方阵的特征值、特征向量与相似化简.ppt

线性代数 第五章,第五章 方阵的特征值、特征向量与相似化简,本章教学内容1 数域 多项式的根2 方阵的特征值与特征向量3 方阵相似于对角矩阵的条件4 正交矩阵5 实对称矩阵的相似对角化*6Jordan标准形简介,1 数域 多项式的根,本节教学内容1.数域的概念2.多项式的根与标准分解式,1 数域 多项式的根,1.数域的概念定义1.1 设F 是一个数集，F 中至少包含两个不同的数，如果F 中任意两个数的和、差、积、商(当除数不为零时)仍是F 中的数，则称F 是一个数域。注 数域对数的四则运算(除数不为零)封闭。数域F 必包含0和1两个数。证 依定义有,1 数域 多项式的根,有理数集Q是一个数域，称有理数域；实数集R是一个数域，称实数域；复数集C是一个数域，称复数域。若F 是数域，则F Q，即有理数域是最小的数域。证,1 数域 多项式的根,例3答 是。证,1 数域 多项式的根,2.多项式的根与标准分解式定义1.2 对于非负整数n及数域F 上的数ai,(i=0,1,2,n)，未定元x的形式表达式称为数域F上的一个一元多项式.当an0时，称(x)为一个一元n次多项式.非零数an称为(x)的首项系数，a0称为常数项.系数全为零的多项式称为零多项式，通常零多项式不定义次数，如果为了方便，也可认为它的次数为-.,1 数域 多项式的根,定义1.3 对于正整数n，一元n次多项式(x)对应的方程(x)=0称为代数方程，方程(x)=0的根称为(x)的根或零点.方程(x)=0重复出现的根称为方程(或多项式(x)的重根，其重复出现的次数称为该重根的重数，重数为1的根称为单根.例1例2,1 数域 多项式的根,关于代数方程及多项式，有下列结论定理1.1 复数域上，n次代数方程恰有n个根(k重根算k个，n1).推论 n次(n1)多项式在复数域上恰有n个根(k重根算k个).定理1.2 若n次多项式(x)全部互异的根为x1,x2,xt，它们的重数分别为n1,n2,nt，则有(an0,n1+n2+nt=n)上式右端称为(x)在复数域上的标准分解式。,1 数域 多项式的根,例3 下列哪些是复数域上的标准分解(1)(2)(3)(4),是,是,不是,不是,1 数域 多项式的根,例4 复数域上，将多项式标准分解。解 根据根与系数的关系，(x)的有理根必是2的约数，即可能是1,-1,2,-2,1 数域 多项式的根,本节学习要求1.理解数域的概念，2.理解多项式、多项式的根与多项式的标准分解式的概念。作业：习题5.1(A)第3题,2 方阵的特征值与特征向量,本节教学内容1.方阵的特征值2.方阵的特征向量3.方阵的特征值与特征向量的问题,2 方阵的特征值与特征向量,1.方阵的特征值定义2.2 对于n阶方阵A=(aij)，把含有字母的矩阵称为A的特征矩阵，多项式()=E-A 称为A的特征多项式,()的根称为A的特征根或特征值.()的单(重)根称为A的单(重)特征值.,2 方阵的特征值与特征向量,方阵的特征值具有下列性质定理2.1 n阶方阵A=(aij)的特征多项式 记,称为A的迹(定义2.1),2 方阵的特征值与特征向量,证()的n次项及n-1次项必来自均部项故()的n次项系数为1,()的n-1次项系数为()的常数项为,2 方阵的特征值与特征向量,定理2.2 设n阶方阵A的特征值为则证 由定理2.1知A的特征多项式推论 方阵A可逆 A的特征值都不为零。,2 方阵的特征值与特征向量,2.方阵的特征向量定义2.3 设0是n阶方阵A的一个特征值，若n维非零(列)向量满足A=0，则称为A的对应于 0的一个特征向量。定理2.3 设A为n阶方阵,若数 0与n维非零(列)向量 满足A=0，则 0为A的特征值，为A的对应于 0的特征向量。证,#,2 方阵的特征值与特征向量,3.方阵的特征值与特征向量的问题,2 方阵的特征值与特征向量,例2.2 在实数域上求矩阵的特征值与特征向量。解,2 方阵的特征值与特征向量,对于1,2=2，解方程组(2E-A)X=0得基础解系 对于3=-4，解方程组(-4E-A)X=0得基础解系,2 方阵的特征值与特征向量,例2.3 在实数域上求矩阵的特征值与特征向量。解,2 方阵的特征值与特征向量,对于1=2，解方程组(2E-B)X=0得基础解系 对于2,3=1，解方程组(E-B)X=0得基础解系,2 方阵的特征值与特征向量,例2.4 设矩阵A满足A2=A(这样的矩阵叫做幂等矩阵)，证明A 的特征值只能是0或者1.证,2 方阵的特征值与特征向量,例2.5 设矩阵A可逆，0为A 的特征值，为A的对应于 0的特征向量，证明:证,2 方阵的特征值与特征向量,本节学习要求理解方阵的特征值、特征多项式及特征向量的概念，熟悉特征值的性质，会求方阵的特征值与特征向量，会论证特征值与特征向量有关的问题。