概率论第一章1-4节课件.jsp.ppt
第一章 随机事件及其概率,概率论与统计统计,教师:刘加云e-mail:ljymath,第一章 随机事件及其概率,（1）每班选一位课代表.（2）每周交一次作业，写上名字和学号，以便记录 作业成绩.,第一章 随机事件及其概率,序 言,?,概率论是研究什么的？,、研究内容,是研究随机现象（偶然现象）的规律性的科学,是研究如何进行观测以及如何根据得到统计资料，对被研究的随机现象的一般概率特征作出科学的判断。,概率论,数理统计,第一章 随机事件及其概率,二、研究方法,通过大量的、在不变的条件下的试验或观测，揭示出潜在 的必然性，即事物的客观规律，对被研究随机现象的规律作出精确而可靠的结论。,第一章 随机事件及其概率,概率论起源于15世纪中叶.尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动,然而概率论的产生,却肇事于所谓的“赌金分配问题”.,概率论的产生?,?,1494年意大利数学家帕西奥尼(14451509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题:,在一场赌博中,某一方先胜5局便算赢家,那么,当甲方胜了4局,乙方胜了3局的情况下,因出现意外,赌局被中断,无法继续,此时,赌金应该如何分配?,第一章 随机事件及其概率,帕西奥尼的答案是:应当按照4:3的比例把赌金分给双方.当时,许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理.因为,已胜了4局的一方只要再胜1局就可以拿走全部的赌金,而另一方则需要胜2局,并且2局必须连胜,这样要困难得多.,直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信,他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题.,但是,人们又找不到更好的解决方法.在这以后100多年中,先后有多位数学家研究过这个问题,但均未得到过正确的答案.,第一章 随机事件及其概率,目 录,第一章 随机事件及其概率,第一章 随机事件及其概率,随机事件及其运算概率的定义及其运算条件概率事件的独立性,第一章 随机事件及其概率,1.1 随机事件及其频率概率的统计定义,随机现象（偶然现象）：,必然现象（确定性现象）：,在一定的条件下必然发生的现象；,在一定的条件下可能发生也可能不,如：,必然现象,抛一枚硬币，出现国徽这一面,随机现象,射击，击中目标,随机现象,发生的现象。,在一定条件下，水加热到100 C就会沸腾,第一章 随机事件及其概率,（随机）试验：对随机现象的一次观察。,具有如下特征：,（1）试验在相同的条件下可重复进行；,（2）试验前知道试验的所有可能结果，,并且可能的结果不止一个；,（3）试验前不知道那一个结果会出现。,一、随机事件,第一章 随机事件及其概率,E6:任选一人，记录他的身高和体重。,随机实验的例子,E1:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；,E2:某城市某年某月内发生交通事故的次数;,E3:掷一颗骰子，可能出现的点数；,E4:记录某网站一分钟内受到的点击次数;,E5:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;,第一章 随机事件及其概率,（随机）事件：,一次试验中可能发生也可能不发生的事件,通常用A,B等表示。,必然事件：,每次试验中必然发生的事件,用 U 表示。,不可能事件：,每次试验中不可能发生的事件,用 V 表示。,基本事件：,试验的每一个可能结果。(不能再分的随机事件),一般的事件由若干个基本事件复合而成。,第一章 随机事件及其概率,“次品数不多于5个”,“次品数多于5个”,不可能事件 V：,事件 A：,“恰有一个次品”,事件 B：,“至少有一个次品”,事件 C：,“没有次品”,事件 D：,“有2个或3个次品”,随机事 件,必然事件 U：,第一章 随机事件及其概率,二、频率,设随机事件A在 n次试验中发生了m 次，,A的相对频率（简称频率），,则 叫做事件,记作,性质：,定义：,第一章 随机事件及其概率,频率的稳定性,第一章 随机事件及其概率,三、概率的统计定 义,事件的概率是用来表示事件A发生的可能性大小的数。