机械振动第4章连续系统.ppt

第4章 连续系统,振 动 理 论 及 其 应 用,4.1 引言,4.2 弦振动,4.3 杆的纵向振动,4.4 杆的扭转振动,4.5 梁的横向振动,4.6 薄板的横向振动,4.7 展开定理,4.8 瑞利商,4.9 响应分析,4.10 有限元法简介,第4章 连续系统 4.1 引言,力学模型的组成,连续系统的力学模型由具由分布质量、分布弹性和分布阻尼元件组成。,连续系统与离散系统的关系,连续系统,离散系统,简化、离散化,自由度n 趋向于无穷,连续系统与离散系统的区别,连续系统,离散系统,自由度,连续系统与离散系统是同一物理系统的两个数学模型。,描述系统的变量,有限个,无穷多个,时间,时间和空间位置,微分方程,二阶常微分方程组,偏微分方程组,方程消去时间变量后,代数方程组,微分方程的边值问题,第4章 连续系统 4.2 弦振动,振动微分方程 由离散系统方程导出,将连续的弦作离散系统考虑，即由无质量的弦联接n个离散的质量m i。每个质量上所受的力为F i,质量m i的受力分析如图。,对质量m i在y方向的受力和加速度运用牛顿第二定律：,或,由于弦两端固定，因此有,设,或,第4章 连续系统 4.2 弦振动,振动微分方程 由离散系统方程导出,或,或两边除以D xi,当质量数无穷多时，D xi趋近于零，方程可写成,其中，,由于用x替换了变量xi，因此对时间的全导数转换成偏导数，而增量比用对x的偏导数表示。,第4章 连续系统 4.2 弦振动,振动微分方程 从连续系统直接导出,设长度为L、两端固定的弦上受均布载荷f(x,t)，弦上x处的张力与单位长度质量密度分别为T(x)和r(x)。,根据牛顿定律，任一瞬时作用在微弦段上y 方向的力与微弦段的加速度有如下关系,质量为r A dx的微段dx，隔离体受力分析图,展开、消去相关的项、略去dx的二次项，然后两边除以dx 得,或,第4章 连续系统 4.2 弦振动,自由振动 特征值问题,方程,边界条件,用分离变量法，设：,代入方程：,两边同除以Y(x)r(x)F(t),上述方程两边分别依赖于变量x 和 t，因此两边都等于常数。设常数为-w 2：,第4章 连续系统 4.2 弦振动,自由振动 特征值问题,从关于时间的方程,从关于位置x 的方程可以确定位移的形状Y(x)，它必须在区间0 xL 满足方程及边界条件Y(0)=Y(L)=0。,解得 F(t),上式为包含未知常数w 2的二阶常微分齐次方程，非平凡解Y(x)存在，且解中有两个积分常数，而已知边界条件只有两个。,从方程可以看出，如果 Y(x)是偏微分方程的解，那么a Y(x)（a是任意常数）也是方程的解。,这意味着，求解满足边界条件的偏微分方程，就是要找到满足方程的未知常数w i 和对应的函数Y i(x)。与离散系统对应，w i 2称为特征值（即系统的固有圆频率平方），而Y i(x)称为特征函数（主振型）。,第4章 连续系统 4.2 弦振动,自由振动 特征值问题,同样地，与离散系统对应，若特征函数Y i(x)经正则化处理，则它们关于质量密度和张力正交：,对初始扰动的响应,与离散系统类似，利用正交的正则化特征函数集Y i(x)（i=1,2,）的线性组合，可以表示连续系统在初始扰动下的响应。,代入方程，两边左乘Y i(x)，并对整个区间 0,L 积分，利用特征函数的正交性：,解为,常数C i 和j i 由初始条件得到。,第4章 连续系统 4.2 弦振动,自由振动,例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。,解 由题意，系统的T 和r 为常数，因此系统满足如下方程：,其中：,且有,从方程可知Y(x)是x的简谐函数，一般可写,由边界条件Y(0)0 可得B=0,则,由边界条件Y(L)0 可得,由于A 不为零，必有,特征方程,特征值为,或,特征函数为,第4章 连续系统 4.2 弦振动,自由振动,例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。,特征函数为,正交性验证,由正则化要求,正则化的特征函数,第4章 连续系统 4.2 弦振动,自由振动,例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。,正交性验证,三角函数积化和差,积分,第4章 连续系统 4.2 弦振动,自由振动,例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。