概率论与数理统计第三章.ppt

第三章 随机变量的数学特征,分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲嬴2局、乙羸1局时，中止了赌博.问如何分赌本?,两种分法,1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌二局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4,“期望”所得,若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为：,X 0 100,P 1/4 3/4,甲的“期望”所得是：01/4+100 3/4=75.,3.1 数学期望,定义3.1 设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,.若级数,绝对收敛，则称该级数为X 的,数学期望，记为,连续随机变量的数学期望,定义3.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分,绝对收敛，则称该积分为X 的,数学期望，记为,例,则,E(X)=,10.2+00.1+10.4+20.3=0.8.,X 1 0 1 2,P 0.2 0.1 0.4 0.3,注 意 点,数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.,3.2 数学期望的性质(P64),(1)E(c)=c,(2)E(X+b)=E(X)+b,(3)E(aX)=aE(X),(4)E(aX+b)=aE(X)+b,(5)E(X+Y)=E(X)+E(Y),(6)若X与Y 独立,则 E(XY)=E(X)E(Y),数学期望的性质,定理(P66)设 Y=g(X)是随机变量X的函数，若 E(g(X)存在，则,例 设随机变量 X 的概率分布为,求 E(X2+2).,=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4,=1+3/4+6/4=13/4,解:E(X2+2),X 0 1 2,P 1/2 1/4 1/4,例,设 X p(x)=2x,0 x12.,求下列 X 的函数的数学期望.,(1)2X1,(2)(X 2)2,解:(1)E(2X 1)=1/3,(2)E(X 2)2=11/6.,课堂练习,P75 6,习 题,P75 4，6,7.,3.4 随机变量的方差,数学期望反映了X 取值的中心.方差反映了X 取值的离散程度.,方差的定义,定义3.3(P70)若 E(XE(X)2 存在，则称 E(XE(X)2 为 X 的方差，记为,Var(X)=D(X)=E(XE(X)2,注 意 点,(2)称,X=(X)=,(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.,为X 的标准差.,标准差的量纲与随机变量的量纲相同.,方差的性质(P71),(1)D(c)=0.,(2)D(X+b)=D(X).,(3)D(aX)=a2D(X).,方差的性质(P71),(4)如X与Y 独立,则 D(X+Y)=D(X)+D(Y).,(5)D(X)=E(X2)E(X)2,例 设 X,求 E(X),D(X).,解:(1)E(X)=,=1,(2)E(X2)=,=7/6,所以,D(X)=E(X2)E(X)2,=7/6 1=1/6,课堂练习,问题：D(X)=1/6,为什么？,随机变量的标准化,设 D(X)0,令,则有 E(Y)=0,D(Y)=1.,称 Y 为 X 的标准化.,常用离散分布的数学期望,0-1 分布的数学期望=p,二项分布 b(n,p)的数学期望=np,泊松分布 P()的数学期望=,常用离散分布的方差,0-1 分布的方差=p(1p),二项分布 b(n,p)的方差=np(1p),泊松分布 P()的方差=,常用连续分布的数学期望,均匀分布 U(a,b):E(X)=(a+b)/2,指数分布 Exp():E(X)=1/,正态分布 N(,2):E(X)=,常用连续分布的方差,均匀分布 U(a,b)的方差=(b a)2/12,指数分布 Exp()的方差=1/2,正态分布 N(,2)的方差=2,例 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)=2.4,D(X)=1.44,则参数 n,p 的值为多少？,例 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标 的次数,每 次射中目标的概率为0.4,则 E(X2)的值为多少？,解：从 2.4=np,1.44=np(1p)中解得,解：因为 E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以,n=6,p=0.4.,E(X2)=D(X)+(E(X)2=2.4+16=18.4,(三)多维随机变量的特征数,本节主要给出 X 与 Y 的相关系数,数学期望与方差的运算性质,1.E(X+Y)=E(X)+E(Y),当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).,讨论 X+Y 的方差,1.D(XY)=D(X)+D(Y)2EXE(X)YE(Y),3.当X与Y独立时，EXE(X)YE(Y)=0.,4.当X与Y独立时，D(X Y)=D(X)+D(Y).,2.EXE(X)YE(Y)=E(XY)E(X)E(Y),协方差,定义3.5 称 Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y),为 X 与 Y 的协方差。,协方差的性质,若 X 与 Y 独立，则 Cov(X,Y)=0.,Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).,D(XY)=D(X)+D(Y)2 Cov(X,Y),课堂练习(1),X 与 Y 独立，Var(X)=6，Var(Y)=3，则 Var(2XY)=().,27,课堂练习(2),X P(2)，Y N(2,4)，X,Y独立，则 E(XY)=();E(XY)2=().,4,22,相关系数,定义3.6 称=,为 X 与 Y 的相关系数。,相关系数的性质,(1)1 Corr(X,Y)1.,(2)Corr(X,Y)=1,X 与 Y 几乎处处有线性关系。,P(Y=aX+b)=1,注 意 点,Corr(X,Y)的大小反映了X与Y之间的线性关系：,Corr(X,Y)接近于1，X 与 Y 间 正相关。,Corr(X,Y)接近于 1，X 与 Y 间 负相关。,Corr(X,Y)接近于 0，X 与 Y 间 不相关。,没有线性关系,习 题,P77 23,24,