时域离散信号和离散傅里叶变换.ppt

第2章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,例 2.2.1 设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT,解：,(2.2.5),设N=4，幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。,图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线,2.2.2 序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性,M为整数,是的周期函数，周期是2,2.线性,那么,设,式中a,b为常数 3.时移与频移 设X(e j)=FTx(n)，那么,(2.2.7),(2.2.8),(2.2.9),结论：共轭对称序列的实部是偶对称序列(偶函数)而虚部是奇对称序列(奇函数),结论：共轭反对称序列的实部是奇对称序列(奇函数)而虚部是偶对称序列(偶函数),任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,例 2.2.2 试分析x(n)=e jn的对称性 解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=e jn 因此x(n)=x*(-n)，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到 x(n)=cosn+j sinn 由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。,例 2.2.3 x(n)=anu(n);0a1;求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。解：x(n)=xe(n)+xo(n)得到,同样得到:,2.3 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换表示式,例 2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进 行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求 的DFS。解：,其幅度特性 如图2.3.1(b)所示。,图 2.3.1 例2.3.1图,表 2.3.2 基本序列的傅里叶变换,例 2.3.2求例2.3.1中周期序列的FT。解：将例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到,其幅频特性如图2.3.3所示。,图 2.3.3 例2.3.2图,对比图2.3.1，对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。,序列的Z变换,2.收敛充要条件：X(z)绝对可和,（二）收敛域Roc与零极点,1.定义:使X(z)收敛的所有z值集合称作X(z)的收敛域,例 2.5.1 x(n)=u(n)，求其Z变换。解：X(z)存在的条件是|z-1|1，,|z|1,由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用上式求FT。该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换可以表示出来。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。,其收敛域应包括即充满整个Z平面。,例1：求序列 的Z变换及收敛域。,解：这相当 n1=n2=0 时的有限长序列,例 2.5.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：,在收敛域中必须满足|az-1|a|。,例 2.5.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。,X(z)存在要求|a-1 z|1，即收敛域为|z|a|,例 2.5.5 x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：,第一部分收敛域为|az|a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变换如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图2.5.2所示。,图 2.5.2 例2.5.5图,z变换X(z)及其ROC才能唯一确定一个序列ROC内不能有极点，故：右边序列z变换ROC一定在模最大极点所在圆外左边序列z变换ROC一定在模最小极点所在圆内,结 论,Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系,序列的z变换：,连时间信号的Laplace变换：,连续时间信号的Fourier变换：,序列的Fourier变换：,1、z变换 Vs 理想抽样信号的拉氏变换,理想抽样信号：,其Laplace变换：,其z变换：,结论,z平面：（极坐标）,即：,讨论：复s平面到z平面的映射,抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换,s平面到z平面的映射是多值映射,:,:,:,:,2、z变换 Vs 理想抽样信号的傅氏变换,抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的Fourier变换,Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。,即:s=j,映射到z平面为单位圆,序列的Fourier变换=单位圆上的z变换,2.5.3 逆Z变换 已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为逆Z变换。序列的Z变换及共逆Z变换表示如下：,(2.5.5),1.用留数定理求逆Z变换,例 2.5.7已知，求其逆变换x(n)。解：该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图2.5.5所示。图中有二个极点z=a和z=a-1，这样收敛域有三种选法，它们是(1)|z|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|z|z-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z|a|，对应的x(n)是左序列。,图 2.5.5 例2.5.7 X(z)极点分布图,下面按照收敛域的不同求其x(n)。(1)收敛域|z|a-1|,种收敛域是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此,最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收敛域|z|a|这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和,最后将x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域|a|z|a-1|这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两情况分别求x(n)。n0时，c内极点z=a x(n)=ResF(z),a=an,n0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此 x(n)=-ResF(z),a-1=a-n 最后将x(n)表示为 an n0 x(n)=x(n)=a|n|a-n n0,例 2.5.9 已知求 其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数,2.幂级数法(长除法),3.部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成正式,观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。,(2.5.11),(2.5.12),(2.5.13),(2.5.14),求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。,例2.5.10已知，求逆Z变换。,解,因为收敛域为22。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1得到 x(n)=anu(n)+(-3)nu(-n-1)一些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。,表2.5.1 常见序列Z变换,2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,例2.6.1已知 分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1。(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，这是一个非因果且不收敛的序列。,(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。,图2.6.1 例2.6.1图示,