数控技术-几何参数描述.ppt
第三章 数控加工中的几何建模理论第一节 概述数控系统中对数学的应用从初等数学到运算微积分，乃至计算几何，涉及范围很广。一般机器设备大多为规则形体，如直线、平面、圆、椭圆、球、椭球、螺旋线、螺旋面、渐开线、螺旋渐开面、双曲面等，可用数学解析式表示。飞机、汽车、船体外形、飞机机翼、汽轮机叶片等形体无法用数学解析式表示。要实现这一类自由曲面的数控加工，必须建立符合精度要求的复杂曲线和曲面的数学模式。,所谓复杂曲线和曲面，是指形状比较复杂，不能用二次方程描述的曲线和曲面，一般称为自由曲线和曲面。复杂曲线和曲面常用一定数量的离散点来描述，这就需要用数学方法构造出能完全通过，或比较接近给定点的曲线和曲面，再计算并拟合曲线或曲面上型值点之间的若干点。现代数控加工理论涉及的曲线和曲面基础包括：曲线和曲面的参数描述；曲线和曲面的刀具轨迹生成；曲线和曲面的几何处理（求交、等距和过渡）等内容。,为了控制数控机床工作部件的运动（或者数控机械的运动），需要计算构成零件图样的几何要素-基点和节点。基点-对应简单图形，即构成零件图样的一系列线段的切点和交点。直线与直线、直线与圆弧、圆弧与圆弧。节点-对应非圆、非直线的复杂图形：有些为规则图形，能够用方程表达：-在数控加工中需要用一系列直线或者圆弧去逼近，这些逼近线段的交点称为节点。有些轮廓，在图纸上给出的是一组型值点，而零件要求通过这些型值点作一条光滑的曲线或曲面-曲线获曲面拟合-求出。再根据所作曲线求插补点，以便在数控机床上加工。,型值点:通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或曲面几何形状的数据点。,一、圆弧样条,圆弧样条就是用圆弧这一最简单的二次多项式模拟样条，分段组成一阶导数连续函数。圆弧样条是我国在1977年创造的一种拟合方法，在具有圆弧插补功能的数控系统中，采用圆弧样条可以直接输出圆弧信息，避免了用其他拟合方法还需进行二次逼近处理的过程，减少了误差环节。,圆弧样条的构造方法,圆弧样条是已知型值点Pi（xi,yi）(i=1,2,.,n),过每一个Pi点作一段圆弧，且使相邻圆弧在相邻节点（如Pi和Pi+1）的弦平分线上相交并相切，则使整条曲线在各连接点处达到位置和切线的连续。如图所示，圆弧段分别过点P1,P2,.,Pn-1,Pn，过点P1及P2的两段圆弧在P1P2弦平分线上相交并相切。这就是圆弧样条的构造方法。,（一）圆弧样条的基本算法对于给定的N+1个型值点,建立N个局部坐标系，其中第i个坐标系以Pi-1和Pi所在的直线为横轴Ui，过点且垂直于的直线为纵轴Vi，从图中可以看出过Pi点的圆弧的线与弦线的夹角满足,i,i,Pi,Pi-1,Pi+1,Ui,Vi,弦切角按图中规定的符号，而过Pi点的两弦之间的夹角由型值点坐标计算,1、公切点的位置若给定或角，可以证明公切点有无穷多个，且其轨迹是一段圆弧，当公切点取在相邻型值点Pi-1Pi的中垂线上时，计算简单且各段圆弧较均匀。如图所示，公切点T局部坐标系的坐标为,2、圆心及半径过型值点Pi-1、Pi及公切点T分别作圆弧，弦切角分别为i-1、i，Pi点的左边和 Pi-1点的右边圆弧的圆心、曲率及半径分别为：，,(二)各型值点处的弦切角以上所求公切点、圆心坐标和圆半径都是以型值点处的弦切角为参数，下面确定各型值点处的弦切角。