现代电路的基本知识(放映).ppt

现代电路理论与设计,第章现代电路的基本知识,课程介绍,第1章 现代电路的基本知识,电路理论与设计,1现代电路的基本知识,1.1 电路的基本分类,1.1 电路的基本分类 1.1.1 线性电路和非线性电路 在电路理论中，线性电路和非线性电路有两种定义方式。一种是根据组成电路的元件特性来定义的，称为传统的线性与非线性定义。另一种是根据电路的输入端口和输出端口变量之间的关系来定义的，称为端口型线性与非线性定义。,1.传统的线性与非线性的定义 从组成电路的元件特性看，如果一个电路由线性元件和独立源组成，则称为线性电路。如果一个电路含有非线性元件，则称为非线性电路。传统的线性电路与非线性电路的定义简单明了，但是有一定的局限性。例如，当我们着重研究一个电路的输入输出关系时，传统的线性与非线性电路的意义已经不是很重要，而重要的是端口变量之间的关系。,2.端口型线性与非线性的定义 端口型线性与非线性的定义如下：从电路的输入输出关系看，如果一个电路的输入输出关系既满足齐次性又满足可加性，则该电路称为端口型线性电路。如果一个电路不同时满足齐次性和可加性，则该电路称为端口型非线性电路。如果一个电路是端口型线性电路，则描述该电路的输入输出伏安特性的几何图形必然是过圆点的一条直线，描述该电路的微分方程和差分方程都是线性方程。,图1.1 例1.1的电路,例1.1 电路如图1.1所示。其中，电路的输入为iS，电路的输出支路由电容C和独立电压源VS组成。电容上的初始电压为V0。输出电压为vo。试判断虚线框中电路的输入输出关系是否满足齐次性和可加性，从而判断该电路是线性电路还是非线性电路。,解：（1）讨论齐次性根据题意：,当电路的输入iS增大倍变为iS时，输出电压为：,由上式可以看出，由于存在电容的初始电压V0项和独立电压源VS项，因而当电路的输入增大倍时，输出并不是也增大倍。即电路的输入输出关系不满足齐次性。当然，如果该电路的初始条件V0=0、独立电压源VS=0，则电路的输入输出关系满足齐次性。,（2）讨论可加性 根据可加性的定义，如果该电路有两个输入iS1和iS2，则输出电压为：,可见，该电路的输入输出关系不满足可加性。由于该电路既不满足齐次性也不满足可加性，因而该电路是一个端口非线性电路。但是，根据传统的线性电路的定义，该电路由线性元件和独立源组成，因此属于传统线性电路。由此可以看出，传统的线性电路不一定是端口型线性电路。,例1.2 图1.2是一个半波整流电路。试判断电路的输入输出关系是否满足可加性和齐次性，从而判断该电路的线性。,图1.2 例1.2的电路,解：（1）讨论可加性 该电路的输入为vi1(t)=sint时，输出vo1为一个半波电压，其极性与图1.2中输出量vO的极性相同。该电路的输入为vi2(t)=sin(t+180)时，其输出vo2为半波电压。如果电路的输入输出特性满足可加性，则当输入为vi(t)=vi1(t)+vi2(t)时，输出应为 vo(t)=vo1(t)+vo2(t)。但实际上，当该电路的输入 vi(t)=vi1(t)+vi2(t)=sint+sin(t+180)=0时，电路的实际输出vo(t)=0vo1(t)+vo2(t)。因此，该电路的输入输出关系不满足可加性。,（2）讨论齐次性 由该电路可知，当输入电压vi(t)的幅度增大倍即由sint增大为asint时，输出电压vo的幅度也将增大倍。因此，该电路的输入输出关系满足齐次性。综上所述，该电路的输入输出关系虽然满足齐次性但不满足可加性，因此，是一个端口非线性电路。,1.1.2 时不变电路和时变电路 电路的时不变和时变特性也有两种定义方式，一种是根据电路元件的特性来定义的，称为传统的时不变定义。另一种是根据电路的输入输出关系来定义的，称为端口型时不变定义。(1)传统的时不变电路和时变电路的定义 如果一个电路中不含时变元件，则该电路称为时不变电路。否则称为时变电路。,(2)端口型时不变电路和时变电路的定义 如果一个电路的输入为X(t)时相应的输出为Y(t)，当输入提前或滞后一段时间为X(t-t0)时，输出也提前或滞后同样长的时间为Y(t-t0)，则称此电路为端口型时不变电路。否则称为端口型时变电路。实际上，如果一个电路的响应波形只与激励波形有关而与激励作用的时间无关，则该电路称为时不变电路。否则，该电路为时变电路。,例1.4 电路如图1.4所示。电路的激励为vi，响应为ii。图中的电感元件和电容元件均为时变元件，即L=L(t)，C=C(t)。