概率统计7.2点估计的评价标准.ppt
7.2 点估计的评价标准,对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题,(1)无偏性,(3)一致性,(2)有效性,7.2,若,无偏,定义,我们不可能要求每一次由样本得到的,估计值与真值都相等，但可以要求这些估,计值的期望与真值相等.,是总体X 的样本,证明:不论 X 服从什么分布(但期望存在),证,因而,由于,例1,则,特别地,是总体期望 E(X)的,样本均值,无偏估计量,例2 设总体 X 的期望 与方差存在,X 的,样本为(n 1).,(1)不是 D(X)的无偏估量;,(2)是 D(X)的无偏估计量.,证,前已证,证明,例2,因而,故 证毕.,XB(n,p)n 1,求 p 2 的无偏估计量.,解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.,令,例3,因此,p 2 的无偏估计量为,故,例4 设总体 X 的密度函数为,为常数,为 X 的一个样本,证,故,是 的无偏估计量.,例4,令,即,故 n Z 是 的无偏估计量.,都是总体参数 的无偏估计量,且,则称 比 更有效.,有效,是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？,由例4可知,与 都,为常数,例5 设总体 X 的密度函数为,解，,例5,例6 设总体 X，且 E(X)=,D(X)=2,为总体 X 的一个样本,证(1),例6,(1)设常数,(2),而,例如 X N(,2),(X 1,X 2)是一样本.,都是 的无偏估计量,罗克拉美（Rao Cramer）不等式,其中 p(x,)是 总体 X 的概率分布或密度函数，称 为方差的下界.,当 时,称 为达到方差下界的无偏估计量,此时称 为最有效的估计量,简称有效估计量.,例7 设总体 X 的密度函数为,为 X 的一个样本值.,求 的极大似然估计量,并判断它是否达到方差下界的无偏估计量.,为常数,解 由似然函数,例7,的极大似然估计量为,它是 的无偏估计量.,而,故 是达到方差下界的无偏估计量.,定义 设 是总体参数,的估计量.若对于任意的,当n 时,依概率收敛于,即,一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.,一致,关于一致性的两个常用结论,1.样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.,是 的一致估计量.,矩法得到的估计量一般为一致估计量,在一定条件下,极大似然估计具有一致性,2.设 是 的无偏估计 量,且,则,例8,为常数,则 是 的无偏、有效、一致估计量.,证 由例7 知 是 的无偏、有效估计量.,所以 是 的一致估计量,证毕.,例8,作业 P.231 习题七,1618 20,习题,补充题 设总体 X N(,2),为 X 的一个样本,常数 k 取,何值可使,为 的无偏估计量,第十四周 问 题,母亲嗜酒是否影响下一代的健康,美国的Jones医生于1974年观察了母亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的6名七岁儿童（称为甲组）.以母亲的年龄，文化程度及婚姻状况与前6名儿童的母亲相同或相近，但不饮酒的46名七岁儿童为对照租(称为乙组).测定两组儿童的智商，结果如下：,每周一题14,由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一代的智力？若有影响，推断其影响程度有多大?,提示,前一问题属假设检验问题 后一问题属区间估计问题,智商一般受诸多因素的影响.从而可以,本问题实际是检验甲组总体的均值是否比乙组总体的均值偏小?,若是，这个差异范围有多大?前一问题属假设检验，后一问题属区间估计.,解,假定两组儿童的智商服从正态分布.,由于两个总体的方差未知，而甲组的样本容量较小，因此采用大样本下两总体均值比较的U检验法似乎不妥.故,当 为真时，统计量,采用方差相等(但未知)时，两正态总体均值比较的t检验法对第一个问题作出回答.,为此,利用样本先检验两总体方差是否相等，即检验假设,拒绝域为,未落在拒绝域内，故接受.即可认为,两总体方差相等.下面用 t 检验法检,验 是否比 显著偏小？即检验假设,当 为真时，检验统计量,其中,嗜酒会对儿童智力发育产生不良影响.,落在拒绝域内，故拒绝.即认为母亲,下面继续考察这种不良影响的程度.为此要对两总体均值差进行区间估计.,取,于是置信度为 99%的置信区间为,由此可断言：在99%的置信度下，嗜酒,母亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒,的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要,低 2.09 到 39.91.,故限制显著性水平的原则体现了“保护零假设”的原则.,注,大家是否注意到，在解决问题时，两次假设检验所取的显著性水平不同.,前者远,在检验方差相等时，取;在,检验均值是否相等时取.,比后者大.为何这样取呢?因为检验的结果与检验的显著性水平 有关.,小，则拒绝域也会小，产生的后果使零假设难以被拒绝.,在 较大时,若能接受,说明为真的依据很充足;同样，在 很小时，我们仍然拒绝.说明 不真的理由就更充足.,说明在所给数据下，得出相应的,本例中,对,仍得出,可被接受,及对,可被拒绝,的结论.,结论有很充足的理由.,另外在区间估计中，取较小的置信,若反之,取较大的置信水平，则可,水平(即较大的置信度),从而使,得区间估计的范围较大.,减少估计区间的长度，使区间估计精确,提高，但相应地区间估计的可靠度降低,了，即要冒更大的风险.,解,补充题,补充题 设总体 X N(,2),为 X 的一个样本,常数 k 取,故,
