概率论与数理统计第1章习题答案.ppt
4.,设A,B,C是三事件,且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率.,解,=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),广义加法定理,所求概率为 P(ABC),P(AB)=P(BC)=0,AB=BC=,由于ABCAB,或ABCBC,P(ABC)P(AB),=0,非负性,0,P(ABC)=0,P(ABC)=3(1/4)-(1/8)=5/8,若 P(ABC)=P(B(AC),=P(B)+P(AC)-P(B(AC),P(AC)=P(A)+P(C)-P(AC),P(B(AC)=P(BABC),=P(BA)+P(BC)-P(BA)(BC),=P(AB)+P(BC)-P(ABC),仍有P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),在一标准英语字典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词.若从26个英文字母中任取两个字母予以排列,求能排成上述单词的概率.,解 基本事件是从26个英文字母中任取两个不相同的字母排成单词,这实际上是排列问题,故基本事件总数,所求的55个由两个不相同的字母组成单词的事件A包含基本事件数 nA=55.,故所求概率,某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶,黑漆4桶,红漆3桶,在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所定颜色如数得到定货的概率是多少?,解 基本事件是从17桶油漆中任取9桶,这实际上是组合问题,取出的9桶油漆中有4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆的事件A分三步完成:,先从10桶白漆中取出4桶,有,种取法,再从4 桶黑漆中取出3桶,有,种取法,最后从3桶红漆中取出2桶,有,种取法,故,故所求概率,5.,7.,(2)恰有k个次品的概率,至少有2个次品,则可能是2个,3个,200个次品,按加法定理,至少有2个次品的概率,简单的方法是利用其逆事件,少于2个次品,即恰有1个次品或没有次品,从而,在1500个产品中有400个次品,1100个正品.任取200个.,(1)求恰有90个次品的概率;(2)求至少有2个次品的概率.,解 基本事件是从1500个产品中取200个,基本事件总数n=,(1)从400个次品中取90个,1100个正品中取110个的事件总数,故恰有90个次品的概率,8.,10.,在11张卡片上分别写上probability这11个字母,从中任意连抽7张,求其排列结果为ability的概率.,解 法一:基本事件是从11张卡片中任意连抽7张进行排列,故基本事件总数为排列数,从11张卡片中抽出字母,的方式有,a1,b2,i2,l1,i1,t1,y1,=4 种,故所求概率,法二:利用条件概率和乘法公式,设a,b,i,l,i,t,y分别表示从11张卡片中抽出写有该字母的卡片的事件.,则 P(ability)=P(a)P(b|a)P(i|ab)P(l|abi)P(i|abil)P(t|abili)P(y|abilit),=,14.,19(1),已知P(A)=1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)=1/2,求P(AB).,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B),故,因此,解 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),设甲袋中装有n只白球,m只红球;乙袋中装有N只白球,M只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球.问取到白球的概率是多少?,解 设事件B表示“从甲袋中取出一只白球放入乙袋”,事件A表示“从甲袋取一只球放入乙袋,再从乙袋中取一只白球”.,16.,据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:,P孩子得病=0.6,P母亲得病|孩子得病=0.5,P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4,求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.,解 设事件A=孩子得病,B=母亲得病,C=父亲得病,已知 P(A)=0.6,P(B|A)=0.5,P(C|AB)=0.4,法一:直接用乘法公式,而 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=0.60.50.4=0.12,P(AB)=P(A)P(B|A)=0.60.5=0.3,17.,已知在10只产品中有2只次品,在其中取两次,每次任取一只,作不放回抽样.