若对于所有的时间t，L(t)=C(t)，且各初始条件均为零。试判断该电路是否为端口型时变电路。,图1.4 例1.4 的电路,解：根据题目中的已知条件，图中的电感元件和电容元件均为时变元件，即L=L(t)，C=C(t)，所以该电路为传统的时变电路。下面考察它是否也为端口型时变电路。设电容中的电荷为qC，电感中的磁通为L，由于R1=R2=1，则该电路的输入与输出关系为：,由于L(t)=C(t)，故以上两个方程完全相同。其解必然相等，即,因为,从输入输出关系上看，整个电路相当于一个阻值为1的纯电阻电路。所以该电路是一个端口型时不变电路。,但是，由于该电路含有时变元件L(t)、C(t)，所以它不是一个传统的时不变电路。由此可以看出，传统的时不变电路一定是端口型时不变电路，而端口型时不变电路不一定是传统的时不变电路。,1.1.3无源电路和有源电路 无源电路和有源电路也有传统的定义和端口型定义两种。1.传统的无源电路和有源电路的定义传统的无源电路和有源电路的定义如下：如果一个电路全部由无源元件组成，则该电路称为无源电路。如果一个电路含有有源元件，则称为有源电路。电阻、电容、电感等元件都属于无源元件，而晶体管、场效应管、运算放大器等器件都属于有源元件。,(2)端口型无源电路和有源电路的定义 对于一个电路，如果由电源传送到该电路的能量大于等于零，即,则称该电路为端口型无源电路。如果由电源传送到该电路的能量小于零，即,则称该电路为端口型有源电路。可见，如果一个网络全部由无源元件组成，则该网络既是传统的无源网络，也必然是端口型无源网络。,1.1.4连续时间系统,离散时间系统和取样数据系统(1)连续时间系统和离散时间系统 如果一个系统的输入是连续时间信号，输出也是连续时间信号，则该系统就是连续时间系统，或称为连续模拟系统。如果一个系统的输入和输出都是离散时间信号，则该系统就是离散时间系统。在连续时间系统中，输入信号x和输出信号y都是连续时间的函数。在离散时间系统中，输入信号x和输出信号y都只在离散的时间点上发生变化，而在这些时间点之间的信号的取值是没有意义的。,(2)取样数据系统 在取样数据系统中，输入信号x和输出信号y也只在离散的取样时间点上发生变化。与离散时间系统不同的是，在这些离散的时间点之间，信号被保持为常数。取样数据系统实质上也是一个模拟系统。故取样数据系统也称为取样数据模拟系统。取样数据系统中的输入信号x和输出信号y可表示为离散变量kT的函数，即,1.2 网络函数,1.2 网络函数电网络是用来对信号进行适当的处理即改变信号特性的。为了研究一个网络对信号产生的影响，必须研究网络的特性。网络函数就是用来描述网络特性的函数。网络函数分为网络的转移函数和网络的驱动点函数两种。策动点函数:表示网络同一端口的电压和电流关系的函数称为策动点函数.转移函数:在一个二端口线性网络中，表示网络一个端口的电压(电流)与另一个端口的电压(电流)关系的函数称为转移函数。,转移函数H(s)的因式表示,其中，H0=Nm/Dn,称为归一化因子。它是当Nm和Dn的系数为1时得到的系数。,转移函数的定义和多项式表示形式,转移函数H(s)的定义,1.2.1 转移函数,1.2.2 驱动点函数驱动点函数的定义为：网络同一端口上的端口电压和端口电流的比值。网络的驱动点函数有驱动点阻抗函数和驱动点导纳函数两种。对于网络的输入端口，其驱动点阻抗函数Zin(s)和驱动点导纳函数Yin(s)分别定义为：,(1)有限传输零点 使传递函数H(s)为零的s值称为H(s)的零点。换句话说，就是使分子多项式为零的s值即N(s)的根就称为多项式N(s)的零点，或称为系统函数H(s)的有限传输零点。在下式中，z1、z2zm就是H(s)的有限零点。在s平面中，零点用“o”表示。,1.2.3 转移函数的零点和极点,(2)有限传输极点 使传递函数H(s)为无穷大的s值称为H(s)的极点。换句话说，就是使使分母多项式为零的s值即D(s)的根称为多项 式D(s)的零点。或称为系统函数H(s)的有限传输极点。在下式中，p1、p2pm就是H(s)的有限极点。在s平面中，极点用“”表示。,(3)无限传输零点和无限传输极点 电路的传递函数也可以有无限传输零点和无限传输极点。当s为无穷大时H(s)的零点称为无限传输零点。当s为无穷大时H(s)的极点称为无限传输极点。如果将在无限远处的极点和零点都包括在内，一个有理函数具有相同数目的极点和零点。其数目等于m和n中较大的一个。