,正交性验证,三角函数积化和差,积分,第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动,振动微分方程 从连续系统直接导出,设长度为L、两端固定的杆上受均布轴向力f(x,t)，杆上x处的轴向刚度与单位长度质量分别为E A(x)和m(x)。,根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端的轴向内力与轴的应变成正比,取杆的微段dx，隔离体受力分析图,或,根据牛顿定律，任一瞬时作用在杆微段上的轴向力与杆微段的加速度有如下关系,第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动,自由振动 特征值问题,方程,边界条件,用分离变量法，设：,代入方程：,两边同除以U(x)m(x)F(t),上述方程两边分别依赖于变量x 和 t，因此两边都等于常数。设常数为-w 2：,第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动,自由振动 特征值问题,从关于时间的方程,从关于位置x 的方程可以确定位移的形状U(x)，它必须在区间0 xL 满足方程及边界条件U(0)=U(L)=0。,解得 F(t),与弦振动的特征值问题作比较,结论,只要把弦振动特征值问题中的Y(x)、T(x)和r(x)换作U(x)、EA(x)和m(x)就得到杆作纵向振动的特征值问题表达式。,第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动,自由振动 特征值问题,例 4.2 图示均匀杆两端固定，杆的拉伸刚度为常数，求解系统的特征值问题。,解 由题意，系统的EA 和m为常数，因此系统满足如下方程：,其中：,且有,从方程可知U(x)是x的简谐函数，一般可写,由边界条件U(0)0 可得b=0,则,由边界条件U(L)0 可得,由于a 不为零，必有,特征方程,特征值为,或,特征函数为,第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动,自由振动 特征值问题,例 4.3 图示均匀杆两端自由，杆的拉伸刚度为常数，求解系统的特征值问题。,解 由题意，系统的EA 和m为常数，因此系统满足如下方程：,其中：,且有,从方程可知U(x)是x的简谐函数，一般可写,由 x=0 处的边界条件可得a=0,则,由x=L 处的边界条件可得,由于b 不为零，必有,特征方程,特征值为,或,特征函数为,第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动,自由振动 特征值问题,例 4.4 图示一端固定，另一端自由均匀杆的拉伸刚度为常数，求解系统的特征值问题。,解 由题意，系统的EA 和m为常数，因此系统满足如下方程：,其中：,且有,从方程可知U(x)是x的简谐函数，一般可写,由边界条件U(0)0 可得b=0,则,由于a 不为零，必有,特征方程,特征值为,或,特征函数为,由x=L 处的边界条件可得,第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动,自由振动 特征值问题,讨论 作纵向振动杆的边界状况、频率方程和振型函数,边界状况,频率,振型函数,两端固定,两端自由,一端固定一端自由,第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动,自由振动 特征值问题,例 4.5 设图示推进轴系由长度为L、单位长度质量为m、拉伸刚度为EA的均匀杆和质量为M 的螺旋桨组成，轴系的一端由推力轴承固定，另一端自由。求解轴系作纵向振动时系统的特征值问题。,解 由题意，系统的EA 和m为常数，因此系统满足如下方程：,其中：,或,固定端的边界条件不变，U(0)0，而自由端有：,代入,整理得,第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动,自由振动 特征值问题,例 4.5 设图示推进轴系由长度为L、单位长度质量为m、拉伸刚度为EA的均匀杆和质量为M 的螺旋桨组成，轴系的一端由推力轴承固定，另一端自由。求解轴系作纵向振动时系统的特征值问题。,对于上述超越方程，只要给定系统参数，就能得到系统的特征值w i。