数学选修2-2数系的扩充和复数的引入.ppt

第三章 阶段复习课,一、数系的扩充和复数的概念1.复数的概念形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，通常记为z=a+bi(复数的代数形式)，其中i叫虚数单位(i2=-1)，a叫实部，b叫虚部，数集C=a+bi|a,bR叫做复数集.,2.复数的分类(1)(2)集合表示:,3.复数相等的充要条件a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d(a,b,c,dR).4.复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数.,5.复数的几何意义(1)复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b)(a,bR);(2)复数z=a+bi 平面向量(a,bR).6.复数的模向量 的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=r=(r0,rR，a,bR).,【辨析】复数、复平面内的点、复平面内的向量 任意一个复数都可以由它的实部和虚部唯一确定，当把实部、虚部看成有序数对时就对应复平面内的一个点，每一个点都对应一个以原点为起点，以该点为终点的向量，所以复数、复平面内的点、复平面内的向量是统一的.,二、复数代数形式的四则运算1.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则,(2)对复数运算法则的认识.复数代数形式的加减运算，其运算法则是对它们的实部与虚部分别进行加减运算，在运算过程中应注意分清每一个复数的实部与虚部.复数加法法则的合理性:()当b=0,d=0时，与实数加法法则一致.()加法交换律和结合律在复数集中仍成立.()符合向量加法的平行四边形法则.,(3)复数满足的运算律:复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3C，有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,(4)复数加减法的几何意义.复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法则).复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.,2几个重要的结论(1)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).(2)z=|z|2=|2.(3)若z为虚数，则|z|2z2.(4)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,nN*.,3.共轭复数的性质复数z=a+bi的共轭复数=a-bi.(1)z R.(2)=z.(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z=则z是实数.(4)共轭复数对应的点关于实轴对称.4.巧用向量解复数问题复数的加减运算可转化为向量的加减运算.,请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络吧.,一、复数的概念与分类 形如a+bi(a,bR)的数，称为复数，所有复数构成的集合称复数集，通常用C来表示.设z=a+bi(a,bR)，则(1)z是虚数b0；(2)z是纯虚数；(3)z是实数b=0.,【例1】(2012无锡高二检测)已知复数z=m(m+1)+mi,i为虚数单位，mR.(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；(2)当复数z在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时，求m的值；(3)若(1+i)z=1+3i，求|z|.,【解析】(1)由题意得 m=-1，当m=-1时，z是纯虚数.(2)由题意得m2+m=-m，解得m=0或m=-2.(3)(1+i)z=1+3i,|(1+i)z|=|1+3i|,|z|=|z|=,二、复数的四则运算 复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实部、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分母有理化,要注意i2=-1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1，(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,=i.,【例2】计算:(1)(2)【解析】(1)原式=(2)原式,【例3】已知复数z zai(aR)，当|时，求a的取值范围,【解析】zai1iai1(a1)i,a22a20，1 a1故a的取值范围是1 1,三、复数的几何意义及数形结合思想的应用 复数z=a+bi(a,bR)和复平面上的点Z(a,b)一一对应，和向量 一一对应，复数z对应的点所在象限由z的实部和虚部的符号确定，正确的求出复数的实部和虚部，是解决此类问题的关键.复数的几何意义为数形结合解决复数问题提供了条件，灵活运用数形结合思想可达到事半功倍的效果.运用数形结合的思想,挖掘题目中知识的多功能因素,使问题出奇制胜地得到解决.,【例4】已知复数z满足z-3-4i=2，则z的最大值为_.【解析】z-3-4i=2表示复平面内动点Z的轨迹是以点(3，4)为圆心，以2为半径的圆，所以zmax=5+2=7.答案：7,【例5】已知z是复数，z+2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【解析】设z=x+yi(x,yR)，则z+2i=x+(y+2)i,由题意知 z=4-2i.,(z+ai)2=4+(a-2)i2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由已知得 2a6，实数a的取值范围是(2,6).,四、复数的模与共轭复数 若z=a+bi(a,bR),则=a-bi称为z的共轭复数，复数的模与复数的代数形式紧密相关，复数模的计算也可以转化为复数的乘积，即：z=|z|2.,【例6】使复数为实数的充分而不必要条件是()(A)z=(B)|z|=z(C)z2为实数(D)z+为实数【解析】选B.z=zR；|z|=zzR，反之不行，如z=-2；z2为实数不能推出zR，如z=i；对于任意z，z+都是实数.,【例7】已知 z2=(x2+a)i，对于任意xR，均有|z1|z2|成立，试求实数a的取值范围【解析】|z1|z2|，x4+x2+1(x2+a)2，(1-2a)x2+(1-a2)0对xR恒成立当1-2a=0，即a=时，不等式成立；当1-2a0时，-1a综上，a(-1,五、复数中的轨迹问题 通过引入参变量架起已知通向未知的桥梁,这样,把问题转化为对参变量的讨论.这种方法运用的巧妙,可以达到化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为已知的效果.,【例8】已知复数z11,且 是纯虚数，复数求复数z在复平面内对应的点的轨迹.【解析】设=bi(bR,b0),则z1=-1，z=(1-bi)2=1-b2-2bi.设z=x+yi(x,yR),得 消去b得，y2=-4(x-1)(x1),即复数z对应的点的轨迹为抛物线(除去顶点).,【例9】已知z=t+3+3 i，其中tC，且 为纯虚数(1)求t的对应点的轨迹；(2)求|z|的最大值和最小值,【解析】(1)设t=x+yi(x,yR)，则 为纯虚数，即t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去(-3,0)(3,0)两点.,(2)由t的轨迹可知，|t|=3，|z-(3+3 i)|=3，圆心对应3+3 i，半径为3，|z|的最大值为|3+3 i|+3=9，|z|的最小值为|3+3 i|-3=3,1.(2012浙江高考)已知i是虚数单位,则=()(A)1-2i(B)2-i(C)2+i(D)1+2i【解析】选D.,2.已知|z|3，且z3i是纯虚数，则z()(A)3i(B)3i(C)3i(D)4i【解析】选B.令zabi(a，bR)，则a2b29,又z3ia(3b)i是纯虚数，由得a0，b3，z3i，故应选B.,3.复数zxyi(x，yR)满足|z4i|z2|，则2x4y的最小值为()(A)2(B)4(C)4(D)8【解析】选C.|z4i|z2|，且zxyi,|x(y4)i|x2yi|,x2(y4)2(x2)2y2,x2y3，2x4y22y34y8 4y,4.满足条件|z+i|+|zi|=4的复数z在复平面上对应点的轨迹是()(A)一条直线(B)两条直线(C)圆(D)椭圆【解析】选D.复数z在复平面上对应点到定点(0,1)，(0，-1)的距离之和为定值4，故对应点的轨迹是椭圆.,5.(2012东城高二检测)若复数(1+ai)(2+i)=3-i，则实数a的值为_.【解析】(1+ai)(2+i)=3-i,(2-a)+(2a+1)i=3-i,a=-1.答案：-1,6.已知复数(x-2)+yi(x,yR)的模为 求 的最大值【解析】|x-2+yi|=(x-2)2+y2=3，故(x,y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x,y)与点(-1,-1)连线的斜率如图，由平面几何知识，易知 的最大值为,