,(4)求无限传输零点和无限传输极点的方法 求无限传输零点和无限传输极点的方法如下：令s趋于无穷大，有H(s)|s(Nm/Dn)sm-n 若mn即分子的次数高于分母的次数,则H(s),即H(s)在无限远处具有(m-n)个极点；若mn即分子的次数低于分母的次数,则H(s)0,即H(s)在无限远处具有(n-m)个零点；若m=n,则H(s)(Nm/Dn),即H(s)在无限远处既没有极点也没有零点。,如果将在无限远处的极点和零点都包括在内，一个有理函数具有相同数目的极点和零点。其数目等于m和n中较大的一个。,例1.6 考察下列函数的无限传输零点和极点（1）H(s)=(5s4+1)/(s2+s+1)解：该函数在无限远处具有1个二阶极点。这是因为 H(s)|s5s2.由于分母的表达式是二次函数，由此可知该函数还有2个有限极点；所以该函数总共有4个极点。由于分子的表达式是四次函数，由此可知该函数还有4个有限零点；可见，该函数具有相等的零点数和极点数。,例1.6 考察下列函数的无限传输零点和极点（2）H(s)=2/(s3+s2+s+1)解：该函数在无限远处具有一个三阶零点。这是因为H(s)|s2/s3.由于分子是常数，由此可知该函数还有0个有限零点；由于分母的表达式是三次函数，由此可知该函数还有3个有限极点；可见，该函数具有相等的零点数和极点数。,例1.6 考察下列函数的无限传输零点和极点（3）H(s)=(s2+1)/(s+1)(s+1)2+1 解：由于该函数分母的表达式是三次函数，由此可知该函数还有3个有限极点。它们分别是s=-1和 s=-1j。由于分子是二次函数，由此可知该函数还有2个有限零点s=1；由于必须具有相等的零点数和极点数，因此必须有一个无限远处的零点s=。,例1.7 一个有理函数在s=j2 处具有零点,极点为s=-1,-2,(-1j).归一化因子为2.(1)求该有理函数;(2)考察该函数在无限大处的频率特性.解:(1)利用已知的零点,构造函数的分子多项式.N(s)=(s-j2)(s+j2)=s2+4 利用已知的极点,构造函数的分母多项式.D(s)=(s+1)(s+2)(s+1-j)(s+1+j)=s4+5s3+10s2+10s+4,(2)在上式中,令s,即 H(s)|s2s2/s4=2/s2,所以它在无穷大处有两个零点。,所求的有理函数为,1.2.4 零、极点对网络频率特性的影响,如果一个系统有一对位于j轴上的共轭复数零点j1，如图1.6(a)所示，则该系统转移函数的幅频特性在1处为零值即|H(j1)|=0。如果一个系统有一对位于j轴上的共轭复数极点j2，如图1.6(a)所示，则该系统转移函数的幅频特性在2处为极大值即|H(j2)|=。,如果一个系统有一对非常靠近j轴的共轭复数零点s=1j1，则该系统转移函数的幅频特性在频率1处会达到其最小值。如果一个系统有一对非常靠近j轴的共轭复数极点s=1j2，则该系统转移函数的幅频特性在频率2处会达到其最大值。,极点在s平面上的分布和相应的时域函数关系如下图所示。,1.2.5 网络函数的性质,根据上图的对应关系可知，对于物理上可实现的电网络，其网络函数必须具有以下性质：（1）网络函数是s的实系数有理函数；（2）网络函数在右半s平面内不能有极点；（3）网络函数在虚轴上不能有多重极点。,根据上面的讨论，对于一个可实现的网络，其网络函数H(s)应具有如下的因式分解形式：,在复频域内，具有实数零点和实数极点的转移函数可表示为：,具有复数零点和复数极点的转移函数可表示为：,同时具有实数和复数零极点的转移函数可表示为：,在滤波器设计中，常用到转移函数的幅度平方函数|H(j)|2。幅度平方函数定义为幅度函数H(j)和它的共轭H(j)*的乘积，即：,同时具有实数和复数零极点的转移函数的幅度平方函数为,由上式可以看出，幅度平方函数|H(j)|2是变量2的有理函数。因此，其分子分母随的变化是平滑的。就是说，物理上可实现的转移函数，其分子多项式和分母多项式对的一阶导数是连续平滑的。根据上述讨论，下图实线所示的幅度平方函数是不可能用有理函数实现的。,直线具有分段线性特性；直线具有分段常数特性；直线具有突变特性；曲线和曲线虽然都是连续的曲线，但是它们在点处的一阶导数是不连续的。因此，虽然曲线、都是可以分别实现的，但是整个曲线是不可能用有理函数实现的，也是不能用实际电路实现的。只能用图中所示的虚线去近似该幅度平方函数，即用虚线所代表的有理函数去近似实线所代表的幅频特性。