求下列事件的概率:(1)两只都是正品;(2)两只都是次品;,(3)一只是正品,一只是次品;(4)第二次取出的是次品.,解 法一:用等可能概型.,(1)基本事件是从10只产品中取2只,不分顺序有,种取法,8只正品中取2只,有,种取法,故 p1=28/45.,(2)2只次品中取2只,只有1种取法,故 p2=1/45.,第一次取正品,第二次取次品,有82=16种取法,第一次取次品,第二次取正品,有28=16种取法.,(3)不分顺序,8只正品中取1只,2只次品中取1只,有82=16种取法,故 p3=16/45.,如果基本事件是从10只产品中取2只,要分顺序,则有,种取法,共有16+16=32种取法,故 p3=32/90=16/45.,(4)第二次取出的是次品,第一次可能取正品,也可能取次品,第一次取正品,第二次取次品,有82=16种取法,第一次取次品,第二次取次品,有21=2种取法,共有16+2=18种取法,故 p4=18/90=1/5.,法二:利用条件概率和乘法公式,(1)p1=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=,全概率公式,19(1),设甲袋中装有n只白球,m只红球;乙袋中装有N只白球,M只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球.问取到白球的概率是多少?,解 设事件B表示“从甲袋中取出一只白球放入乙袋”,事件A表示“从甲袋取一只球放入乙袋,再从乙袋中取一只白球”.,21.,已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?,解 先假定男人数为M,女人数为N,求出一般结果.,设从人数为M+N的人群中随机地挑选一人,A表示此人是男人的事件,B表示此人是色盲患者的事件.则,要求P(A|B),而 P(AB)=P(A)P(B|A),P(B)=P(A)P(B|A),全概率公式,贝叶斯公式,特别,M=N时,26.,(1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4.它们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按右图的方式联接(称为并串联系统);,(2)设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5.它们的可靠性均为p,将它们按右图的方式联接(称为桥式系统);试分别求这两个系统的可靠性.,解 设事件Ai(i=1,2,3,4,5)表示第i个元件正常工作,(1)设事件A表示并串联系统正常工作,则,A=A1(A2A3)A4),并串联系统的可靠性,P(A)=P(A1(A2A3)A4),=P(A1)P(A2A3)A4),=P(A1)P(A2A3)+P(A4)-P(A2A3A4),=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A4)-P(A2)P(A3)P(A4),=p1p2p3+p1p4-p1p2p3p4,则事件A1,A2,A3,A4,A5相互独立.,(2)设事件B表示桥式系统正常工作.,桥式系统的可靠性,法一:,=P(A3)P(A1)+P(A4)-P(A1A4)P(A2)+P(A5)-P(A2A5),P(A)=P(A3)P(A1)+P(A4)-P(A1)P(A4)P(A2)+P(A5)-P(A2)P(A5),=pp+p-p2p+p-p2+(1-p)p2+p2-p4,=p3(2-p)2+p2(1-p)(2-p2),=4p3-4p4+p5+2p2-p4-2p3+p5,=2p2+2p3-5p4+2p5,法二:设B1=A1A2,B2=A4A5,B3=A1A3A5,B4=A2A3A4,则 B=B1B2B3B4.,P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4),+P(B1B2B3)+P(B1B2B4)+P(B1B3B4)+P(B2B3B4)-P(B1B2B3B4),-P(B1B2)-P(B1B3)-P(B1B4)-P(B2B3)-P(B2B4)-P(B3B4),B1B2=A1A2A4A5,B1B3=A1A2A1A3A5=A1A2A3A5,B1B4=A1A2A2A3A4=A1A2A3A4,B2B3=A4A5A1A3A5=A1A3A4A5,B2B4=A4A5A2A3A4=A2A3A4A5,B3B4=A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B1B2B3=A1A2A4A5A1A3A5=A1A2A3A4A5,B1B2B4=A1A2A4A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B1B3B4=A1A2A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B2B3B4=A4A5A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,B1B2B3B4=A1A2A4A5A1A3A5A2A3A4=A1A2A3A4A5,故 P(B)=2p2+2p3-5p4-p5+4p5-p5=2p2+2p3-5p4+2p5,28.,三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?,解 设事件Ai表示“第i人能译出”,i=1,2,3,由题意P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,A1,A2,A3及其逆事件相互独立,三人中至少有一人能译出为事件A1A2A 3,法一:P(A1A2A3),=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3),=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1)P(A2)-P(A1)P(A3)-P(A2)P(A3),+P(A1)P(A2)P(A3),=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3),