,概率的性质:,当 n充分大时，,第一章 随机事件及其概率,1.2 样 本 空 间,样本空间:,随机试验的所有可能的结果所组成的集合，,记作；,样本点:,样本空间中的每个元素，,记作,即试验的每一可能的结果，,一、定义,随机事件:,满足某种条件的样本点组成的集合,第一章 随机事件及其概率,例1:,设试验为任意抛掷一枚硬币，,则有样本点：,表示“徽花向上”；,表示“字向上”；,样本空间为：,例2:,设试验为测量车床加工零件的直径，,则有样本点：,表示“测得零件的直径为 x 毫米”,样本空间为：,样本空间含有有限个样本点,样本空间含有无限个样本点,第一章 随机事件及其概率,样本空间为,第一章 随机事件及其概率,(2)若观察取出的两个球的号码，则有样本点:,样本空间为,第一章 随机事件及其概率,在例3中，设随机事件A表示“取出的两个球是白球”,则对于样本空间,对于样本空间,第一章 随机事件及其概率,离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个.连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.,二、两类样本空间：,例4:放射性物质在一段时间内放射的粒子数，,放射i个粒子，则,第一章 随机事件及其概率,（3）必然事件U 就是样本空间；,（4）不可能事件 V 是空集。,基本事件:,样本空间的仅由单个样本点构成的子集，,（1）任一随机事件 A 都是样本空间的一个子集；,（2）事件 A 中任一样本点发生时事件 A 即发生；,结论：,三、随机事件与样本空间的关系,即：不能再分解的事件。,第一章 随机事件及其概率,四、随机事件的几何表示,第一章 随机事件及其概率,例5:,从这袋中任取一球.,一口袋中含有编号分别为1、2、10的10个球，,“取得编号为i 的球”,则样本空间,A=“取得的球编号小于3”,C=“取得的球编号为偶数”,E=“取得的球编号为1”,V=“取出球编号为12”,U=“取出球编号小于11”,第一章 随机事件及其概率,例6:,在一个形状为旋转体的均匀陀螺的圆周上，,0,3)上的诸数字。,当停下时，把圆周与桌面接触的刻度,记下来。,均匀地刻上,则样本空间,设 x=“陀螺圆周上与桌面接触的刻度为x”,或,U=“与桌面接触的刻度在区间0,3)内”,A=“与桌面接触的刻度大于2”,第一章 随机事件及其概率,1.3 事件的关系及运算,一、事件之间的关系及运算,1.包含关系,事件B 包含事件 A，,则称,或称事件 A 包含于事件 B，,记作,或,A,2.相等事件,若 且,则称,事件A 与事件 B 相等，,记作,集合 A 是集合 B 的子集。,集合 A 与集合 B 相等。,事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生，,第一章 随机事件及其概率,“n 个事件 中至少有一个发生”,这一事件叫做事件,的和，,记作,3.和(并)事件,“事件 A 与事件B 至少有一个发生”叫做事件 A 与 B 的和，,记作,集合 A 与集合 B 的并集。,第一章 随机事件及其概率,4.积(交)事件,“事件 A 与 B 都发生”这一事件叫做事件A 与 B的积，,记作,或,n 个事件的积,或,第一章 随机事件及其概率,5.互不相容(互斥)事件,若事件 A 与 B 不能同时发生，,即,则称事件 A 与 B 是互不相容的（或互斥的）。,若 n 个事件 中任意两个事件不可能同时发生，,则称这 n 个事件是互不相容的（或互斥的）。,通常把 n 个互不相容事件 的和记作,两个互不相容（互斥）事件的和通常记作：A+B,即,第一章 随机事件及其概率,6.互逆(对立)事件,事件 A 与 B 中有且仅有一个事,件发生，即,则称事件 A 与 B 是对立的（或互逆的），,称 B 是 A 的对立事件（或逆事件），,同样事件 A 也是B 的对立事件（或逆事件）,A,记作,或,第一章 随机事件及其概率,7.完备事件组,即,则称这 n 个事件构成完备事件组。,互不相容的完备事件组：,且,若 满足,第一章 随机事件及其概率,8.