数学教学论(4-7章).ppt

数学教学论,河南教育学院学院数学系E-mail:,学习内容,绪论第一章 数学课程的基本理论第二章 数学学习的基本理论第三章 数学思维与数学学习第四章 数学教学的基本理论第五章 中学数学教学方法第六章 中学数学基础知识教学、基本能力培养第七章 中学数学教学工作,第四章 数学教学的基本理论,主要内容 1.中学数学教学目的。2.中学数学教学原则。关键词 目标，目的，数学教学目的，教学规律，教学原则，数学教学原则,4.1 中学数学教学目的,确定中学数学教学目的的依据,1依据党的教育总方针、普通中学的性质和任务、基础教育培养目标教育方针“德、智、体”；“四有新人”；“三个面向”。在政治思想、文化科学知识、能力等方面提出了要求。具有鲜明的时代特色。普通中学的性质与任务：性质基础教育，是帮助受教育者打下文化基础和做好生活准备的教育。任务为高一级学校输送合格新生，为四化建设培养优良的劳动后备力量（双重性）。,基础教育的培养目标：“使学生热爱社会主义，具有爱国主义精神、良好的道德行为规范，立志为人民服务。要使学生学好文化科学基础知识和基本技能，培养能力，发展智力；要使学生身心得到正常的发展，具有健康的体质；还要使学生有一定的审美能力，并初步掌握一些劳动技能、职业技术技能。”,确定中学数学教学目的的依据,确定中学数学教学目的的依据,2.确定中学数学教学目的要考虑数学的特点数学的特点:(1)高度的抽象性;(2)逻辑的严谨性;(3)应用的广泛性;(4)语言性;(5)幽美性.,基于以上特点,数学的教育价值表现为:在德育方面：培养积极进取的意志，求实精神，净化心灵。在智育方面：培养缜密周详的推理及严密的运算，分析问题、解决问题的能力。在美育方面：培养审美情趣，激发对完美境界的追求。,数学的教育价值,确定中学数学教学目的的依据,3.确定中学数学教学目的还要考虑学生的学习基础、年龄特征和认识水平(1)注意小学、初中、高中数学知识、能力及学习方法与习惯方面的衔接。(2)年龄特征与认识水平。主要对象是青少年,生理方面因素 心理方面因素,4.1.2 中学数学的教学目的,中学数学教学目的，是根据中学教育的任务，培养目标，中学数学所能起的作用，对中学数学在“基础知识、基本技能、基本能力、个性品质、世界观”等方面应该完成的任务作出的规定，包括初高中两个阶段。1.义务教育初中数学教学目的(大纲和标准规定)“使学生学好当代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，并进一步培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念，并能够运用所学知识解决简单的实际问题。培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点。”概括起来，就是三句话：(1)学好双基；(2)培养能力;(3)进行思想教育。,10 关于基础知识与基本技能 数学基础知识包括初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及数学思想方法等。正确理解概念是掌握数学知识的前提，而牢固掌握法则、性质、定理、公式等数学命题和解题证题的思想方法则是学好数学的必要条件。技能是指完成某种任务的一种活动计划，通过练习而获得。数学基本技能是指按照一定的程序与步骤进行运算、作图或画图，进行简单的推理。,20 关于培养能力 能力是完成学习和其他活动任务的个性心理特征。它是心理特征，要以知识为基础。（1）逻辑思维能力正确、合理地进行思考的能力，它在能力培养中起核心作用。