点、直线和平面的投影.ppt

1,第3章 空间点、直线和平面的投影分析,3.1 空间点的投影分析,3.2 空间直线的投影分析,3.3 空间平面的投影分析,重点掌握：点、直线、平面之间位置关系的判断。,2,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,3.1 空间点的投影分析,3,V,X,O,1、两投影面体系的建立,二、点在两个投影面上的投影,V Frontal projection plane(正立投影面)H Horizontal projection plane(水平投影面),W Profile projection plane(侧立投影面),4,2、两投影面体系中点的投影,点A的水平投影 a点A的正面投影 a,A,Z,Y,X,5,3、点的两面投影能唯一确定该点的空间位置,6,4、两面投影图的画法,7,三、点的三投影面体系中投影,1、投影面体系建立,正面投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧面投影面（简称侧 面或W面）,投影轴,OX轴:V面与H面的交线,OZ轴:V面与W面的交线,OY轴:H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,8,2、空间点A在三个投影面上的投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,9,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,3、投影面展开,10,4、点的直角坐标与三面投影的关系,11,因为平面是无限大的，所 以一般不画出平面边框。,12,1.aa X轴，aaz=aay=XA2.aaZ轴，aax=aa y=ZA3.aax=aaz=YA,5、三投影面体系中点的投影规律,13,14,四、投影面上的点和投影轴上的点,15,五、两点的相对位置及重影点的投影分析,两点中x值大的点 在左两点中y 值大的点 在前 两点中z 值大的点 在上,16,重影点的投影,17,18,例1：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,19,例2：已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。,20,一、直线的表示法,1 直线投影的基本特性：一般情况下，直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。,直线投影的基本作图方法：求出两端点的投影，将同面投影相连。,2 各种不同位置直线的投影,按直线与投影面的相对位置分为三种情况：垂直、平行和相交。从而将直线分为三类七种,3.2 空间直线的投影分析,21,二、直线相对于投影面的位置及其投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,22,1、投影面的平行线,凡平行于某一投影面，同时倾斜于另两个投影面的直线统称为投影面的平行线。其中：平行于正投影面（V面）的称为正平线；平行于水平投影面（H面）的称为水平线；平行于侧投影面（W面）的称为侧平线。,23,a,b,规定：与H面的夹角为，与V面的夹角为，与W 面的夹角为。、均 900；对于平行线来说，一角等于0，另外两角之和等于900。,V,H,W,X,Y,Z,24,(1)水平线 只平行于水平投影面的直线,投影特性：1ab OX;ab OYW 2 ab=AB 3反映、角的真实大小,25,（2）正平线只平行于正面投影面的直线,投影特性：1 ab OX;a b OZ 2 a b=AB 3 反映、角的真实大小,26,（3）侧平线只平行于侧面投影面的直线,投影特性：1 ab OZ;ab OYH 2 ab=AB 3反映、角的真实大小,27,投影面平行线的投影特征为：a 直线在与其所平行的投影面上的投影反映该直线的实长，同时还反映该直线与另两个投影面之间的真实倾角。,Y,Z,28,b 直线的其余两个投影均分别平行于相应的投影轴，该两投影与相应投影轴之间的距离即为该直线与相应投影面之间的距离。,Y,Z,29,2、投影面垂直线,凡垂直于某一投影面,同时平行于另两个投影面的直线统称为投影面的垂直线。其中：,垂直于正投影面（V面）的称为正垂线；垂直于水平投影面（H面）的称为铅垂线；垂直于侧投影面（W面）的称为侧垂线；,30,投影特性：1 a b 积聚 成一点 2 a bOX;a b OYW 3 a b=a b=AB,（1）铅垂线 垂直于水平投影面的直线,31,（2）正垂线 垂直于正面投影面的直线,投影特性：1 ab 积聚 成一点 2 ab OX;ab OZ 3 ab=ab=AB,32,（3）侧垂线 垂直于侧面投影面的直线,投影特性：1 ab 积聚 成一点 2 ab OYH;ab OZ 3 ab=ab=AB,33,3、特殊位置直线,34,3、特殊位置直线,35,3、特殊位置直线,36,投影面垂直线的投影特征为：a 直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚为一点。