机械工程测试技术基础讲稿(第二部分).ppt

第二部分授课内容,瞬变信号与连续频谱(频谱密度函数）1.Fourier变换的定义 2.Fourier变换的性质 3.几种典型信号的频谱,例：求图1和图2周期方波的频谱。,解：对于图1的信号，其周期为，可得,图1,图2,进一步为：,同理可得图2信号的频谱表示式为：,图1信号的频谱,图2信号的频谱,两点重要的结论：,对 取极值，得频谱密度函数为：,即为x(t)的傅里叶正变换。,频谱密度函数的图示解释：,根据周期信号的复指数基展开，有,取,那么，得到傅里叶反变换为,因此，傅里叶变换对为,可记为,由于,，因而有,，上述傅里叶,变换对可表示为：,正变换,反变换,可记为,其中,是一个复数，可表示为：,存在以下关系,由于,对于实信号，有,因此，对于实信号幅频谱为偶函数，相频谱为奇函数。,傅里叶变换的存在的充分条件是在无限区间上绝对可积，即,但是，自从引入广义函数概念以后，在傅里叶变换中允许奇异函数（如冲击函数）存在，这样使许多并不绝对可积的函数（如阶跃函数、符号函数及周期函数等），其频谱函数有了确定的表示式。,例1 求矩形窗函数的频谱,解：,应用欧拉公式,幅频谱,相频谱,例2 求下列函数的频谱,1,t,x(t),0,解：,1/a,f,X(f),0,-1,f,0,例3 求符号函数的频谱,解：符号函数是例2当a 0时的极限状态，因此,问题：如何求得阶跃函数的频谱？,1）奇偶虚实性,若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数 若x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数 若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数 若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数,2）线性叠加性,如果,那么,因此，Fourier变换是一种线性变换。,证明：,3）对称性,如果,则有,IFT定义,互换t和f,用-t代t,这是傅里叶变换的定义，因此上述结论得到验证,即,对称性举例,利用该性质，可根据已知的傅里叶变换对推出未知的傅里叶变换对。,4)时间尺度改变特性,如果,则有,得证,证明,尺度改变性质举例,时间尺度改变特性，又称为时间展缩原理,a)k=1,b)k=0.5幅值增大频带变窄,c)k=2幅值减小频带变宽,5）时移和频移性质,如果,则有时移性质：,频移性质：,证明：,此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移一个常值时，频谱函数将乘因子，即只改变相频谱，不会改变幅频谱。,6）卷积性质（又称为褶积）,卷积定义：,运算步骤：,反褶，即,平移，即,相乘，即,积分，即,图形解释,信号,反褶,平移,相乘和积分,卷积结果,15/16,0,1,-1/2,2,3,卷积起到钝化作用；计算相当繁琐。,系统与信号的关系,对于一个线性系统，其系统函数为h(t)，那么，输入信号x(t)和输出信号y(t)之间存在一个卷积关系，即,h(t),x(t),y(t),卷积性质可表述为：（这个性质很重要）,卷积一般难于计算，应用傅里叶变换的性质，可以将之化为乘积，然后再做反变换。,卷积性质,7)微分与积分性质,同理,若,则,证明,即,微分性质,积分性质,傅里叶变换的主要性质,积 分,时 移,频域微分,尺度变换,时域微分,对称性,x1(t)x2(t),频域卷积,线性叠加,x1(t)x2(t),时域卷积,实奇函数,虚奇函数,共 轭,虚偶函数,虚偶函数,翻 转,虚奇函数,实奇函数,频 移,实偶函数,实偶函数,函数的奇偶虚实性,频 域,时 域,性 质,频 域,时 域,性 质,3.几种典型信号的频谱,3.1 单位脉冲函数(t)函数)的频谱 函数定义,其面积（强度）：,函数的采样性质,卷积性,函数与其它信号的卷积是卷积中最为简单的一类形式。把函数的卷积性质描述为：,函数与其它函数的卷积示例,函数的频谱,对(t)取傅里叶变换,频谱特点：,有无限宽广的频谱；在所有的频段上都是等强度的。,均匀谱白噪声,函数是偶函数,利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对,对称性,频移性质,时移性质,（各频率成分分别移相2ft0）,(tt0),(f)（单位脉冲谱线）,1（幅值为1的直流量）,1（均匀频谱密度函数）,(t)（单位瞬时脉冲）,频 域,时 域,常用的(t)函数的性质,3.2 正余弦函数的频谱密度函数,正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅氏变换。由欧拉公式知：,3.3 等间隔周期单位脉冲序列（梳状函数）的频谱,其中Ts为周期；n为整数。,周期单位脉冲序列（梳状函数）为周期函数。因此可以表示成傅氏级数,因为在（-Ts/2，Ts/2）区间内只有一个函数(t)，故,式中,从而,所以,作业：,P40:1-3;1-4;1-5;1-7;,The End,Bye-Bye!,