概率论第四章第二讲.ppt

一、随机变量方差的定义及性质,三、例题讲解,二、常见概率分布的方差,第二节 随机变量的方差,四、小结,上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,乙仪器测量结果,甲仪器测量结果,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.,中心,中心,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,这个数字特征就是我们要介绍的方差。,1.方差的定义,一、随机变量方差的定义及性质,方差描述了随机变量X取值对于数学期望的分散程度.如果Var(X)值大,表示X 取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果Var(X)值小,则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.,2.方差的意义,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,3.随机变量方差的计算,(1)利用定义计算,证明,(2)利用公式计算,证明,4.方差的性质,(1)设 C 是常数,则有,(2)设 X 是一个随机变量,C 是常数,则有,证明,解,例1,(3)设 X,Y 相互独立,D(X),D(Y)存在,则,证明,推广,1.两点分布,则有,二、常见概率分布的方差,2.泊松分布,则有,所以,3.均匀分布,则有,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,4.指数分布,则有,5.正态分布,则有,分布名称,参数,数学期望,方差,解,例,于是,求:Var(X),解:,例 2,设连续型随机变量X的密度函数f(x)为:,设随机变量X,求,EX,称 为随机变量X的标准化.,解,例2,因此有,三、契比雪夫不等式,契比雪夫不等式,例 在每次试验中,事件A发生的概率为0.5.利用切比谢夫不等式估计在1000次独立试验中,事件A发生的次数在400 600之间的概率.,解:设X表示1000次独立试验中事件A发生的次数,则 X B(1000,0.5),E(X)=10000.5=500,D(X)=10000.50.5=250,于是由切比谢夫不等式得,四、小结,1.方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量.如果Var(X)值大,表示X 取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果Var(X)值小,则表示X 的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.,2.方差的计算公式,3.方差的性质,期望、方差的性质对比,再见！,解,例6,