根据圆弧样条的定义有,对上式进行恒等变换，可得,（i=1,2,.,N-1）,其中：,上式中有N-1个方程，却有N+1个未知数，因此需要根据端点边界条件补充两个方程，才能完全确定方程的解。,（三）端点条件给定两端点处的曲率，可得到两个补充方程,(四)圆弧样条的适用性和修正方法,圆弧样条拟合时，规定过每一型值点Pi（i=0,1,.,n）作一段圆弧。当曲线转折较大时，如果型值点给得较稀，可能出现型值点处曲率变号情况，这时拟合出的曲线可能出现拐点。为了防止这一现象，通常限制 和 的比值若超出此范围，则可在Pi和Pi+1点之间加密一个点。补加点可取在Pi、Pi+1处弦切角 和 组成的三角形内心上，也可取在PiPi+1的中垂线上。插入补加点后，要重排点的次序，重新进行计算。下面是补加点在中垂线上时的计算过程。,如图所示，在局部坐标系中，补加点 的坐标为 设PiPi+1与参考坐标系中x轴的夹角为 时，有,在参考坐标系中，补加点 的坐标为,二、三次参数样条,这一拟合方法是在给定的每两相邻值点间建立局部坐标系内的三次曲线方程，通过迭代使每两个中间型值点左右两端曲线达到位置及切线连续，且曲线通过型值点。这样求出来的曲线连续且与实际要求的曲线误差较小。,（一）三次参数样条曲线方程已知两端点的坐标和切矢则可找到一条满足上述条件的三次参数样条曲线,其中,t是表示曲线始点与曲线段上任意点之间的弦长，t（0，1）。上式称为三次参数样条曲线的矢量方程。,将上式展开为代数式为：,其中，Bci(t)称为三次参数样条曲线的基函数或合成函数。,（二）两段曲线光滑连续的条件只要给出各型值点的坐标和两端点的切矢值，就可以根据曲线光滑连续条件构造出通过各型值点的光滑连续曲线，中间的各连接点的切矢可用下述方法由型值点的坐标确定。设有通过P1、P2和P2、P3的两段曲线P1(t)、P2(t),使两段曲线在P2点处光滑连续，即,p1,p3,p2,P1（t1）,P2（t2）,将上式推广,上式中n-2个方程，有n个型值点的切矢量未知，需要增加2个端点条件,（三）端点条件（1）夹持端直接给出两端点的切矢P1和Pn。（2）自由端由于自由端曲率为零，即二阶导数为零，由此可得,（四）三次参数样条曲线的特点以弦长t为参数的三次参数样条曲线可以通过所以型值点，插值效果好，且计算可靠，应用较广。美国波音公司的FMILL系统（曲面加工软件，用来生成曲面铣切加工的走刀轨迹）就是以三次参数样条曲线为基础研制的。,三、Bezier曲线,Bezier曲线是工程设计和机械制造中常用的一种曲线，由法国雷诺汽车公司的工程师Bezier提出，故称为Bezier曲线。Bezier曲线由在曲线上的两个端点和若干个不在曲线上但能够决定曲线形状的点构确定，是一种以逼近为基础的曲线。,P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。,系数Bi(t)称为Bezier曲线的基函数，从上式可知Bezier曲线通过首末两顶点，另外，从上式可求的过两端点的切矢：,（二）Bezier曲线连续条件第一段曲线终点切矢方向为p3p4，第二段曲线起点切矢方向为p4p5。只要保证二者共线即可保证两段曲线光滑连续。,（三）Bezier曲线的特点与应用,1)凸包性 Bezier曲线位于各型值点构成的凸多边形内。2)两端特性Bezier曲线通过给定型值点的首末两端点。3)Bezier曲线直观性好，改变少数型值点可改变曲线的局部形状。法国雷诺汽车公司以此种曲线为基础，开发了用于车身设计的自由曲线曲面造型系统UNISURF。,