差 A发生但 B不发生，记为：,则下列公式成立：,第一章 随机事件及其概率,9.运算律,（i）交换律：,（ii）结合律：,（iii）分配律：,（iv）对偶律：,第一章 随机事件及其概率,（1）“发现 2 件或 3 件次品”（设为事件B）,（2）“最多发现 2 件次品”（设为事件C）,（3）“至少发现 1 件次品”（设为事件D）,即,第一章 随机事件及其概率,例2:如右图所示的电路中，,设事件,A、B、C 分别表示开关 a、b、c 闭合，,设D表示事件“指示灯亮”,用A、B、C表示D,解:,所以,表示事件“指示灯不亮”，即：,“事件”,及“事件”,至少有一个发生，,所以,事实上，由事件运算的性质,事件D表示“指示灯亮”，即“事件A”及“事件 BC”都发生,第一章 随机事件及其概率,设A、B、C表示三个事件，利用A、B、C表达下列事件:,例3:,(1)A、B 都发生,C不发生;,(2)所有三个事件 都发生;,(3)至少有两个事件发生；,(4)不多于两个事件发生;,(5)不多于一个事件发生,或,或,第一章 随机事件及其概率,(1)只击中第一枪;,(2)只击中一枪;,(3)三枪都未击中;,(4)至少击中一枪。,例4:,第一、二、三枪击中目标，试表达以下事件:,向指定的目标射击三枪，用A1、A2、A3分别表示,第一章 随机事件及其概率,1.4 概率的古典定义,一、古典概型,（2）每个基本事件发生的可能性相同（等可能性）.,（1）基本事件的总数有限（有限性）；,概率的古典定义：,称具有以上两个特点的随机试验的数学模型为古典概型。,第一章 随机事件及其概率,解,第一章 随机事件及其概率,解,基本事件的总数：,设事件 A 表示“取出的两个球都是白球”，则,事件 A所含基本事件数,则,第一章 随机事件及其概率,例3,4个黑球，4个白球，任取4个，,（ii）两白球两黑球的概率为,（i）都是白球或黑球的概率为,第一章 随机事件及其概率,解,基本事件的总数:,事件A 所包含的基本事件数:,设事件A 表示“取出的10 个产品中恰有 2 个次品”，则,N,M,n,m,第一章 随机事件及其概率,排列与组合公式,第一章 随机事件及其概率,有重复的排列：,从n个不同的元素中任取个k(n)排成一列，每个元,素可以重复出现，称为允许重复的排列。其排列数为：,第一章 随机事件及其概率,这两原理的思想贯穿着整个概率问题的求解。,第一章 随机事件及其概率,解,基本事件的总数为：,设事件 表示“第 k 次取得白球”，,事件 所包含的基本事件数为：,第一章 随机事件及其概率,只考虑取第 k 个球的情形：,另解,由于每个球都有可能第 k 次被取到，,所包含的基本事件数为,基本事件的总数为：,第一章 随机事件及其概率,抽签问题：袋中有a 根红签，b根白签，它们除颜色不同外，,其它方面没有差别，现有a+b个人依次无放回的去抽签，,求第k个人抽到红签的概率.,第一章 随机事件及其概率,（1）A=“某指定n间房中各有一人”；（2）B=“恰有n个房间中各有一人”.,分房问题：有n 个人，每个人都以同样的概率 被分在N 个房间 的任一间(Nn)，求下列事件的概率.,第一章 随机事件及其概率,某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？,?,第一章 随机事件及其概率,分组问题例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组,基本事件的总数为：,第一章 随机事件及其概率,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：,第一章 随机事件及其概率,假设试验的基本事件有无穷多个，但可用某种几何特征（如,二、几何概型,长度、面积、体积）来表示其总和，设为S；并且随机事件A,所包含的基本事件数也可用同样的几何特征来表示，设为s，,几何度量,无限等可能概型,则定义,第一章 随机事件及其概率,例6,甲乙两人相约在某一段时间T内在预定地点会面.先到的人应等候另一人，经过时间 t（t T）后方可离开.求甲乙两人会面的概率，假定他们在时间 T 内的任一时刻到达预定地点是等可能的.,解,设甲乙两人在时间 T 内到达预定地点的时刻分别为 x 及 y,则,设A表示事件“两人会面”,则,