,1.3 滤波器的基本概念,1.3 滤波器的基本概念1.3.1 滤波器的传输特性 滤波器就是一种具有频率选择特性的电路,其主要功能是实现对信号的选频传输,处理的结果就是输出信号。任何角频率为的输入信号S(t)，都可以用傅立叶级数表示为：,当这些信号通过具有频率选择特性的滤波器时，各次谐波分量的系数k、bk被改变。有些分量基本上没有被衰减，有些分量被极大地衰减。,滤波器的这种传输关系可以用转移函数H()来描述。即,转移函数的模|H(j)|和幅角()都是频率的函数。转移函数的模与频率的关系称为滤波器的幅频特性。转移函数的幅角即转移函数的相位与频率的关系称为滤波器的相频特性。在一般滤波器中，主要关心的是幅频特性。在有些滤波器例如处理图像的滤波器中，除了关心幅频特性外，还特别关心其相频特性。,例1.9 简单的滤波电路如图1.10所示。（1）求该滤波器的转移函数；（2）绘出该滤波电路在,情况下的幅频特性曲线|H()|、增益特性曲线 G()和衰减特性曲线A()。,例1.9的电路,解：利用电路的分压关系可以求得滤波器的转移函数为：,滤波电路在 情况下的幅频特性曲线|H()|、增益特性G()和衰减特性A()如图。,可以看出，该滤波器在0处的增益为0dB，在 处的增益降为-3dB(0.707倍)。在信号处理电路中，我们把增益从0dB下降为-3dB所对应的信号频带称为通频带，简称为通带。也就是说，图1.11所代表的电路可以使输入信号vi()中频率低于 的信号受到很大的衰减或不通过。可见，该电路具有滤除频率高于该频率的信号的能力。具有这种特性的电路称为低通滤波器。,1.3.2 滤波器性能的描述1.理想滤波器性能的描述 理想滤波器具有允许某特定频率范围的信号“通过”而“阻止”另一特定频率范围信号的功能。允许通过的信号频率范围称为滤波器的通带；受阻止的信号频率范围称为滤波器的阻带；通带和阻带的分界频率称为滤波器的截止频率c。,(a)增益特性(b)衰减特性,2.实际滤波器性能的描述 理想滤波器的特性是不可能用实际电路实现的，也就是说，是不可能用有限个元件组成的电路实现的。必须寻找一种更加实际的方式来描述实际可以实现的滤波器的特性。下面从它的通带特性、阻带特性和截止频率c处的频率特性三个方面进行研究。,首先研究理想滤波器的通带特性。一个理想的滤波器要求在通带范围内的衰减为0dB。这样的要求是不可能用实际的滤波电路实现的。实际的电路很难在一定频率范围内提供一个常值的传输幅度。这就意味着必须允许滤波器的通带传输有一定的偏差，才有可能用实际的滤波器实现。在实际滤波器设计时，这个偏差用通带最大衰减Amax来表示。它表示所设计的滤波器通带衰减偏离理想值0dB的最大允许偏差。这就是说，当一个滤波器的通带最大衰减Amax确定以后，在设计该滤波器时，只要通带衰减在0到Amax之间就可以满足设计要求了。,一个实际的低通滤波器的通带衰减特性如图所示。,满足相同的衰减特性的两个不同的衰减函数,下面再研究理想滤波器的阻带特性。一个理想的滤波器要求在阻带范围内其衰减应为。这也是不可能用实际电路实现的。一个实际的电路可以在某一频率处使电路的衰减为，但是不能在一个频率段内实现无穷大衰减。实际滤波器阻带内的衰减只能为有限值。在实际滤波器设计时，这个有限值用阻带最小衰减Amin来表示。它表示所设计的滤波器阻带衰减偏离理想值的最大允许偏差。如图所示。这就是说，当一个滤波器的阻带最大衰减Amin确定以后，在设计该滤波器时，只要阻带衰减大于或等于Amin就可以满足设计要求了。,一个实际的低通滤波器的阻带衰减特性如图所示。,满足相同的衰减特性的两个不同的衰减函数,最后研究理想滤波器的阻带和通带的边界特性。一个实际的滤波器也不可能实现通带和阻带之间的突然变化。也就是说，通带的边界p处不可能很陡。为此，我们在通带和阻带之间引入过渡带，如上图中p到s中间的一段频率范围。在过渡带内，滤波器的衰减由Amax逐渐增大到Amin。过渡带越窄，滤波器的选择性越好，但同时滤波器的电路越复杂，成本也越高。一般地说，在滤波器的p和s一定的情况下，Amax越小、Amin越大，则滤波器的过渡带越窄，滤波器的实现电路就越复杂，成本也就越高。,根据上面的讨论，理想的低通滤波器的幅频特性和相频特性可以分别用如图(a)和图(b)中的粗实线来描述。由图可见在通带内，相频特性是线性的。在通带外，由于幅度为零，所以讨论相频特性是没有必要的。,1.滤波器的分类,1.3.3 滤波器的分类(1).