机械运动的描述.ppt
2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,第1章 机械运动的描述,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,概 述,机械运动：物体之间（或物体各部分之 间）相对位置的变动。,研究对象：机械运动的规律及其应用。,参 考 系：描述机械运动首先要选择参考物，并在其上建立坐标系。参考物和坐标系统称为参考系。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,本章目录,第1节 描述机械运动的基本概念,第2节 描述质点运动的线量,第3节 几种典型的运动形式,第4节 描述刚体转动的角量,返回,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,1.1 描述机械运动的基本概念,1.1.1 质点与刚体,一、质 点,具有一定质量，而大小、形状可以忽略的物体。这种大小形状可以忽略不计的理想模型，称为质点（material point）。,质点是一个相对概念，能否视为质点，并非单纯地看它的大小，而是看它的大小形状在所研究的问题中是否起显著的作用。,研究质点的运动是研究物体运动的基础。,电子与质点,地球与质点,例如：,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,二、刚 体,在外力作用下保持其大小形状不变的物体，这种理想模型，称为刚体（rigid body）。,刚体是由大量质点组成的，在力作用下，组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。,1.1.2 参考系与坐标系,物理学中把被选作标准的物体或彼此不做相对运动的物体系称之为参考系（reference system）。,一、参考系,参考系的选择不同，对同一物体的运动描述也就不同。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,二、坐标系,为了定量表示物体在空间的位置，固定于作为参考系物体上的坐标系（coordinate system）。,（1）常用的坐标系有直角坐标系、自然坐标系、球坐标系等。,（2）应该明确的是，参考系一经确定，所描述的物体的运动性质也就确定了。,对物体而言，静止是相对的、有条件的，而运动却是绝对的、无条件的。参考系的选择具有任意性。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,1.2 描述质点运动的线量,线 量：位置矢量、位移矢量、速度矢量和加速度矢量等描述质点运动的基本物理量。,1.2.1 位置矢量（position vector）,P(x,y,z),由坐标原点指向质点所在位置的矢量，称为位置矢量，也叫矢径。,P点的坐标（x,y,z）就是位置矢量在三个坐标轴上的投影，那么,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,其大小为,位置矢量的方向标志质点相对于原点的方位，可由方向余弦来确定，即,式中a，b，g 满足下列关系式,三个方向余弦中只有两个是独立的。,位置矢量随时间的变化规律叫做运动方程，写成分量式,x=x(t)，y=y(t)，z=z(t),消去时间参量t，则可得到轨道方程,f(x,y,z)=常量,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,内的位移矢量，用 表示。有,1.2.2 位移矢量（displacement vector）,质点由P到Q的有向线段，称为质点在Dt时间,由,得,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,位移的大小是,位移的方向是,路程：质点通过实际路径的总长度。,（2）位移由始末位置决定，与路程无关，状态量；,（1）位移与路程是两个不同的物理量。,（3）路程是实际路径长度，是标量，过程量。,1.2.3 速度矢量（velocity vector）,描述质点位置变化快慢和运动方向的矢量。,一、平均速度,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,如果质点在Dt 时间内发生的位移 则,平均速度（average velocity）是矢量，是对质点真实运动的一种近似描述。,二、瞬时速度（instaneous velocity）,当Dt 趋近于零时，有,速度是位置矢量对时间t的一阶导数；即位置矢量对时间的变化率。,瞬时速度,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,在直角坐标系中，速度矢量可表示为,即,速度的大小，即 的模,三、速 率,速度的大小称为速率（speed）。,速率直接反映了质点运动的快慢。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,（1）速率与速度不同，前者是路程变化，后者是位移变化；前者是标量，后者是矢量。,（2）速度的方向或大小变化，速度即发生变化。速度具有瞬时性。,（4）注意 与Dr的区别,（3）同一运动的质点相对不同的参考系将有不同的速度，这就是速度的相对性。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,1.2.4 加速度矢量（acceleration vecter）,一、平均加速度（average acceleration）,描述速度在大小和方向上随时间变化快慢的物理量。,二、瞬时加速度（instaneous acceleration）,P,Q,只反映了Dt时间内速度的平均变化情况。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,而,在直角坐标系中，加速度可写成,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,这些分量和加速度大小的关系式为,（1）的方向：,（2）的大小：,Dt 0时，Du的极限方向即du的方向。质点作曲线运动时，a的方向总是指向轨迹曲线凹的一面，与同一时刻速度u 的方向一般是不同的。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,三、切向加速度和法向加速度,研究曲线运动时，常将加速度矢量沿自然坐标分解为切向加速度（tangential acceleration）和法向加速度（normal acceleration）。,在自然坐标系中，质点的速度为,根据加速度的定义,以平面曲线运动为例。给出切向加速度与法向加速的表达式。切线方向的单位矢量用 表示，法线方向的单位矢量用 表示。