概率论与数理统计课件第四周.ppt
2-4 连续型随机变量,一.连续型随机变量及其概率密度,1.定义2.2 设随机变量 X 的分布函数为F(x),如果存在一个非负可积函数 f(x),使对任意的实数x，均有,则称X是连续型随机变量，称f(x)是X的概率密度或密度函数，简称密度。连续型随机变量X的分布函数F(x)和密度函数f(x)统称为X的概率分布，简称X的分布。,（1）,（2）,(3)P(a X b)=F(b)-F(a),(4)若 f(x)在点 x 处连续，则有,故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.它反映了X在x附近单位长区间上取值的概率。,若x是 f(x)的连续点，则：,=f(x),(5)设x为 f(x)的连续点，当x较小,则有,P(x X x+x)=F(x+x)-F(x),=,要注意的是，密度函数 f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率在该点的密集程度.,(6)P(X=x0)=F(x0)-F(x0-0),对连续型 随机变量X,其F(x)是连续的,故P(X=x0)=0.从而,例题,P40 例1,二 几种常见的连续型分布,(1)若随机变量X 的概率密度为,1.均匀分布,则称 X 在(a,b)上服从均匀分布，记为XU(a,b),若 X 取值在区间(a,b)上，并且它在(a,b)中任意小区间内取值的概率与这个小区间的长度成正比.则 X 具有(a,b)上的均匀分布.原因如下:,相应的分布函数为,对于 a c d b 我们有 P(c X d)=(d-c)/(b-a),例4 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意，X U(0,30),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.所求概率为：,从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,一般地，设D是轴上一些不相交的区间之和，若X的概率密度为,则称X在D上服从均匀分布。,2 指数分布,若随机变量 X 的概率密度为,其中常数0，则称X 服从参数为的指数分布，相应的分布函数为,例5：服从指数分布的随机变量X具有无记忆性：对于任意 s,t0,有PXs+t|Xs=PXt.(参见书 p 43),指数分布有如下重要性质：,3.正态分布的定义,若随机变量 X 的概率密度为,记作,其中 和 都是常数，任意，0，则称X服从参数为 和 的正态分布.,X 的分布函数为,下面请看正态分布的密度函数有什么特点？,4.正态分布 密度函数图形的特点,特点是“两头小，中间大，左右对称”.,b.决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的密度函数图形特点,c.在x=处密度函数f(x)达到最大值:,d.这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。,当x 时，f(x)0,e.,为f(x)的两个拐点的横坐标。,x=,年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.,5.正态分布的分布函数,6.标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,注意：(0)=0.5(-x)=1-(x),若 XN(0,1),标准正态函数表见附表(p201-202),7.正态分布的计算,对任意的实数x1，x2(x1 x2)，有,例6,设 X N(,2),求 P(|X-|k)的值,k=1,2,3(图示见书p46）,例6说明 质量控制的3原则。设在正常生产的情况下，某零件的尺寸X服从正态分布N(,2),为了在生产过程中随时检查有无系统性误差出现，人们画了一个质量控制图。每隔一定时间，对产品尺寸进行检查，测量的产品的尺寸应落在上、下控制线之内。如果点超出控制线，则很有可能是生产出现了异常情况，应该暂停生产进行检查。当然也可能虚报，但虚报的可能性比较小。,例7 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,解:设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h)0.01,或 P(X h)0.99，,下面我们来求满足上式的最小的 h.,因为XN(170,62),查表得(2.33)=0.99010.99,所以=2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.,例8,某市高校高等数学统考,假定考生成绩 X N(,2).现已知80分以上者占总人数的33%,40分以下者占总人数的8%,求考生的及格率.,已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布，,求功率 W=V 2/R(R为电阻）的分布.,下面考虑随机变量函数的分布,2-5 随机变量函数的分布,一般地，设X,Y 是两个随机变量，y=g(x)是一个已知函数，如果当X 取值 x 时，Y取值为g(x)，则称Y 是随机变量X 的函数,记作 Y=g(X).,一 离散型随机变量函数的分布,例1,设X,求 Y=2X+3 的概率函数.,例 2 P49,一般地，若X 的分布列为,则Y=g(X)的分布列为,如果 g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.,例,设随机变量 X 具有以下分布律,试求Y=(X-1)2 的分布律.,二 连续型随机变量函数的分布,解：设Y 的分布函数为 FY(y)，,例3,设 X,求 Y=2X+8 的概率密度.,FY(y)=PY y=P(2X+8 y),=P X=FX(),于是Y 的密度函数,故,注意到 0 x 4 时，,即 8 y 16时，,此时,Y=2X+8,1.当 y=g(x)是单调函数,定理 若连续型随机变量 X 只在(a,b)上取值，它的概率密度为 fX(x)，又 y=g(x)是严格单调的可导函数，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为,其中 x=h(y)是 y=g(x)的反函数，(，)是y=g(x),a x b 的值域。,假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y=1-e-2X 在区间（0，1）上服从均匀分布。,例 4,的反函数为,且其导数为,再利用前面的定理,把这些代入公式就得到,化简得,2.当y=g(x)是非单调函数,例 5,求导可得,当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，,解：设Y 和X的分布函数分别为 和，,已知随机变量 X U 0,求Y=sinX,的概率密度 fY(y),例 6,解释:,这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.,这是求随机变量X的函数的分布的一种常用方法.,作业,P48：1，6，7，8P52：4，6,