按照所处理的信号的类型分 模拟滤波器:用于处理模拟信号的滤波器称为模拟滤波器；数字滤波器:用于处理数字信号的滤波器称为数字滤波器。(2)按照所采用的器件类型分 无源滤波器:采用无源器件的模拟滤波器统称为无源滤波器;有源滤波器。采用有源器件的模拟滤波器统称为有源滤波器。,(3).按照信号的连续性分:连续时间滤波器 取样数据滤波器(4).按照通带与阻带所处的相对位置分:低通滤波器(LP);高通滤波器(HP);带通滤波器(BP);带阻滤波器(BR);全通滤波器(AP)。,1低通滤波器,滤波器具有允许某特定频率范围的信号“通过”而“阻止”另一特定频率范围的信号的功能。允许通过的信号频率范围称为滤波器的通带。受阻止的信号频率范围称为滤波器的阻带。通带和阻带的分界频率称为截止频率。低通滤波器允许低于指定截止频率的信号顺利通过，而使高频分量受到很大的衰减。低通滤波函数的理想幅频特性如图所示。,横坐标为角频率，纵坐标为增益A的幅值|A|。A0为低频增益的幅值。H为截止角频率，习惯上称为截止频率。由如图可知，该低通滤波器的功能是允许频率为0 到频率为H的低频信号通过，而使频率大于H的高频信号受到完全衰减。因此，通频带宽度为BW=H。,由信号系统理论可知，具有这种理想特性的系统是不可能用实际电路实现的。实际可实现的特性如图所示。低通滤波器的应用范围很广，它也是设计其它各种滤波器的基础。当它被用在高保真放大器的音调控制电路中时，就可以控制放大器的音调。通过改变低通滤波器的截止频率H，就可以调节放大器的高音。,2高通滤波器,高通滤波器与低通滤波器相反，它允许高于指定截止频率的信号顺利通过，而使低频分量受到很大的衰减。高通滤波函数的理想幅频特性如图所示。,从原理上讲，高通滤波器的通带应当延伸到频率为无穷处，但实际上由于寄生参数的影响以及有源器件的有限带宽，当频率增高到一定值时，幅值将跌落。所以，它的通频带也是有限的。,A0为高频增益的幅值。L为截止频率。由如图所示的理想幅频特性可知，该高通滤波器的功能是允许频率大于L的高频信号通过，而使频率低于L的低频信号受到完全衰减。,3带通滤波器,带通滤波器可以看成低通滤波器和高通滤波器性能的组合。它允许一个频带内的信号通过，而将频带以外的信号进行完全衰减。带通滤波函数的理想幅频特性如图所示。,带通滤波器的幅频特性,A0为中频增益的幅值。L为低边截止频率，H为高边截止频率，o为中心频率。该高通滤波器的功能是允许频率高于L而低于H的信号通过电路，而使频率低于L而高于H的信号受到很大的衰减。带通滤波器有两个阻带，通频带宽度为BW=H-L。,在通讯设备中，带通滤波器被用来从许多信号中选出有用的信号而衰减干扰信号。,4带阻滤波器,带阻滤波器与带通滤波器相反，它将一个频带内的信号进行完全衰减，而允许频带以外的信号通过。带阻滤波函数的理想幅频特性如图所示。,A0,A0为低频增益的幅值。L为低边截止频率，H为高边截止频率，o为中心频率。可知，该高通滤波器的功能是允许频率高于L而低于H的信号通过电路，而使频率低于L而高于H的信号受到很大的衰减。它的阻带宽度为BW=H-L。在通讯设备中，带阻滤波器被用来衰减干扰信号。,带通滤波器的幅频特性,1.3.4 模拟滤波器的发展,(1).无源滤波器 从20世纪20年代到60年代，实际应用的滤波器主要是由电阻、电感和电容构成的无源滤波器。(2)有源滤波器 50年代，人们已认识到，用电阻、电容和晶体管构成的有源电路也可实现无源网络的频率特性。用有源电路替代电感实现的滤波器称为有源滤波器。用有源电路和电阻、电容实现的滤波器称为有源RC滤波器。有源滤波器可以减小滤波器 的体积，降低成本。,60年代中期，高质量集成运算放大器走向商品化，有源RC滤波器从而获得了很大的发展。70年代初期，出现了混合集成有源RC滤波器，这种滤波器与无源滤波器的尺寸相比已经大大缩小，价格也便宜得多，同时滤波器成为可以出售的商品。(3).开关电容滤波器 由于集成电路技术难以制作具有精确值的电阻，而且制造大阻值的电阻需要较大的芯片面积,使得有源RC滤波器难以实现全集成化。到了70年代末，出现了不需要电阻的开关电容技术。,(4).其它全集成滤波器 80年代以来，滤波器技术飞 速发展，出现了多种形式的全集成滤波器，代表性的有:MOSFETC滤波器;跨导电容滤波器;开关电流滤波器;基于电流传输器的滤波器;连续时间电流模式滤波器等。,目前，全集成滤波器的发展方向是:高频;低电压;低功耗；集成化。