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,切向加速度，用 表示，即,为切向单位矢量 的变化率，即,在 tt+Dt 时间内，由P1到P2处，,当Dq 趋于0时，,的方向趋近于 的方向，,即,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,P1点的曲率半径为，则因，所以有,则,一般曲线运动的加速度表示为,物理意义：切向加速度反映了速度大小的变化，法向加速度反映了速度方向的变化。,加速度的大小为,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,加速度的方向由 与 方向之间的夹角q 确定，有,运动学问题,第一类问题：已知物体的运动方程，求任一时刻的速度、加速度。在数学上为微分问题。,第二类问题：已知物体的加速度（或速度）及初始条件，求运动方程。在数学上为积分问题。,加速度的单位采用ms2。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,例1.4 在离水平面高为h的岸边，一人以匀速率u0拉绳使船靠岸；试求船距岸边x时的速度及加速度。,解：以船为对象并视为质点，有,对运动方程求二阶导数，得,两侧求导，有,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,例1.6 一物体悬挂在弹簧上做竖直振动，其加速度a=ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标。假定物体在坐标y0处的速度为0，试求速度与坐标y的函数关系式。,解：由加速度的定义,加速度由可写成,可得,取积分并带入初始条件，得,所以,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,1.3 几种典型的运动形式,1.3.1 直线运动（rectilinear motion）,最好选择坐标轴与质点轨道重合。只有x轴的分量，可表示为,分量式为,已知任意时刻的加速度a及t=0时刻的初速度0，则任一时刻的速度为,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,已知t=0时刻的初始位置坐标 x0，则任一时刻的位置坐标为,匀变速直线运动的运动方程,已知加速度a为一常量，设初始状态t=0时，质点位于x0处，初速度为u0；,由,或,两边积分,得,即,由,或,两边积分,得,即,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,1.3.2 圆周运动（circular motion）,一、匀速率圆周运动,二、变速率圆周运动,速度的大小和方向都在变化，所以既有切向加速度又有法向加速度，而总加速度为,其中,速度的大小不变而方向总在变。故切向加速度at=0，法向加速度an=u2/R=常量，方向始终指向圆心，又称为向心加速度。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,1.3.3 抛体运动（projectile motion）,抛体的初速度为0，与水平面的夹角q0，选取抛出点为坐标原点。,初速度的分量式为,加速度的分量式为,任一时刻速度的分量为,利用初始条件t=0时，y0=0，可得运动方程为,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,消去时间t，得物体运动的轨迹方程为,把抛体落地点与原点间的距离R称为射程，则,当q0=45时，射程最大，其值为,（1）抛体运动可看作水平方向的匀速直线运动与竖直方向的上抛运动的合运动。,（2）任何一个运动，均可视为几个彼此独立进行的运动叠加而成，这一结论称为运动的叠加原理。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,1.4 描述刚体转动的角量,刚体上所有质点都绕同一直线做圆周运动时，称此运动为转动（rotation），这条直线叫做转轴（rotational axis）。转轴始终固定不动的转动称为定轴转动（fixed-axis rotation）。,其主要运动特征为：,（1）刚体上各质点都做着半径不同的圆周运动，故各点的线量不同。（2）各点的圆周运动平面垂直于转轴，圆心在轴线上，该平面称为转动平面。（3）各点的位置矢量在相同时间内转过的角度相同。,定轴转动,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,1.4.1 角位置 角位移,角位置q：与x轴间的夹角。,角位移Dq：q 的增量。,1.4.2 角速度,一、平均角速度,=(t)与质点的运动方程相似，称其为角运动方程（angular equation of motion）。,角位置与角位移的单位用弧度(rad)表示。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,二、瞬时角速度,当Dt0时，平均角速度的极限值称为瞬时角速度，即,角速度的单位为rads-1。,一、平均角加速度,1.4.3 角加速度,二、瞬时角加速度,当Dt0时，平均角加速度的极限值称为瞬时角加速度，即,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,角加速度的单位为rads-2。,（1）角速度与角加速度均为矢量；,应当明确：,（2）角速度的方向服从右手定则；,（3）角加速度与角速度方向平行。方向相同，做加速转动；方向相反，做减速转动。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,第一类问题：已知刚体做定轴转动的转动方程(角运动方程)，求任一时刻的角速度、角加速度。在数学上为微分问题。,定轴转动问题,第二类问题：已知刚体做定轴转动的角加速度（或角速度）以及初始条件，求转动方程。在数学上是积分问题。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,例1.8 已知一刚体做定轴转动的角运动方程为q=2t3；试求t=2s时的角速度和角加速度。,解：根据定义，用标量计算，得,则,当t=2s时,因任一时刻b=b(t)，且w 0，b 0，故该刚体做变加速转动。,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,例1.9 已知一刚体按b=2t 做变速转动，且 t=0时初位置q0=p，初速度w0=0；求刚体转动的速度方程和角运动方程。,解：根据定义,则,取积分,有,又根据,则,有,2023/11/15,吉林大学 物理教学中心,1.4.4 角量与线量的关系,Ds=rDq,根据几何关系，有,且,即,矢量式为,结束,
