概率论和数理统计多维随机变量及其分布.ppt

在研究某些随机现象时，仅研究一个随机变量是不够的。如：天气预报，需要同时预报某地某日最高气温、最低气温、风力、湿度、空气污染程度等。,因此，必须从整体上，从各个分量的相依关系上加以讨论，这就是多维随机变量。一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,，Xn)为n维随机变量或随机向量.,三 多维随机变量及其分布,1、多维随机变量及其分布函数,(1)、问题背景,(2)、定义：设X、Y为定义在同一样本空间S上的随机变量，则称向量（X，Y）为S上的一个二维随机变量。,多维随机变量及其分布,(X,Y)=(a,b),(X,Y)D等,用二维r.v表示随机事件：,D,二维r.v(X,Y)的取值可看作平面上的点,对于任意实数x、y,定义二元函数,为二维r.v(X,Y)的分布函数,也称为r.v X和Y的联合分布函数。,(3)、(X,Y)的分布函数,(4)、(X,Y)的边缘分布函数,二维r.v（X，Y）中的X和Y分别都是一维r.v，它们的分布函数分别记为FX(x)和FY(y)，,分别称之为二维r.v(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数。,2、二维离散型随机变量,(1)、定义,则称(X,Y)是二维离散型随机变量。,PX=xi，Y=yj=pij（i，j=1,2,）,pij称为(X,Y)的分布律，或X和Y的联合分布律。,若二维r.v(X,Y)的所有可能的取值是有限对或无限可列对(xi,yj)(i,j=1,2,),其相应的概率为:,表格形式：,(2)性质:1）pij0,设二维离散型r.v(X，Y）的分布律为：,(3)、由分布律求边缘分布律,问题：r.vX和Y各自的分 布律是什么？,X可能的取值为：,概率可加性,同理 PY=yj,关于X的边缘分布律,关于Y的边缘分布律,注意这两个分布正好是表的行和与列和.,对于二维r.v(X,Y)的分布函数F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)，使得对任意实数x、y，有,则称(X,Y)是连续型二维r.v，f(x,y)称为二维r.v(X,Y)的概率密度函数，也称为r.vX和Y的联合概率密度函数。,这是一个广义的二次积分！,3、二维连续型随机变量,(1)、定义,3）在f(x,y)连续点处，,1）非负；,(2)、f(x,y)的性质：,(X,Y)落在平面区域G内的概率等于以平面区域G为底，以空间中的曲面 z=f(x,y)为顶面的曲顶柱体体积。,z=f(x,y),例2 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度,求：（1）系数A,解（1）由,知,可求得,(2),（3）,设连续型r.v(X,Y)的概率密度函数为f(x,y).,Fx(x)=P Xx=PX x,Y+=F(x,+),同理,(3)、由概率密度求边缘概率密度函数,常用手段分布函数法,定义域：,固定x，对 y 积分得 fX(x).,均匀分布：,其中A是区域G的面积,正态分布：,记为,(4)、常见的分布：,注:(1),(2)边缘分布是不能唯一确定随机变量(X,Y)的分布的(不同),即 x,y,F(x,y)FX(x).FY(y),特别，对于离散型和连续型r.v，该定义分别等价于,f(x,y)fX(x).fY(y),PX=xi,Y=yj PX=xi.PY=yj,定义,则称r.vX与Y相互独立,4、随机变量的相互独立,注：(1)n维随机变量 若满足,则 称是相互独立的,(2)在实际应用中，若X与Y的取值互不影响，则认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.,例4 已知随机变量(X1,X2,Xn)相互独立，且都服从区间a,b上的均匀分布，试写出它们的联合概率分布密度.,解 由于(X1,X2,Xn)相互独立，所以它们的联合概率分布密度,而,故,例5 设(X,Y)的概率密度为：,问X和Y是否独立？,解：,x0,即：,y 0,对一切x,y,均有：,故X,Y 独立。,.若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,小 结,.,作业：P24 28 29 30,