,滤波器的发展方向,1.3.5 有源滤波器的优缺点,优点：(1)尺寸小，重量轻；(2)采用集成工艺可以大批量生产，价格低，可靠性高；(3)可以提供增益；(4)可以与数字电路集成在同一芯片上。缺点：(1)频率范围受有源器件有限带宽的限制；(2)受元件值的容差和漂移的影响较大，即灵敏度相对来说比较高。,1.4 滤波函数的逼近,1.4.1 近似函数的概念 理想的低通函数的幅度在通带内是一个常数，而在阻带内为零。相应的相位在通带内是线性的。采用实际的集总线性网络是不能实现这样的特性的。在实际实现时，必须降低理想特性对电路提出的要求，这就应该允许实际实现的滤波器的幅度和相位特性在通带和阻带内有一定的误差。这就要求寻找用一个实际的函数去近似或逼近理想函数。这就是所谓函数的近似或函数的逼近问题。,本章重点研究低通滤波函数的逼近问题。其它的滤波函数则可以由低通滤波函数通过适当的变换得到。常用的近似函数有：最大平坦特性的巴特沃斯(Butterworth)函数 等波动特性的切比雪夫(Chebyshev)函数 最大线性相位特性的贝塞尔(Bessel)函数等。,1.4.2最平幅度近似(Butterworth近似)1 Butterworth函数,该近似函数在通带的最低端0处由于|H(0)|2=1,与理想低通幅度平方函数符合最好，但在通带的最高端却与理想特性有较大的偏离。在=1处，与理想特性的偏离最大，其值为10log(1+2)dB。,Butterworth近似函数的幅度特性,Butterworth近似函数的阶次n越高，在通带内特性曲线越接近于单位1，在截止频率处的斜率越陡，在高频处的衰减越大。一般情况下，式（10-11）中取=1。这时，近似函数在=1处与理想特性的最大偏离为3dB。当=1时，Butterworth最平幅度近似函数变为,对应的s 域表达式为,式中，H(s)*为H(s)的共轭复数。,2 Butterworth函数的幅度特性 1-10阶Butterworth近似函数的幅度特性如图所示。为了看图方便，常将图(a)的通带部分和阻带部分分开画，如图(b)所示。,(b),3 Butterworth滤波器阶数的确定 由Butterworth函数的定义可知,相应的衰减函数为,衰减函数用分贝的形式表示为,由上式可得,对上式取对数得,从而求得,如果已知某频率处用dB表示的衰减值A(dB),则可以根据上式可求得能够满足该要求的滤波器的阶数n。即,例1.10 已知某Butterworth滤波器在=2rad/s处要求至少具有40dB的衰减，求该滤波器的阶数。解:根据公式可求得能够满足该要求的滤波器的阶数为,由于n只能为整数，故需要7阶滤波器。,4 Butterworth滤波函数的确定(1)归一化Butterworth滤波函数的确定 下面研究如何确定归一化Butterworth滤波函数的问题。所谓归一化滤波器是指截止频率C=1，波动因子=1（通带波动为 3dB）的滤波器。由式（10-13）定义的Butterworth滤波函数H(s)，它的分母是一个多项式，称为Butterworth多项式D(s)。即,Butterworth滤波函数的极点可根据下式求出：1+(-1)ns2n=0(=1),这些极点位于,由式（10-17）可以看出，这些极点位于单位圆上(s=1)，以/n弧度等角度排列。利用这些极点，可以确定Butterworth多项式，从而确定Butterworth函数。,例1.11 求二阶Butterworth低通函数的极点、相应的Butterworth多项式和Butterworth滤波函数。解:根据式（10-17）可以求得二阶Butterworth函数的极点为,根据所求得的极点，可以得到相应的Butterworth多项式为,多项式的系数为,b0=1.0000,b1=1.4142,b2=1.0000相应的Butterworth滤波函数为,从1到6阶归一化Butterworth滤波器的分母多项式的系数如表10-1所示。,N b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6 1 1.000 0002 1.000 000 1.414 213 3 1.000 000 2.000 000 2.000 0004 1.000 000 2.613 125 3.414 213 2.613 1255 1.000 000 3.236 067 5.235 067 5.236 067 3.236 0676 1.000 000 3.863 703 7.464 101 9.141 620 7.464 101 3.863 703,N D(s)123456,(2)截止频率为C、通带波动为10log(1+2)dB的Butterworth滤波函数的确定 为了将通带波动从3dB变化为10log(1+2)dB，需要将上面得到的归一化Butterworth滤波函数中的s用1/ns代替。