,特征方程,由边界条件U(0)0 可得b=0,则,从方程可知U(x)是x的简谐函数，一般可写,边界条件,由x L 处的边界条件得,或,特征函数为U i 为,第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动,自由振动 特征值问题,讨论 作纵向振动杆边界条件的讨论,边界状况,左端,右端,固定,自由,带有弹簧k,带有集中质量M,第4章 连续系统 4.4 杆的扭转振动,振动微分方程 从连续系统直接导出,设长度为L、一端固定一端自由的杆上受均布外扭矩M(x,t)与轴的转角q 同向，杆的扭转刚度与单位长度转动惯量分别为G IP(x)和J(x)。,根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端的扭转内力矩之与轴的剪应变成正比,取杆的微段dx，隔离体受力分析图,或,根据动量矩定律，任一瞬时作用在杆微段上的内外力矩与杆微段的角加速度有如下关系,第4章 连续系统 4.4 杆的扭转振动,自由振动 特征值问题,方程,边界条件,用分离变量法，设：,代入方程：,两边同除以Q(x)J(x)F(t),上述方程两边分别依赖于变量x 和 t，因此两边都等于常数。设常数为-w 2：,第4章 连续系统 4.4 杆的扭转振动,自由振动 特征值问题,从关于时间的方程,从关于位置x 的方程可以确定位移的形状Q(x)，它必须在区间0 xL 满足方程及边界条件。,解得 F(t),与弦振动的特征值问题作比较,结论,只要把弦振动特征值问题中的Y(x)、T(x)和r(x)换作Q(x)、GIP(x)和J(x)就得到杆作纵向振动的特征值问题表达式。,第4章 连续系统 4.4 杆的扭转振动,自由振动 特征值问题,例 4.6 图示一端固定，另一端自由均匀杆的扭转刚度为常数，求解系统的特征值问题。,解 由题意，系统的GIP和J为常数，因此系统满足如下方程：,其中：,且有,从方程可知Q(x)是x的简谐函数，一般可写,由边界条件Q(0)0 可得b=0,则,由于a 不为零，必有,特征方程,特征值为,或,特征函数为,由x=L 处的边界条件可得,第4章 连续系统 4.4 杆的扭转振动,自由振动 特征值问题,例 4.7 设图示轴系由长度为L、单位长度转动惯量为J、扭转刚度为GIP的均匀杆和转动惯量为J1和J1的刚性薄圆盘组成，整个轴系在扭转角方向无约束。求解轴系作扭转振动时系统的特征值问题。,解 由题意，系统的GIP和J为常数，因此系统满足如下方程：,其中：,或,两边的边界条件为：,第4章 连续系统 4.4 杆的扭转振动,自由振动 特征值问题,代入,整理得,例 4.7,边界条件,利用,第4章 连续系统 4.4 杆的扭转振动,自由振动 特征值问题,例 4.7,分离变量后的方程,从方程可知Q(x)是x的简谐函数，一般可写,整理：,或：,频率方程：,设：,频率为：,振型为：,第4章 连续系统 4.4 杆的扭转振动,自由振动 特征值问题,例 4.7 讨论 1,频率为：,频率方程为：,即：,相当于两端自由的圆轴作自由振动。,振型为：,讨论 2 J 1和J2 很大,相当于忽略轴质量的两自由度系统的非零频率。,41 设图示轴系由长度为L、单位长度转动惯量为J、扭转刚度为GIP的均匀杆和转动惯量为J2的刚性薄圆盘组成，轴系一端固定。求解轴系作扭转振动时系统的特征值问题。,第4章 连续系统 习题,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,振动微分方程 从连续系统直接导出,设长度为L 的细长梁（梁的长度与截面高度比大于10）上受y方向的均布载荷f(x,t)，梁的弯曲刚度与单位长度质量分别为E I(x)和m(x)。,取梁的微段dx，作隔离体受力分析图,根据牛顿第二定律，任一瞬时作用在梁微段上的剪力和外力与梁微段的加速度有如下关系,根据梁微段的力矩平衡，有如下关系,当梁的截面尺寸与长度相比较小时，根据材料力学，梁的弯矩与变形的关系为,忽略dx的二次项：,代入上述力平衡方程，得,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,振动微分方程 从连续系统直接导出,把弯矩M与位移y 的关系代入方程，得,梁的横向振动在0至L的区间应满足上述Euler-Bernoulli梁方程（包含对位置的四阶导数），在边界应满足一定的边界条件。,常见的边界条件有：,固支,铰支,自由,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,振动微分方程 旋转惯量与剪切变形的影响,设长度为L 的等截面梁上受y方向的均布载荷f(x,t)，梁的弯曲刚度、剪切模量、截面积和质量密度分别为E I、G、A和r。