机械系统运动方程及其求解.ppt
9.3 机械系统运动方程及其求解,9.3.1 机械系统方程式 求解机械的真实运动规律,首先列出机械系统运动方程式。由于平面单自由度机械系统的动力特性等价于其等效动力学模型,为此,研究机械系统的运动规律问题就简化为研究等效构件的运动规律问题。若以曲柄为等效构件,根据动能定理,其微分形式的动能方程为将上式积分即可得积分形式的动能方程,（9.3-1）,（9.3-2）,9.3 机械系统运动方程及其求解,式(9-3.1)和(9-3.2)均为动能形式的运动方程。此外,还可从式(9-3.1)导出力矩形式的运动方程:即整理，得,（9.3-3）,同理，若以滑块为等效构件,可得微分形式的动能方程:积分形式的动能方程:力形式的动能方程:,9.3 机械系统运动方程及其求解,（9.3-4）,（9.3-6）,（9.3-5）,9.3 机械系统运动方程及其求解,9.3.2 运动方程的求解一般来说,等效转动惯量可能是常数也可能是机械原动件位置的函数;而等效力矩或机械原动件位置的函数,或是速度的函数。因此,运动方程的求解可根据不同的情况采用图解法、解析法及数值计算法。1.等效力矩或等效转动惯量均为常数由于等效转动惯量为常数,则式(9.3-3)变为上式可改写为:,（9.3-7）,9.3 机械系统运动方程及其求解,式中，、0为等效构件起始位置的角位移和角速度;为等效构件角加速度。这类问题常见于恒定载荷的齿轮传动或机械制动过程中。,（9.3-8）,9.3 机械系统运动方程及其求解,【例9-2】图9-4所示为某机械的传动系统。它由电动机A驱动，经由一带传动和二级齿轮减速器将动力传至输出轴，其制动器B安装在轴上。已知电动机的转速为1420r/min，各轴间传动比分别为i12=2.5，i23=4.5，i34=3；各轴系的转动惯量（单位kgm2）分别为J0.15，J2=0.5，J3=0.24，J4=0.3，制动器B转动惯量Jb0.15；当切断电动机电源后，要求图9-4在不到s的时间,图9-4 简单机械系统,9.3 机械系统运动方程及其求解,内使该传动系统停止运转，问所需的制动力矩Mr为多大？解：选取制动器B所在轴系为等效构件，其角速度为由式（9.2-6），求得其等效转动惯量J,图9-4 简单机械系统,9.3 机械系统运动方程及其求解,等效构件的角加速度为所需制动力矩,9.3 机械系统运动方程及其求解,2.等效力矩是速度函数,等效转动惯量是常数 由式(9.3-8)分离变量后得：积分得整理得,（9.3-9）,（9.3-10）,9.3 机械系统运动方程及其求解,式（9.3-7）还可变换为积分得整理得 这类问题常见于电动机驱动的鼓风机、离心泵等机械。,（9.3-10）,9.3 机械系统运动方程及其求解,【例9-3】已知某机械系统的等效驱动力矩Mod=a-b，等效阻抗力矩Mor为常数，如图9-5a所示，其中，a，b均为正值，且为常数。若该系统的等效转动惯量Jo也为常数，试求该机械的运动规律。【解】该系统从静止开始启动，随着速度的上升，驱动力矩下降。假设驱动力矩与阻抗力矩相等时，对应的转速为s，则,图9-5 机械系统的机械特性曲线,a）,b）,9.3 机械系统运动方程及其求解,于是，等效力矩由式（9.3-9）得,图9-5 机械系统的机械特性曲线,a）,b）,9.3 机械系统运动方程及其求解,解得该系统的运动曲线如图9-5b所示，反映了机械的启动过程。当t时，s，即机械处于稳定运转。由于该曲线是一条递增的，且收敛于s的曲线，所以一般认为机械的运转速度达到s的某一百分比，如95时，机械即进入稳定运转阶段，相应所需的时间tst即为起始时间。,3.等效力矩和等效转动惯量均为等效构件位置的函数 这类问题采用式(9灡3 2)表述的积分形式的动能方程求解较为方便等效构件的角加速度机械运动时间这类问题常见于内燃机驱动的含有连杆机构的机械系统。,9.3 机械系统运动方程及其求解,（9.3-11）,（9.3-12）,（9.3-13）,4.等效力矩是位置和速度的函数，等效转动惯量是位置的函数 这类问题采用式(9.3-1)列出其运动方程式这是一个非线性微分方程，通常难以求出其解析解。一般情况下只能用数值方法求解。首先，构造一个适宜于数值解的迭代计算公式。为此，将上式展开,9.3 机械系统运动方程及其求解,（9.3-14）,9.3 机械系统运动方程及其求解,用差分代替微分代入式（9.3-14）得整理得,（9.3-15）,9.3 机械系统运动方程及其求解,采用式（9-15）进行迭代计算时，首先需选定初值，然后按一定的转角步长计算出一个运动循环中各等分点的i1，最后进行收敛判别，即应使终值n和初值相等。否则应重复选定重复上述运算，直至收敛。用数值解法求解机械运动方程时，通常都要构造一个迭代计算公式，迭代算式的不同，决定了其计算工作量以及计算结果的精度的不同。究竟选用何种方法，读者可参考有关的书籍。例如，用四阶龙格库塔法求解此类方程就可得到较高精度的数值解。,