为了将截止频率从1变化为C，需要将上面得到的归一化Butterworth滤波函数中的s用s/C代替。,如果要将通带波动从3dB变化为10log(1+2)dB，同时将截止频率从1变化为C，则需要将上面得到的归一化Butterworth滤波函数中的s用1/n（s/C）代替。如果将表10-1中的s用1/n（s/C）代替，就会得到通带波动为10log(1+2)dB、截止频率为C的Butterworth滤波器。,例1.12 已知一个4阶Butterworth低通滤波器的截止频率为C，通带波动为1dB。求Butterworth低通滤函数的表达式和极点。解:（a）求归一化参数 查表可已知4阶归一化的Butterworth滤波器（C=1，=1）分母多项式的系数为,b0=1.0000,b1=2.6131,b2=3.4142,b3=2.6131 相应的Butterworth滤波函数为,它的极点为 p1,2=-0.3827j0.9239 p3,4=-0.9239j0.3827（b）求截止频率为C、波动为1dB的滤波器的参数 波动为1dB时的为:,为了将通带波动从3dB变化为1dB（=0.5089），将截止频率从1变化为C，需要将上面得到的归一化Butterworth滤波函数中的s用1/n（s/C）代替。即,将上式中的s用1/n（s/C）=0.8445s/C代替,得截止频率为C、波动为1dB的滤波函数为,极点为,5 Butterworth低通函数的特性Butterworth低通函数具有如下特性：（1）对任一阶数n，有,（2）,是的单调函数，=0处的值最大；（3）n阶函数在=0处的前(2n-1)阶导数为零，故|H(j)|具有最大平直特性，称Butterworth函数为最大平直近似函数或最平幅度近似函数。,1 Chebyshev(切比雪夫)多项式 若令,则幅度平方函数为,多项式 必须是2的函数。它在滤波器的通带(c)内具有等波动的特性，而在通带外具有单调衰减的特性。切比雪夫（Chebyshev）多项式就具有这样的性质。它的表示式为：,1.4.3 等波纹近似(Chebyshev近似),Chebyshev近似,在通带(c1)内使用式（a）,而在通带外使用式（b）。,切比雪夫多项式的递归表示式：,设以切比雪夫多项式作为分母的低通函数的表达式为,则各系数如下表所示。,归一化0.5dB波动Chebyshev低通滤波器的分母多项式和极点位置,分母多项式,2 Chebyshev滤波器阶数的确定设Chebyshev滤波器波动的dB值为，则,即,设给定处的衰减为A(dB),可求得,阻带衰减,通带波动,3 Butterworth和Chebyshev近似的比较 与Butterworth近似相比较，Chebyshev近似在截止频率处具有更陡的斜率。四阶Chebyshev和四阶Butterworth滤波器的幅频特性的比较如图所示。,1.5 滤波函数的转换,前面已经研究了低通滤波函数的实现。本节研究如何通过低通滤波函数转换的方法实现高通滤波函数和其它滤波函数。利用转换的方法实现其它各种函数，有助于我们利用低通函数的大量知识去研究其它函数。,1.5.1 将低通函数转换为高通函数（1）转换条件 设低通滤波函数的复频率为p，变换以后的复频率为s。将低通滤波函数的复频率p换为1/s，则新的以s为变量的函数就被转换为高通函数，且截止频率仍然为1rad/s。即低通到高通的转换条件为：,对于无源滤波器，这种变换相当于将电容换成电感，将电感换成电容（因为感抗和容抗互为倒数）。变换关系如图所示。,通过低通到高通的转换，产生下列结果：(1)将原来的低通滤波器转换为一个高通滤波器；(2)将原来的容量为C的电容转换为电感量为1/C的电感；(3)将原来的电感量为L的电感转换为电容量为1/L的电容。,例104 已知三阶Butterworth低通滤波函数为,求相应的高通滤波函数。解：相应的高通滤波函数可以通过低通函数到高通函数的转换将低通滤波函数的复频率p换为1/s而得到：,1.5.2 将低通函数转换为带通函数（1）变换条件设低通滤波函数的复频率为p，变换以后的复频率为s。