作业：习题5.2(A)第1(1)(3),3,8题,3 方阵相似于对角矩阵的条件,本节教学内容1.相似矩阵及其性质2.方阵的相似对角化,3 方阵相似于对角矩阵的条件,1.相似矩阵及其性质定义3.1 设A,B是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称A与B相似(或A相似于B)。记作AB 运算P-1AP称为对A作相似变换，P称为相似因子或相似变换矩阵.注 矩阵的相似关系是同阶方阵间的一种关系.,3 方阵相似于对角矩阵的条件,相似矩阵具有基本性质证,(反身性),(对称性),(传递性),3 方阵相似于对角矩阵的条件,性质1 若AB，则R(A)=R(B).证 若AB，则存在可逆矩阵P，使根据第三章推论3.2知R(A)=R(P-1AP)=R(B).性质2 若AB，则A=B.证 若AB，则存在可逆矩阵P，使性质3 若AB，则ATBT.证 若AB，则存在可逆矩阵P，使,3 方阵相似于对角矩阵的条件,性质4 若AB且A可逆，则B可逆且A-1B-1.证若AB且A可逆，则由性质2知B=A 0，所有B可逆；AB，则存在可逆矩阵P，使#,3 方阵相似于对角矩阵的条件,性质5 若AB,则对任意多项式(x)有(A)(B)证 若AB，则存在可逆矩阵P，使,3 方阵相似于对角矩阵的条件,性质6 若AB，则A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，trA=trB.证从而A与B有相同的特征值，trA=trB.#注：性质6的逆不成立。,3 方阵相似于对角矩阵的条件,2.方阵的相似对角化所谓方阵的相似对角化，指 求一个相似变换矩阵P，使P-1AP=对角阵.能与对角矩阵相似的方阵称为可对角化。问题：方阵的对角化有何意义？方阵A在何条件下可对角化？如何将方阵的对角化？首先，若P-1AP=(对角阵)，则An=PnP-1,易求得An。下面讨论后两个问题。,3 方阵相似于对角矩阵的条件,定理3.1 n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。证(必要性)设n阶矩阵A能与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使P-1AP=，即AP=P，,3 方阵相似于对角矩阵的条件,(充分性)注：上述证明过程可见将方阵A对角化的方法.,3 方阵相似于对角矩阵的条件,将方阵A对角化的方法 求A的特征值：1,2,n,求A的对应于1,2,n的线性无关的特征向量1,2,n,设P=(1,2,n)，则,3 方阵相似于对角矩阵的条件,例3.1 已知解,3 方阵相似于对角矩阵的条件,令问题 任意求得的特征向量都线性无关吗？任意n阶方阵都有n个线性无关的特征向量吗？,3 方阵相似于对角矩阵的条件,定理3.2 设i是A的ni重特征根，那么A对应于i的特征向量中，线性无关的特征向量最多有ni个.(证:略)定理3.3 设1,2,s是n阶方阵A的互异特征值，(证:略),3 方阵相似于对角矩阵的条件,注:设1,2,s是n阶方阵A的全部互异特征值，i是A的ns重特征根(ni称为的代数重数)(i=,2,s),n1+n2+ns=n，A的对应于i的特征向量的极大线性无关组(即方程组(iE-A)x=0的基础解系)为则是A的全部特征向量的一个极大无关组，称为A的一个特征向量系，其向量个数p=p1+p2+ps n,当p=n时，A的特征向量系是完全的，否则是不完全的。A可相似对角化 p=n.即,(pi称为i的几何重数),3 方阵相似于对角矩阵的条件,定理4 数域P上n阶方阵A可与对角阵相似 A在P上有n个特征值（重根按重数计算）；A在P上的每一个特征值的几何重数等于的代数重数。推论1 若n级方阵A有n个互异的特征值，则A可与对角阵相似.(其逆不成立)(定理3.4)推论2 若n级方阵A的特征多项式在复数域C上无重根，则A在C上可与对角阵相似.(其逆不成立),3 方阵相似于对角矩阵的条件,本节学习要求理解相似矩阵的概念，熟悉相似矩阵的性质，熟悉方阵的相似对角化的条件，会将方阵相似对角化。会用相似矩阵的性质解决有关的问题。作业：习题5.3(A)第2,4,6题,4 正交矩阵,本节教学内容1.实向量的内积与长度2.正交向量组3.正交矩阵与正交变换4.共轭矩阵*5.H-矩阵与酉矩阵,4 正交矩阵,1.