx、Ry：弯管对水流的作用力的分量,所以,则,的方向为,流体对弯管的作用力，与之相等，方向相反是一对作用力和反作用力,例8 p1=98kpa V1=4m/s d1=200mm d2=100mm a=450 不计水头损失，求:水流作用于弯管上的力,解:设管壁对水流的作用力为Rx Ry由连续性方程,有,列1-2伯努利方程,列X方向动量方程,列Y方向动量方程,代入有关数据得 Rx=-2.328(kN)Ry=1.303(kN)利用牛顿第三定律,可得到水流对管壁的作用力,并可求得合力及合力与X方向的夹角,例8,水流对于喷嘴的作用力,分析截面1-1、2-2之间的控制体受力：在截面1上，表压强为p1-pa,截面2的表压强为零；水流给喷嘴壁面的合力F向右，喷嘴壁面给水流控制体的合力方向为左。,由动量方程：,由连续性方程：,由伯努利方程：,得,求出V2，并代入动量方程,水流对水坝的作用力,取1-1和2-2截面在坝体上、下游，可以认为这两个截面都处于缓变流，水压强分布符合静力学规律。水流对坝体的合力指向下游，取上图（右）控制体，坝体给控制体内的合力F指向上游。,动量方程为：,由连续性方程：,得,由伯努利方程：,得,代入动量方程得,例 9 已知矩形平板闸下出流B=6m,H=5m,hc=1m,Q=30m3/s不计水头损失,求:水流对闸门推力,解:利用连续性方程,有,设闸门对水流作用力为 R,则X方向的动量方程为,代入数据,得,水流对闸门的作用力,利用牛顿第三定律,有,方向向右,例 9,例题10,例7 如图所示矩形断面平坡渠道中水流越过一平顶障碍物。已知 m，m，渠宽 m，渠道通过能力，试求水流对障碍物通水间的冲击力F。,例题10,解,取图示控制体，并进行受力分析。,建立xoz坐标系。,在x方向建立动量方程（取）。,式中：,例题10,代入动量方程，得,故水流对障碍物迎水面的冲击力,射流对平板的作用力,平面射流射向一平板（单位宽度），已知射流流量和速度，求射流对于平板的作用力，不计重力影响,射流对平板的作用力,动量方程为：,X方向,Y方向,由连续性方程：,得,射流对固定叶片的作用力,射流对运动叶片的作用力,进出口截面上的速度应为：,过流面积仍为：,动量方程为：,射流对叶片所作功率为：,不可压缩气流对绕流物体的作用力,速度为V0的均匀流体绕过一物体后，在下游的一个截面测得速度u(y)的分布为：,近似认为物体上、下游的压强基本上都等于大气压Pa.,取右图所示控制体，其上下侧面为流线，这两条流线所夹的下游截面的高为2h2,上游截面高为2h1。由于没有流体溢出上下侧面的流线，若设垂直于纸面为单位宽度，根据连续性方程有：,不可压缩气流对绕流物体的作用力,流体从叶轮的内圈入口流入，经叶轮流道于外圈出口流出。进出口半径分别为r1、r2，叶轮以一定角速度旋转。假设流体是理想的，流动是定常的，叶轮内的流动是轴对称的。则可列出水泵叶轮的动量矩方程为,其中 M 为叶轮作用在流体上的总力矩，为绝对速度与牵连速度之间的夹角。,叶轮对流体所作的功率为,当P0时，叶轮机械对流体做功，如水泵、风机等，这时，流体从内轮流入，从外轮流出，小于90度；当P0时，流体对叶轮做功，如水轮机等，这时流体从外轮流入，从内轮流出，大于90度。,已知:图示为一 洒水器,流量为2Q的水由转轴流入转臂,喷嘴与圆周切线的夹角为,喷嘴面积为A,不计损失,转臂所受外力矩为零。试求：洒水器的旋转角速度？,取半径为R的圆周为控制面,则,解:,洒水器的转速,