现代控制理论-离散.ppt
离散系统状态空间法,一、离散系统的状态空间描述,完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输出量等都是离散信息；局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信号、输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送处理离散信号，这时，连续部分在采样点上的数据才是有用信息，故需将连续部分离散化；为研究方便，不论完全或局部的离散系统，均假定采样是等间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值,一、离散系统的状态空间描述,经典控制理论中，线性离散系统的动力学方程是用标量差分方程或脉冲传递函数来描述的。线性定常离散系统差分方程一般形式为,式中 表示 时刻，为采样周期；为 时刻的输出量，为时刻 的输入量；是与系统特性有关的常系数。,一、离散系统的状态空间描述,初始条件为零时，离散函数的z变换关系为对式(1)进行z变换，整理为 G(z)称为脉冲传递函数,一、离散系统的状态空间描述,G(Z)称为脉冲传递函数。显见G(z)与在形式上是相同的，故连续系统动态方程的建立方法，对离散系统是同样适用的引入中间变量Q(z)，则有,一、离散系统的状态空间描述,定义如下一组状态变量：于是,一、离散系统的状态空间描述,利用z反变换关系可得,一、离散系统的状态空间描述,其矢量-矩阵形式为,一、离散系统的状态空间描述,简记为式中G为系统矩阵，h、G是能控标准形。由此可见离散系统状态方程描述了(k+1)T时刻的状态与 kT时刻的状态、输入量之间的关系；离散系统输出方程描述了 kT时刻的输出量与 时刻的状态、输入量之间的关进一步可推广到MIMO系统（G,H,C,D）,10,例 离散系统的差分方程为,试写出该离散系统的一个状态空间描述。解 由差分方程写出相应的脉冲传递函数：,于是直接写出它的一个状态空间描述（标准I型）为,这里,，,，,，,，,二、连续系统的时间离散化,1、离散化的必要性计算机所需要的输入和输出信号是数字式的，时间上是离散的；当采样周期极短时，离散系统可近似地用连续系统特性来描述,2、离散化方法：(采样器+保持器),二、连续系统的时间离散化,二、连续系统的时间离散化,3、三点基本假设离散方式是普通的周期性采样采样是等间隔进行的，采样周期为T；采样脉冲宽度远小于采样周期，因而忽略不 计；在采样间隔内函数值为零值采样周期T的选择满足香农采样定理离散函数可以完满地复原为连续函数的条件为 或，其中 为采样频率，为连续函数频谱的上限频率保持器为零阶保持器,二、连续系统的时间离散化,4、连续时间系统的离散化模型,离散化模型为：,其中：,线性定常系统：,二、连续系统的时间离散化,4、连续时间系统的离散化模型,推导过程：直接从定常系统非齐次状态方程的解中进行离散化,设 代入上式中得到：,二、连续系统的时间离散化,4、连续时间系统的离散化模型于是可得,17,例：,请建立下列连续时间系统当采样周期为T时的离散化模型。,解：,先求连续系统的状态转移矩阵：,所以：,二、连续系统的时间离散化,5、近似离散化模型,离散化方程的近似形式为：用差商代替微商,其中：G(T)、H(T)、C、D为常矩阵：,推导过程：仿导数定义，即用,三、线性离散系统的运动分析,1、递推法(迭代法)适合于线性定常和时变系统,给定k=0时的初始状态x(0)及任意时刻 u(k)，由迭代法,三、线性离散系统的运动分析,1、递推法(迭代法)解的表达式的状态轨迹是状态空间中一条离散轨迹线。与连续系统状态的解相似。解的第一部分只与系统的初始状态有关，是由起始状态引起的自由运动分量。第二部分是由输入的各次采样信号引起的强迫分量，其值与控制作用u的大小、性质及系统结构有关在输入引起的响应中，第k个时刻的状态只取决于所有此刻前的输入采样值，与第k个时刻的输入采样值无关,三、线性离散系统的运动分析,1、递推法(迭代法)与连续时间系统对照，在离散时间系统中 状态转移矩阵定义为，有,利用状态转移矩阵，解可写成：,三、线性离散系统的运动分析,2、Z变换法,离散系统的状态方程：,对上式两边进行Z变换：,对上式两边进行Z反变换,三、线性离散系统的运动分析,2、Z变换法比较递推法和Z变换法，由解的唯一性,24,求该离散系统在单位阶跃输入下状态方程的解。,例：,式中：,给定初始状态为：,已知定常离散时间系统的状态方程为,解：1）迭代法,由于输入为单位阶跃函数，所以：,25,由于输入为单位阶跃函数，所以有：,2）Z变换法,x(k)的Z变换为：,将G、H、U(z)、x(0)代入x(k)的Z变换式有:,26,整理得：,上式Z反变换有：,四、离散系统的能控性和能观测性,1、离散系统的能控性对于n阶线性定常离散系统若存在控制序列u(0),u(1),u(l-1)(ln)能将某个初始状态x(0)=x0在第l步上到达零态，即x(l)0，则称此状态是完全能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态能控的,四、离散系统的能控性和能观测性,1、离散系统的能控性离散系统的能控性判据：线性定常离散系统状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵,满秩,即：,四、离散系统的能控性和能观测性,2、离散系统的能观测性对于n阶线性定常离散系统如果根据有限个采样周期内测量的y(0)，y(1)，y(l)，可以唯一地确定出系统的任意初始状态x0，则称x0为能观测状态。如果系统的所有状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的,四、离散系统的能控性和能观测性,2、离散系统的能观测性离散系统的能观测性判据：线性定常离散系统状态完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵,满秩,即：,四、离散系统的能控性和能观测性,3、采样周期对离散化系统能控性和能观测性的影响思考：对于线性连续定常系统，离散化后其状态能控性和能观测性是否发生变化,32,例：,已知连续系统：是状态完全能控且能观测的。请写出其离散化方程，并确定使相应的离散化系统能控且能观测的采样周期T的范围。,解：,先求连续系统的状态转移矩阵：,所以：,要使系统状态能控，则能控判别阵的行列式非零，即：,要使系统状态能观测，则能观测判别阵的行列式非零，即：,联立上2式可知，要使离散化后系统能控且能观测，T必须满足：,四、离散系统的能控性和能观测性,3、采样周期对离散化系统能控性和能观测性的影响对于线性连续定常系统如果是不能控和不能观测的，则其离散化后的系统也必是不能控和不能观测的对于线性连续定常系统如果是能控和能观测的，则其离散化后的系统不一定是能控和能观测的离散化后的系统能否保持能控和能观测性，取决于采样周期T的选择,五、线性定常离散系统稳定性分析,仿线性连续系统，先给出正定对称矩阵Q，从以下方程中解出实对称阵P，然后验证P是否正定，是则系统是李氏渐近稳定的。,五、线性定常离散系统稳定性分析,线性定常离散系统的状态方程为则系统在平衡点Xe=0处渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q，都存在对称正定矩阵P，使得且系统的李雅普诺夫函数是,37,试用李氏第二法确定系统在平衡点 为渐近稳定的k值范围。,根据 得：,解：,取：,例：已知线性离散时间系统状态方程为：,其中：,38,根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则，即：k2，所以系统渐近稳定的k值范围为0k2,解得：,