该积聚投影与相应投影轴间的距离即为该直线与相应投影面间的距离。,37,a(b),b 直线的其余两个投影均垂直于相应的投影轴且反映该直线的实长。,38,3、一般位置直线,投影特性：1 a b、ab、a b均小于实长 2 a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3不反映、实角,39,一般位置直线的投影特征为：a 三个投影与投影轴既不平行也不垂直。b 任一投影均不反映该直线的实长，且小于实长。,V,H,W,X,Y,Z,40,c 任一投影与投影轴的夹角均不反映空间直线与任何投影面的真实夹角。,Z,41,三、一般位置线段的实长及其与投影面的夹角（不作要求）,|YA-YB|,|XA-XB|,|ZA-ZB|,42,|zA-zB|,B,A,b,a,a,b,b,a,b,a,C,43,b,a,b,a,a,b,44,于是，可得到三个求一般位置直线的实长及与投影面夹角的直角三角形，这三个直角三角形的组成情况如下：（1）H面投影，Z坐标差，斜边为实长，夹角为。（2）V面投影，Y坐标差，斜边为实长，夹角为。（3）W面投影，X坐标差，斜边为实长，夹角为。不难看出，每个直角三角形含有四个要素，若知其中任意两个，则此直角三角形便完全确定，由此可求出另两个要素。凡涉及此四要素的问题均可用此法来解决。,45,x,o,a,b,a,b,ab,实长,LBC,c,c,LBC,例题 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC 的实长等于已知长度L,46,四、点与直线的相对位置,直线上点的两个重要特性：（1）从属性：直线上的点，其各个投影必在该直线的同面投影上。,47,（2）定比性：直线上的点分割线段成定比，其各个投影亦分成相同的比例。,48,方法一：先求出直线的侧面投影，再根据直线上的点的投影特征求出k。,方法二：使用定比性。,例3：已知直线DE的正面投影和水平投影及线上K点的正面投影k,试求出K点的水平投影,49,a,b,a,b,C,c,X,O,例4：试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点的两面投影。,50,有三种情况,平行相交交叉（既不平行，也不相交）,五、两直线的相对位置,51,1 两直线平行：,投影特征：其同面投影必相互平行,根据投影特征可在投影图上图示或判定两空间直线的平行情况，能帮助我们图示和理解物体的投影。,52,应运用直线上的点和两直线平行的投影特性来作图,53,a,b,c,d,e,f,a,b,d,c,e,f,a,b,c,d,e,f,两直线相交,54,2 两直线相交：,两直线相交的投影特征是：其同面投影必定相交,且交点的连线垂直于相应的投影轴。,55,(1)画出第三面投影，按两直线相交的投影特征进行判定。,(2)使用定比分割原理。,(不相交）,例6：已知直线AB和CD的两面投影，试判定两直线是否相交。,56,例7：判断两直线的相对位置（方法一）,两直线交叉,57,例8：判断两直线的相对位置(方法二）,1,=1d,=1c,两直线交叉,58,3 两直线交叉,投影特征：其同面投影不会同时平行，其同面可能相交，但交点的连线不垂直于相应的投影轴。,59,交叉两直线重影点投影的可见性判断,60,例9：不用第三面投影试判定直线AB和CD是平行还是交叉。,O,X,a,b,a,b,d,c,c,d,交叉,61,例10：作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。,(k),l,l,k,作kle f,作klef,62,六、一边平行于投影面的直角的投影,定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,1、垂直相交的两直线的投影,2、交叉垂直的两直线的投影,63,1、垂直相交的两直线的投影,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac,64,直角的投影特性：,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设 直角边BC/H面因 BCAB,同时BCBb所以 BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab,故 bc ABba平面,又因 BCbc,证明：,65,AB垂直于MN,且AB平行于H面,则有ab ac,2、交叉垂直的两直线的投影,66,例11：试判定两直线是相交还是交叉？,a,b,c,d,a,d,c,b,O,X,相交,67,例12：试判定两直线是相交还是交叉？,a,b,c,d,a,c,d,O,X,交叉,b,k,k,68,例13：过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。,69,例14：过点E作线段AB、CD的公垂线EF。