实向量的内积与长度定义4.1设=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)TRn,的内积：(,)=T=a1b1+a2b2+anbn 若,为n维行向量，则(,)=T性质 设,Rn，kR，则(,)=(,)(k,)=k(,)(+,)=(,)+(,),(,)0,(,)=0=0,4 正交矩阵,定义4.2=(a1,a2,an)T(Rn)的长度(范数)：性质 设,Rn，kR，则 0,=0=0 k=k+(三角不等式)定义 若=1,称为单位向量。性质 若0，则记 由(0)得到e，称将单位化.,是与同向的单位向量,4 正交矩阵,例1 设=(1,1,1,-1)T,=(1,-1,1,1)T，则(,)=-=-e=-,0,2,4 正交矩阵,2.正交向量组定义4.3 若(,)=0,则称与正交(或垂直).注：任意实向量都与零向量正交.定义4.4 如果一组非零向量两两正交，则称这组向量为正交向量组，简称正交组.例2 问1=(1,0,1)T,2=(1,0,-1)T,3=(0,1,0)T是不是正交组？答：是.,4 正交矩阵,定理4.5 正交向量组必是线性无关组.证注：定理的逆不成立。,4 正交矩阵,定义4.5 由单位向量构成的正交向量组称单位正交向量组，简称单位正交组(或标准正交组，规范正交组).特征：特例：问题：,4 正交矩阵,Schmide单位正交化方法正交化：单位化：,4 正交矩阵,例4.3 将下列向量组单位正交化解正交化,4 正交矩阵,单位化,4 正交矩阵,3.正交矩阵与正交变换定义4.6如果n阶实方阵A的列向量组是单位正交向量组，则称A为正交矩阵.定理4.2 n阶实矩阵A为正交矩阵 ATA=E.证,4 正交矩阵,推论4.1 n阶实矩阵A为正交矩阵 A-1=AT.性质1 A为正交矩阵-A为正交矩阵 性质2 A为正交矩阵 AT(=A-1)为正交矩阵性质3 A,B为同阶正交矩阵 AB为正交矩阵性质4 A为正交矩阵 A=1或A=-1(逆不成立)注：上述性质根据定理4.2易证成立。定义4.7 对n阶实矩阵A作相似变换Q-1AQ，若Q为正交矩阵，则变换Q-1AQ称为对A的正交变换.注：正交变换Q-1AQ可表示为QTAQ.,4 正交矩阵,4.共轭矩阵定义4.8 称为A的共轭矩阵，性质1性质3 性质4性质6性质7注性质1-6依共轭复数性质可证,性质4推出性质7.,性质2,性质5,4 正交矩阵,本节学习要求1.理解实向量的内积与长度、正交向量组、正交矩阵与正交变换和共轭矩阵等概念；2.熟悉向量的内积与长度、正交矩阵和共轭矩阵的性质，掌握其证明方法；3.掌握Schmide单位正交化方法。作业：习题5.4(A)第5,8,9题,5 实对称矩阵的相似对角化,本节教学内容1.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质2.用正交变换实现对实对称矩阵的相似对角化,5 实对称矩阵的相似对角化,1.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质定理5.1 实对称矩阵的所有特征值都是实数.证 设是实对称矩阵A的特征值，是A的对应于的特征向量，即A=,5 实对称矩阵的相似对角化,推论 实对称矩阵A的特征向量是实向量。证 因实对称矩阵A的对应于特征值的特征向量是实齐次线性方程组的解向量，在实数范围内求解，其解是实向量。,5 实对称矩阵的相似对角化,定理5.2 实对称矩阵对应于不同的特征值的特征向量正交.证 设1,2是实对称矩阵A的不同特征值，i是A的对应于 i的特征向量，即A i=i，i=1,2，则,5 实对称矩阵的相似对角化,2.用正交变换实现对实对称矩阵的相似对角化定理3 对于n阶实对称矩阵A,必有正交矩阵Q，使注：定理的证明课外阅读.,5 实对称矩阵的相似对角化,用正交变换对实对称矩阵A相似对角化的方法 求A的特征值：1,2,n,求A的对应于1,2,n的线性无关的特征向量1,2,n,正交单位化1,2,n,得单位正交向量组1,2,n,设Q=(1,2,n)，则Q是正交矩阵，,5 实对称矩阵的相似对角化,例5.1设实对称矩阵求正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵.解,5 实对称矩阵的相似对角化,则,5 实对称矩阵的相似对角化,有,5 实对称矩阵的相似对角化,例5.2设实对称矩阵求正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵.解,5 实对称矩阵的相似对角化,单位化得,5 实对称矩阵的相似对角化,Q是正交矩阵,且有,5 实对称矩阵的相似对角化,注:若取Q也是正交矩阵,且有,5 实对称矩阵的相似对角化,本节学习要求1.熟悉实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.2.掌握用正交变换对实对称矩阵的相似对角化的方法.作业：习题5.5(A)第1(1),2题,