概率论与随机过程第3章.ppt
第三章 平稳随机过程,上一章讨论的随机过程的数学特征：1.它们不仅都是时间的函数，而且相关函数及协方差函数还取决于不同的时刻点。2.由 和 所对应的物理量都是瞬时平均值。工程上和实际应用中，经常遇到一类广泛存在的所谓“平稳”随机过程，或在研究相对稳定状态下的物理过程中，其所涉及的随机量也都属于“平稳”随机过程。同样，平稳随机过程是通信系统和各种信号处理中最常遇到也是最重要的一种特殊类型的随机过程。,3.1 平稳随机过程的定义,3.1.1 严（狭义）平稳随机过程定义 设 为一随机过程，如果对于任意的n 和，其n 维概率密度（或分布函数）满足：则称 是严（狭义）平稳随机过程。即：严平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起点无关。也就是说，其统计特性在相当长的时间内是不变的。,例：今天测的与以前测的平稳随机过程的统计特性是相同的。根据以上定义不难得到下列性质：（1）一维概率密度与时间无关：注意t1的任意性！物理含义：平稳随机过程的任一时刻的随机变量的概率密度都是相同的。,（2）二维概率密度只与时间差 有 关，而与时间起点无关：物理含义：平稳随机过程中时间间隔相同的二个随机变量的联合概率密度都是相同的。,由严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关，二维 概率密度只与时间差 有关，可得下列推论：（1）严平稳随机过程的数学期望和方差都是常数，与时 间无关；（2）相关函数只是时间差的函数，而与时间起点无关。,问题：只有了解了概率密度函数的特性才能判断随机过程的严（狭义）平稳性。往往很难获得定义中的条件。,宽（广义）平稳随机过程定义 设x(t)为一随机过程，若满足：则称x(t)是宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。表示随机过程平均功率有限。宽（广义）平稳随机过程的定义是从统计平均的意义上考察随机过程的平稳性。,3.1.3 严（狭义）平稳与宽(广义)平稳间关系,严平稳必定是宽平稳的，但反之则不一定。因为：严平稳的定义条件本身包含了宽平稳的条件。（由严平稳的推论结果可知）。但满足宽平稳条件的随机过程，它的n维概率密度函数却不一定能满足严平稳的条件要求，因此它未必是严平稳随机过程。今后平稳随机过程均指宽(广义)平稳过程。广义平稳可避开概率密度函数的获取。为何？,3.1.4 集合平均与时间平均,同一时刻，平行地做同一种具有随机结果的有限次试验，所得的样本函数的各种平均特性，称为有限集合平均。例：其中，表示第 i 个试验，在t1 时刻的随机试验的结果。,即，由这N个平行的随机样本值，可做出在t1时刻的各种平均特性，称为有限集合平均。集合平均统计平均其意义在于：求统计平均必须知道概率密度函数，但其不易得到。若引入集合平均的概念，则有：即，可回避由概率密度函数求 和相关函数，但其难点是：需要无穷多个平行的试验样本值。,问题的提出：是否可以用同一试验装置在不同时刻的随机试验结果来代替很多个试验装置在同一时刻平行得到的随机试验结果呢？如果可以，就能用单一实验装置试验结果来表征一个随机过程的特性。,设某一试验装置在时间 的随机试验结果的记录为，即 是每一时刻的值为随机变量的一个随机过程的实现。时间平均值的定义为,问题：上述结果是否可分别代替?能分别代替 的条件是：1 所涉及的随机过程是平稳的；时间平均要能够代替所有不同时刻随机变量的集合平均或统计平均，则要求 必须为常数，即；同理：，即自相关函数只与时间差有关。2 在不同时刻的取值，要能够充分反映任一时刻随机变量的可能取值。即样本函数 要能够遍及其随机过程 所有可能的取值状态。即具有各态历经性。