具体地有观察、比较、分析、综合、概括、抽象等形成概念的能力；归纳、演绎、类比进行推理论证的能力；分类与系统化形成知识体系的能力。这些能力表现在运用它们时的正确性、条理性、合理性、敏捷性、灵活性和深刻性以及表述自己思想、观点时的清晰、简明的程度上。（2）运算能力思维能力与运算技能的结合。由法则按步骤进行运算；分析条件，找简捷、合理的途径与方法进行运算。,30 关于个性品质 正确的学习目的，浓厚的学习兴趣，顽强的学习毅力，实事求是的科学态度，独立思考、勇于创新的精神与良好的学习习惯。培养个性品质的办法:(1)以数学的广泛应用,数学家富于独创的史实，使学生真切地认识到学好数学的必要性和迫切性。明确学习目的，端正学习态度，改进学习方法，激发学习兴趣，提高学习的主动性和积极性。(2)利用我国数学史上的辉煌成就，培养学生的爱国主义思想和民族自豪感、自尊心，激励学生为赶超世界先进水平而刻苦学习。(3)通过概念的引入，定理的论证，习题的解答等各环节培养学生严谨精确的治学精神，有条不紊的工作作风、实事求是的科学态度，坚忍不拔的意志毅力，忠诚正直的高尚品格。(4)发掘数学内容和数学方法中的辩证因素，培养学生实践第一，对立统一，运动变化等辩证唯物主义观点。,2普通高中数学教学目的“使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识和概率统计、微积分的初步知识，并形成基本技能；进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力以及创新意识；进一步培养良好的个性品质和辩证唯物主义观点。”它的基本内容仍然是：学好双基；培养能力；进行思想教育。但各部分内容要求不同，强调创新意识，独立思考，发现问题和提出问题，进行探索和研究。,3.初、高中数学课程标准中的数学课程目标（1）初中课程目标 知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个方面（详见标准）。（2）高中课程目标 知识与技能、方法与过程、情感态度与价值观等三个方面（简称“三维”目标）。,思考题,1.确定中学数学教学目的的依据是什么？2.数学课程目的与数学教学目标有何异同？,4.2 中学数学教学原则,主要内容一、教学原则的基本理论.二、中学数学教学的基本原则.关键词教学原则,教学规则,教学规律,严谨性,量力性,抽象性,具体性,4.2.1 教学原则概说,1教学原则的意义教学原则指导教学活动的基本原理，是客观教学规律的主观反映，是所有教学规则的统一整体。2教学原则与教学规律(1)联系：教学原则是教学规律的反映。教学原则是根据客观教学规律制定出来的。(2)区别：教学规律是不依人们的意志为转移的客观存在，是教学活动内在的本质的必然联系。如，复习教材就可以巩固知识，这是一条教学规律，不管我们是否愿意遵循，它都是客观存在的。我们对教学规律只能发现、掌握和利用，决不能臆造和违背。,3教学原则与教学规则 联系：教学原则要借助于一定的教学规则来实现，否则，教学原则就是空洞的东西。区别：教学规则是教学原则的组成部分和具体细节，每个教学原则都包含一系列具体的教学规则。4教学原则的确定 一要以教学实践为基础，二要以一定的理论作指导。具体地理论基础是：（1）辩证唯物主义；（2）教育学理论；（3）心理学理论；（4）神经生理学；（5）教育工艺学。,5教学原则体系（教学论原则）（1）科学性与思想性统一的原则；（2）理论联系实际的原则；（3）传授知识与发展能力相统一的原则；（4）老师主导作用与学生主体性相结合的原则；（5）直观性与抽象性相统一的原则；（6）系统性与循序渐进性相结合的原则；（7）理解性与巩固性相结合的原则；（8）量力性与尽力性相结合的原则；（9）统一要求和因材施教相结合的原则。