,当梁被横截面细分成较短的部分时，旋转惯量与剪切变形对高频振型的影响必须考虑。取梁的微段dx，作隔离体受力分析图。,根据DAlembert原理，忽略dx的二次项有如下关系：,挠度曲线的斜率是剪力与弯矩共同作用的结果，即：,式中：,y为与截面形状有关的因子。,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,振动微分方程 旋转惯量与剪切变形的影响,将上述关系综合并整理得：,忽略剪切变形，得到仅考虑旋转惯量的方程：,系统作自由振动时：,Timoshenko梁振动方程,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,自由振动 特征值问题,对细长梁，方程为：,设：,两边同除以Y(x)m(x)F(t),上述方程两边分别依赖于变量x 和 t，因此两边都等于常数。设常数为-w 2：,特征值问题为：,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,自由振动 特征值问题,解：由题意特征值问题为：,例 4.8 图示均匀细长梁两端固定，其弯曲刚度EI为常数，求解系统的特征值问题。,其中，,方程的解有以下形式：,对固支的梁，边界条件有：,由四个边界条件得：,消去a、b、c、d、，可得：,特征方程,特征值由数值解获得,其中,特征函数为,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,自由振动 特征值问题,解：由题意特征值问题为：,例 4.9 图示均匀细长悬臂梁一端固定、一端自由，其弯曲刚度EI为常数，求解系统的特征值问题。,其中，,方程的解有以下形式：,对悬臂梁，边界条件有：,由x=0处的边界条件得：,则Y(x)可改写为：,由x=L处的边界条件得：,a和b有非零解的充要条件为：,整理得特征方程：,从数值解得到特征值：,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,自由振动 特征值问题,例 4.9 图示均匀悬臂梁一端固定、一端自由，其弯曲刚度EI为常数，求解系统的特征值问题。,特征向量为：,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,自由振动 特征值问题,解：由题意特征值问题为：,例 4.10 图示均匀细长梁两端铰支，其弯曲刚度EI为常数，求解系统的特征值问题。,其中，,方程的解有以下形式：,对铰支的梁，边界条件有：,由x=0处的边界条件得：,特征方程：,则,特征值为,正则化的特征函数为,由x=L处的边界条件得：,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,自由振动 特征值问题,均匀梁的频率方程、特征函数和特征值,边界条件,频率方程、特征函数,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,自由振动 特征值问题,均匀梁的频率方程、特征函数和特征值,边界条件,频率方程、特征函数,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,自由振动 特征值问题,均匀梁的频率方程、特征函数和特征值,边界条件,频率方程、特征函数,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,连续梁的振动,图示任意相邻两跨连续梁，假定每跨都有均布质量与刚度。对任意跨 i,可利用均匀铰支梁的解写出其振型函数：,其对位置的一阶和二阶导数为：,边界条件为：,由上述边界条件得：,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,连续梁的振动,得：,将其中如下的两式相加减并代入式,或,则,其中,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,将式 的下标增加1：,连续梁的振动,代入,得,或,由边界条件 和 得,第4章 连续系统 4.5 梁的横向振动,连续梁的振动,将式 的下标减1或加1，代入下式：,得到动力三弯矩方程：,当构件由相同的材料制成，且各跨截面积相等，则动力三弯矩方程可简化成：,