将低通滤波函数的复频率p换为,则新的以s为变量的函数就被变换为带通函数。即低通到带通的变换条件为：,其中，0为中心频率，BW为带宽频率，Q=0/BW为品质因数，sn=s/0为归一化复频率。,对于无源滤波器，这种变换相当于将电容换成电感与电容的并联电路，将电感换成电感与电容的串联电路。这种元件的变换关系如图所示。,低通到带通电路元件的变换,1.5.3 将低通函数转换为带阻函数（1）变换条件设低通滤波函数的复频率为p，变换以后的复频率为s。将低通滤波函数的复频率p换为,则新的以s为变量的函数就被变换为带通函数。即低通到带通的变换条件为：,其中，0为中心频率，BW为带宽频率，Q=0/BW为品质因数，sn=s/0为归一化复频率。,对于无源滤波器，这种变换相当于将电容换成电感与电容的串联电路，将电感换成电感与电容的并联电路。这种元件的变换关系如图所示。,低通到带阻电路元件的变换,1.6 灵敏度,1.6.1 灵敏度的概念 1 讨论灵敏度的目的 对于同一个网络函数，可以用多个电路实现。为了评价这些电路对于元件变化的敏感程度，引入灵敏度的概念。对于同一个网络函数，可以用多个电路实现。如果采用的元件是理想的，则各种实现电路之间的差别不大。但是当我们采用实际元件构成电路时，由于元件固有的制造容差以及元件参数变化等，都会使电路性能与设计值有偏差。而且这种偏差随电路灵敏度的不同而有很大的不同。,解决这种问题的方法有两种：一是选择较好的元件。这就需要选用制造容差较小的元件，同时选用温度系数、老化系数和湿度系数比较低的元件。这种方法回使电路的成本过高。另一种方法是选择对元件变化灵敏度较低的电路。电路的灵敏度越低，由元件值变化引起的电路性能的变化就越低，对元件的精度要求就越低，电路的造价就越低。因此，这是一种比较实际的解决方法。,2 灵敏度的定义电路某一性能参数的相对变化量与元件参数的相对变化量之比，定义为该参数对于该元件的灵敏度。灵敏度用符号S表示。电路参数y对元件参数x的灵敏度定义为：,上式定义的灵敏度反映了元件参数的相对变化量对电路性能参数相对变化量的影响。,1.6.2 灵敏度的性质及计算公式,例1.16 无源网络如图所示。它的转移函数为,试计算K、p和Qp对无源元件的灵敏度。,解：由题意得,可得该双二次函数的参数为,由灵敏度的计算公式得:(1)K对无源元件的灵敏度为,(2)p对无源元件的灵敏度为,K对其它无源元件R和L的灵敏度为零,p对无源元件R的灵敏度为零,(3)Q对无源元件的灵敏度为,K、p、Q对无源元件的灵敏度为,（4）小结（a）无源网络的K、p和Qp对无源元件的灵敏度都小于或等于1。灵敏度等于1意味着元件1%的变化将引起电路性能参数1%的变化。这样的灵敏度值认为是低灵敏度。一般的梯形网络总能设计成低灵敏度的。（b）本例中，所求灵敏度的值就等于函数表达式中该元件的幂指数。例如，极点Qp的表达式为,则其灵敏度为,一般地说，如果参数p具有如下形式,则p对x1、x2、x3的灵敏度分别为,当一个元件参数变化量x很小时，用灵敏度可以近似估算电路性能参数的变化量y：,例如，在例1.16中，因电阻R的变化而引起的极点Q值的变化Qp为：,1.6.3 用灵敏度估算电路性能参数的变化量,（2）多个元件参数变化引起的电路性能参数的变化量一般来说，我们最感兴趣的是由于电路中所有元件同时变化所引起的电路性能参数的变化量。当元件参数变化量xj很小时，一个元件参数x单独变化引起的电路性能参数y的变化量为:,当元件参数变化量xj很小时，m个元件参数同时变化引起的电路性能参数y的变化量为:,电阻R、电感L、电容C同时变化而引起的极点Q值的变化Qp为：,例如，在例1.16中，电阻R、电感L、电容C单独变化分别引起的极点Q值的变化Qp为：,若R=1,L=1,C=1,且各元件分别变化1%,2%,3%,则由电阻R、电感L、电容C同时变化所引起的极点Q值的变化Qp为：,1.7网络的归一化,在用于信号处理的电路中，实际的电路元件值常常是很分散的。例如，实际的电容元件值的范围大约在010-12 F之间，电阻元件值的范围大约在0107 之间，电感元件值的范围大约在1010-6 H之间。同时，由于各种电路的应用场合不一样，实际所设计的电路的工作频率范围也可能在0109Hz之间。因此，很难对如此众多电路的性能进行统一的比较并采用统一的方法进行设计。,根据电路基本理论可知，一个网络的网络函数以及网络的分析与综合步骤与该网络函数中元件值的