,思考题,1.何谓教学原则与教学规律？两者之间的区别与联系是什么？2.确定教学原则的主要依据是什么？,4.2.2 中学数学教学的基本原则,1中学数学教学原则的确定 中学数学教学原则确定依据：（1）中学数学的教学目的、数学学科的特点；（2）学生认知发展的基本特点。2数学教学原则与一般教学原则的关系 数学教学原则不能代替一般教学原则，一般教学原则是数学教学原则的发源地。,3.中学数学教学的基本原则,（1）严谨性与量力性相结合的原则；（2）抽象性与具体性相结合的原则；（3）理论与实际相结合的原则；（4）巩固与发展相结合的原则。,.严谨性与量力性相结合的原则,一、严谨性与量力性 数学严谨性的表现：1.数学结论准确、精练；2.数学推理严密、合乎逻辑。数学严谨性的特点：(1)具有相对性；(2)严谨程度可以逐步达到，逐步满足.,教学的量力性量力而行.即教学内容可被学生接受，知识发展符合学生年龄特征。教学上数学严谨性的要求要恰当，有一个逐步适应、逐步提高的过程.要充分考虑中学生实际情况：（1）对数学语言的理解和运用存在困难;（2）推理不严;（3）思维不缜密.刚入中学，就要求学生完全接受数学的严谨性，是不可能的。必须顺应学生认识的发展规律，有计划、有步骤地逐步提高，才能达到逐步理解和掌握数学严谨性的要求。,二、教学中严谨性与量力性相结合原则贯彻 1.教学内容应是科学的，思维要符合逻辑要求(1)处理数学教学内容，切不可违背科学观点;(2)遵循一般的逻辑要求;概念清楚、准确.克服两种倾向：一是滥用学生还接受不了的语言和符号；二是把日常流行而不太准确的习惯语言带到课堂里。推理有据.推理论证言必有据,合乎逻辑.思考缜密.考虑问题全面，周密而不遗漏.思路清晰.思考问题步骤清楚、层次分明.,2.严谨程度应是学生力所能及，而又必须经过努力才能达到(1)选择最便于学生接受的方式处理教学内容.(2)教学安排梯度适当，以利于有计划、有步骤地逐步发展学生的逻辑思维能力.(3)反对主观主义教学（了解学生，不高估也不低估学生，做到有的放矢）.如有的教师在讲三角形高的概念时，只讲锐角三角形的高这一种情况，就认为学生对其它类型的三角形的高都掌握了，其实错了.,.抽象性与具体性相结合原则,个体：一是直观具体；二是一般中的个体.抽象：从不同事物中隔离出特殊属性而将本质概括出来的过程.数学的抽象性：撇开对象的具体内容，只保留客观事物的空间形式和数量关系。表现为以下几个方面：1、逐级抽象，逐级提高，高度概括.2、广泛而系统地使用数学符号，具有字词、义、符号三位一体的特性.3、数学的抽象必须以具体的素材为基础.,具体与抽象的关系对立统一的；数学抽象具有相对性;感知上的具体思维的抽象思维的具体(认识阶段的发展过程);具体与抽象互相依赖：具体是抽象的材料，而抽象的结果又可作为材料进行再抽象。,学生抽象思维的局限性对教学的影响,对具体素材的依赖性;具体与抽象的割裂;抽象能力弱;对抽象结论之间的关系不易掌握;,抽象性与具体性相结合原则贯彻,1直观教学 2数形结合3.注重观察4.重视教学手段改革,、理论与实际相结合的原则,一、数学理论与实践的关系 1理论来源于实践 2数学理论来源于实践，反过来又指导实践，并接受实践检验，在实践中获得丰富、发展与提高,二、理论与实践相结合原则的贯彻1大力提高理论水平，重视一般原理和方法的教学.