,条件的结论：平稳随机过程在满足各态历经性的条件下，其时间平均可代替其集合平均和统计平均。即，（判断各态历经性的准则）绝大部分的平稳过程都具有各态历经性，但并非全体都具有各态历经性。平稳过程的各态历经过程的充要条件：或,3.2 平稳过程相关函数的性质,3.2.1 相关函数的性质 设 为实平稳随机过程，则（1）自相关函数为偶函数。（2）随机过程在同一时刻点的随机变量的相关性最大。（3）周期平稳随机过程的自相关函数必是周期函数，且其周期与过程的周期相同。若平稳过程 满足条件，则称 为周期平稳过程，其中 为过程的周期。即，,（4）P：平均功率 的平均功率为。往往能量无穷，而平均功率却是有限的。注意：能量信号与功率信号的区别。（5）的直流功率为（6）方差 交流功率 平均功率直流功率,（7）自相关函数的傅氏变换满足非负性。即，自相关函数曲线不能出现平顶，垂直边或幅度上的任何不连 续性。自协方差函数 也具有相同的特性。（8）一个函数能成为自相关函数的充要条件是其必须满足半 正定性，即对任意函数 有,由上述性质可见：相关函数可以表示平稳随机过程（信号）几乎所有的数字特征。即，所有的功率、平均值、偏离平均值的程度，不同时刻随机变量的关联性。,一、互相关函数的性质（1）（2）（3）（4）,相关系数与相关时间的概念 1.相关系数的定义：-归一化相关函数。且。2.互相关系数的定义：，且。3.相关时间的定义：对于一给定时间常数，如果当 时，可以认为随机过程 与 已不相关，则称时间常数 为相关时间。理论上一般定义：。工程上由实际环境确定。值的大小，反映了随机过程随时间变化的快慢。,三.随机序列的自相关矩阵与协方差矩阵*,1 Toeplitz矩阵 若矩阵每一对角线上的元素都是相同的，则称该矩阵为Toeplitz矩阵。即矩阵元素满足：其中，下标中的“”号，同时为“+”，或同时为“-”。；。随机序列的自相关矩阵与协方差矩阵是Toeplitz矩阵。故满足对称性。由一列或一行元素可惟一确定自相关矩阵与协方差矩阵。,1 自相关矩阵的正则形式-使自相关矩阵对角化 设自相关矩阵满足方程（1）其中，为标量，称为R的特征值；为一列向量，称为R的特征向量。由（1）式可得，因为对于非零解的特征向量，有 该方程称为 的特征方程，该方程的根称为 的特征值，记为。对于每个特征值，由（1）式可得，。,将 写成矩阵形式有 令，则，故有自相关矩阵的正则形式,3高斯随机过程,一、高斯过程是其任意维概率密度函数有如下形式：（2）其中，;，行列式 中元素 的代数余因子。,高斯过程的性质：1、高斯过程的的概率密度函数仅由其均值、协 方差函数确定。2、高斯过程若是宽（广义）平稳的，则必是严（狭义）平稳的。（高斯过程的概率密度函 数仅由均值、协方差函数确定）3、若多维高斯过程中各随机变量之间不相关，则各随机变量是统计独立的。4、平稳高斯过程与确定信号之和的概率密度仍 为高斯过程。,二、高斯过程的一维概率密度函数,当（2）式中n=1时，则可得高斯过程X(t)的一维随机变量的概率密度函数：其性质：1、对称于，即2、在（，a）内单调上升，在（a，）内单 调下降。且在 处达到极大值：；在 处，。3、由的对称性及，可得：,4、a 确定 的中心位置，确定 图形的宽 窄。时，为 的标准化形式，即，。,三、高斯过程的一维分布函数,、高斯（正态）分布函数 由分布函数的定义，可得其中，定义 为概率积分函数，此积分值一般由查表获取。,2、正态分布函数与误差函数间的关系 误差函数定义：互补误差函数定义：若，则下式成立若,则下式成立 令，则,上式给出了分布函数与误差函数，互补误差函数间的关系。由 可知：i)当 时，或ii)当 时，或,引用上述关系式，主要是为讨论通信系统抗噪声性能服务的。上述关系式可归纳为：,习题：3.2；3.4；3.6；3.8；3.13；3.21。,