,AB为正平线CD为水平线,70,例15：作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。,BC（MN）为正平线，BC垂直AB,71,例16：求两直线AB、CD之间的距离MN。,n,m,m,两交叉线间距离,Pg.63,提示：MN平行H面,72,3.3 空间平面的投影分析,一、平面的表示法,b,a,c,a,b,c,o,x,（1）用几何元素表示平面,不在同一直线上的三点,两平行直线,一直线和线外一点,73,两相交直线,任意的平面图形,74,2、用平面的迹线表示平面,迹线：平面与投影面的交线,水平迹线正面迹线侧面迹线迹线的集合点,75,二、平面相对于投影面的位置及其投影特性,实形性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,76,平面在三投影面体系中的投影特性,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,77,3、各种不同位置平面的投影特征,按平面相于与投影面的位置有三种情况,（1）投影面的垂直面,凡垂直于一个投影面，而与另两个投影面倾斜的平面统称为投影面的垂直面。其中：垂直于正投影面（V面）的称为正垂面；垂直于水平投影面（H面）的称为铅垂面；垂直于侧投影面（W面）的称为侧垂面。,78,规定：与H、V、W面的夹角分别为、，、均为 900，对于垂直面来说任两者之和等于900。,Q,79,投影面垂直面的投影特征为：a 平面在与其所垂直的投影面上的投影积聚为一直线，该直线与两投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的真实夹角。b 平面的另两个投影均为小于实形的类似形。,Y,80,（2）投影面的平行面 凡平行与某一个投影面，同时垂直于另两个投影面的平面统称为投影面的平行面。其中：平行于正投影面（V面）的称为正平面；平行于水平投影面（H面）的称为水平面；平行于侧投影面（W面）的称为侧平面。,81,Q,82,投影面平行面的投影特征为：a 平面在所平行的的投影面上的投影反映该平面的实形。b 平面的另两个投影均积聚成一直线，且分别平行于相应的投影轴。,83,3、一般位置平面投影特征：a、三个投影均不反映该平面的真实大小。b、三个投影均没有积聚性。c、三个投影均为小于实形的类似形。,平面上的直线,84,1、点在平面上的条件：必须经过平面上的任意一条直线。（取点先取线）,例17:已知三角ABC上K点的水平投影,试求其正面投影。,举例,三、平面上的点和直线,85,2、直线在平面上的条件（1）过平面上的两个已知点；（取线先取点）,三、平面上的点和直线,（2）过平面上的一个已知点，且平行于该平面上任一已知直线。,举例,86,例18：已知三角形ABC 的两面投影及该平面上的直线MN的正面投影,求作MN的水平投影。,E,F,e,f,续上例,87,例19：试在三角形ABC上任作一条直线。,e,f,n,a,b,c,O,X,b,c,a,m,n,投影面上的平行线,88,四、直线与平面、平面与平面的相对位置（要求掌握平行，其它自学）,直线与平面平行，则直线平行于平面上的一条直线。平面与平面平行，则平面上两相交直线平行于另一平面上两相交直线。反之成立。,89,例20：已知 ABC 为给定的平面，试过点C 作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。,m,n,n,m,90,例21：已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10，试求点E的投影。,作一个距V10的平面与ABC相交，得交线rs，作距H15的平面与ABC相关，交线mn，mn与rs的交点即为所求。,91,1、直线与平面平行,几何条件:直线必须平行于平面上的某一直线。,若平面具有积聚性，则平面的积聚性投影应平行于直线的同面投影。,92,2、平面与平面平行,几何条件：一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线。,若垂直同一投影面的两平面平行，则两平面的积聚性投影相互平行。,93,3、基本作图,（1）判别直线与平面是否平行,（2）过空间一点作平面的平行线,（3）过空间一直线作已知直线的平行面,（4）判别平面与平面是否平行,（5）过空间一点作已知平面的平行面,94,【基本作图一】判别直线与平面是否平行；,e,f,e,f,a,b,c,a,b,c,d,d,作 adef,EF不平行ABC,能否在平面内找到一条平行于已知直线的直线,95,【基本作图二】过空间一点作平面的平行线,b,作abfg并量取ab=35mm,过空间点A作一条水平线AB=35mm，且平行于DEF。,96,【基本作图三】过空间一直线作已知直线的平行面,97,【基本作图四】判别平面与平面是否平行？,d,d,ADHGBCHE两平面平行,98,【基本作图五】过空间一点作已知平面的平行面,99,a,b,b,直线AB与 EFC相交，判别可见性。,利用重影点判别可见性,1,2,4,3,（）,k,k,(),2,1,3,a,(),e,f,c,e,f,c,