提高理论水平的关键在于对理论的理解，只有加深理解，才能更有效地将理论用于实际，并牢固掌握有关数学知识.2注重联系实际，既要注意用实例说明数学应用，更要重视通过实例培养学生运用数学知识的能力，在实际应用中去发现、探索数学问题.3在教学实践中，遵循实践认识再实践再认识的规律，充分注意数学理论来源于实践又应用于实践，防止实用主义和理论至上两种不良倾向.,、巩固与发展相结合的原则,一、巩固所学知识 二、发展思维在数学教学中1、要明确思维的目标与方向提出富有启发性、挑战性的问题，创设问题情境，激发学生的思维.2、要为思维加工提供充足的原料 3、要发展抽象思维形式 4、要让学生掌握思考的方法,三、巩固知识与发展能力相结合原则贯彻 1要全面系统地复习基础知识，让学生领会基本的数学思想和方法。2巩固知识要着眼于发展能力。（1）基础知识的复习，要注重数学思想、方法的培养和训练。（2）综合知识的复习，要有计划、有步骤地进行题组训练。一要把握选配复习题的原则：概念性、典型性、针对性、综合性、启发性、思考性、灵活性、创造性。,二要考虑复习题的类型：(1)成套题（提高应用数学知识的能力）(2)解法多样题（求异思维能力）(3)多题一解法题（求同思维能力）(4)变式题（灵活性）(5)发展题（思维的深刻性）(6)改错题（批判性，科学的辨别能力）(7)开放题（思维的发散性、创造性）,思考题,1.中学数学教学原则有哪些?2.在中学数学教学中如何贯彻这些原则?,第五章中学数学教学方法,基本内容1.启发式教学思想,数学教学中如何贯彻。2.常用教学方法及其优缺点。3.教学方法的选择。关键词启发式教学思想，教学方法,5.1 启发式教学思想,启发式教学思想的由来“不愤不启,不悱不发”出自论语述而。“不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也”。意思是要等到学生进入“愤”（似乎心知其意而又有困难）和“悱”（想说而又说不清楚）的境界，教师再启之发之。于是，一间房子四只角（隅），教师讲一只，学生自己就把那三只都告回（反）老师。不这样，教学就不能深入（复）了。启发式教学，此其谓也。可见，启发式教学思想是孔子最早提出来的。朱熹（宋朝理学家）对“不愤不启，不悱不发”的进一步诠释：“愤者，心求通而未得之意；悱者，口欲言而未能之意。”孔子认为若不造成一种“愤”、“悱”的心理状态，就不能进行启发式教学。,启发式教学思想认为，教学是教学生学习，教师从学生实际出发，循循善诱，学生孜孜求索，开动脑筋，自己思考、消化，得出结论。启发式教学思想还认为，教与学是互相矛盾的统一体，教是矛盾的主要方面，即起主导作用的方面。没有教师的主导，就根本谈不上“启发”。但是对于学生的学习而言，学生是学习的主体，教学活动的目的是要把外在的因素转化为学生自己的内部因素，教只有通过学才能起作用。启发式的对立面是注入式。注入式把学生当作接受知识的容器，教师采取灌输知识的办法，学生处于被动接受的地位，从而学生的思维缺乏灵活性和创造性。,评价一堂课是启发式还是注入式，不能单从形式上来看，而是要从实质来看，要看在教学过程中，学生学习的主动性、积极性是否得到了充分的调动，学生对所学的知识是否真正获得了理解。如果认为发现式教学就是启发式，讲授式就是注入式，那就错了。讲授式教学，只要教师的讲解生动、形象，具有启发性，也可以很好地调动学生的学习主动性和积极性，能吸引学生参加到积极的认识活动中去。而发现式教学如果处理不当，也会出现启而不发的现象。,如何贯彻启发式教学思想？,1.在教学过程中，确保学生在学习中的主体地位 贯彻启发式教学思想就是要将学生消极被动的学习改变为主动积极的学习。要实现这一目标，必须摆脱“以教师为主”的“外因论”思想，确立学生在学习中的主体地位。这里并不排斥教师的主导作用，只不过发挥教师的主导作用的目标和途径有所改变，这种改变就是教师要尽量创造条件来确保学生在学习中的主体地位。叶圣陶说过：“所谓教师的主导作用，盖在善于引导启迪，俾使自己自奋其力，自致其仰，非谓教师滔滔讲话，学生默默聆受。”