概率论与数理统计课件第五周.ppt
第三章 多维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量,在很多实际问题中，需要考虑两个或两个以上的随机变量。先看两个随机变量：二维随机变量（X,Y)的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。,联合分布函数与边缘分布函数,1定义,设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数 x,y,令 F(x,y)=PXx,Yy.则称 F(x,y)为（X,Y）的联合分布函数。,分布函数的几何意义,(x,y),2F(x,y)的性质,性质1 对于x 和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x1 x2,对任意的实数y，则有 F(x1,y)F(x2,y)；若y1y2,对任意的实数x，则有 F(x,y1)F(x,y2),性质2 对于任意的实数x,y,均有 0 F(x,y)1,性质3 对于x 和y，F(x,y)都是右连续的，即对任意的实数x0和y0，均有,F(x,y)=F(x0,y),F(x,y)=F(x,y0),性质4 若x1 x2,y1y2,则 Px1X x2,y1Y y2=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1),几何意义如下:,3边缘分布函数记(X,Y)的分量X，Y 的分布函数分别为FX(x)和FY(y)称它们为X，Y 的边缘分布函数,4.联合分布函数与边缘分布函数的关系,FX(x)=PX x=PX x,-Y+=F(x,+)，,FY(y)=PY y=P-X+,Y y=F(+,y),例1：设,求(X,Y)的边缘分布函数。,二维离散型随机变量及其联合分布律,如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量,设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为(xi,yj),i，j=1,2,.,取这些值的概率为,联合分布律,pij=PX=xi,Y=yj i,j=1,2,称 上式为(X,Y)的联合分布律.,性质,(1)pij 0，i,j=1,2,(2),问：如何用表格表示(X,Y)分布情况？答:见书p56.并且有例子.,二维连续型随机变量及其联合概率分布,定义 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)。若存在非负函数f(x,y),对任意实数x,y 有 则称(X,Y)为连续型二维随机变量，且称函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合密度函数，简称为联合密度或概率密度。,性质:,(1),(2),若f(x,y)在点(x,y)处连续，则,(3),(4)设G是xOy平面上的一个区域，则有,在几何上z=f(x,y)表示空间的一张曲面。由性质(2)知，介于该曲面和xy平面之间的空间区域的体积是1。由性质(4)知,的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。,pi.=PX=x i,i=1,2,p.j=PY=y j,j=1,2,称上面两式分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。,若(X,Y)为离散型随机变量,则X,Y均为离散型 随机变量。记分量X 和Y 的分布律分别为,二维离散型随机变量的边缘分布律,联合分布律与边缘分布律的关系,设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 pi j=PX=x i,Y=y i i,j=1,2,则,二维连续型随机变量的边缘密度函数,2.若(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函数是f(x,y)，此时X 和Y也是连续型随机变量，分别称X 和Y 的概率密度函数fX(x)和fY(y)为(X,Y)关于X和Y 的边缘密度函数,简称为边缘密度。且有,1.若(X,Y)为连续型随机变量,则X,Y均为连续型随机变量,(3)f(x,y)与 fX(x),fY(y)之间的关系,例2 设随机变量X 和Y 具有联合分布,求X 和Y 边缘密度(我们分析被积函数在xy平面上不为0 的区域如下:),(1,1),x,y,例3 设(X,Y)的概率密度是,求(1)c的值；（2）两个边缘密度。,=5c/24=1,c=24/5,解：(1),(分析被积函数在xy平面上不为0 的区域),例3(续)设(X,Y)的概率密度是,解:(2),求(1)c的值;(2)两个边缘密度.,例3(续)设(X,Y)的概率密度是,解:(2),求(1)c的值;(2)两个边缘密度.,即,(4).二维均匀分布,设D为平面上的有界区域,D的面积大于零.若二维随机变量(X,Y)的联合密度为,则称(X,Y)在D上服从均匀分布,向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标（X,Y）在D上服从均匀分布.,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,记作（X,Y）N(),设（X,Y）N()，则有,XN(),YN(),为什么呢？见书 p64 例5.,作业,P53:4,6P60:3P65:2,5,