,在教学过程中,教师的主导作用应体现在以下几个方面,以确保学生的主体地位.(1)激发学生的学习兴趣，使积极主动学习成为可能(2)架设“认知桥梁”，为学生积极主动地学习扫清认知障碍(3)创设学习情境，使学生的思维活动得以积极进行(4)教会学生解决问题的方法，交给学生开启知识宝库的钥匙(5)进行学习方法的指导，使学生掌握积极主动的学习方法(6)对教学方法和效果及时进行评价，使教学效果向最优化方向发展。,2、在传授知识的过程中，应将发展学生的智力，培养学生的能力作为主要目标 3、以基本概念和原理、基本关系和方法的理解性学习代替“法则步骤”的记忆模仿性学习 4、重视非智力因素在教学中的作用,5.2 常用的数学教学方法,教学方法为了完成教学任务，师生共同进行的一种相互联系的活动方式和手段。教学方法是教学过程中极为重要的组成部分。在教学目的确定以后，教学方法就成为能否完成教学目的的关键因素。教学方法多种多样，根据学生在教师指导下的认知活动的基本形式，可将教学方法大致分成四种。,1、讲授法 通过教师的语言，向学生讲授知识，并促进学生认知能力发展的方法。优点：能充分发挥教师的整体功能，面对全班学生，讲授内容能达到系统性、完整性和深刻性。有示范作用，传授知识密度高、容量大，省时，易于控制教学过程，特别是对于学生接受有一定难度、理解有一定困难的内容，就适宜用讲授法。这种方法能使学生对首次接触到的概念有一个正确的认识。,缺点：讲授法若运用不当，就会导致教学上的“满堂灌”，因此在应用讲授法时，应重视以下几个方面：（1）讲授内容具有科学性、思想性和系统性，把握内容的逻辑结构，抓住重点和关键。（2）以学生原有认知结构为出发点，启发学生积极思维，教师要把自己提出问题、分析问题、解决问题的过程转化为学生的认识过程。（3）善于设疑和解疑(创设问题情境)。（4）语言准确、精练、清晰、生动，快慢适度。,2、讨论研究法 教师根据教学目的，提出问题，使学生在独立思考的基础上，相互讨论、研究，变个体学习为师生之间、学生之间的共同切磋探讨，从而使学生获得知识，发展认知能力的一种教学方法。讨论研究法的模式：（1）教师创设问题情境，提出问题；（2）学生对问题进行思考，整理分析思路与解答方案；（3）学生分组讨论研究，交流思维成果，对各自提出的解答方案，就正误、繁简及构思的优劣进行争辩和探讨；（4）教师对解答进行分析、概括、提炼和总结，对学生的积极思维，加以鼓励和评价。,优点：课堂教学民主。改变消极被动的学习状态，促进师与生、生与生之间进行多向信息交流，形成活泼、主动的学习气氛。由于争论和辩解，捉成激励、产生智力的建立群众效应，形成一堂课的思维高潮。缺点：费时,内容面小，不利于能力的全面训练和提高。若基础不齐，讨论问题或流于形式或钻牛角尖，达不到讨论研究的目的。,3、自学辅导法 教师指导下的学生独立学习获得知识，并促进认知能力发展的教学方法。自学辅导法重点放在“学”上，其一般模式是：1.教师提出问题，布置内容，列出提纲，引导自学；2.学生阅读内容，进行操练，从中发现问题；3.教师巡视，了解和掌握学生自学的进度和疑难所在，进行个别指导；4.教师就理解内容、突出关键、解决难点、小结规律方面进行精讲；5.学生运用知识，在较高层次水平上操练。,优点：培养自学能力，让学生“学会学习”，即学会阅读，学会思考，学会提出问题并探索解答，学会整理、归纳小结等。缺点：基础差的学生较难适应，缺乏智力的相互激励，学习气氛较为沉闷。,4、发现法 教师创设问题情境，引导学生独立思考，进行探索，自己“再发现”真理的方法。一般模式：（1）教师创设问题情境，提出要解决或研究的问题，引发学生的认知冲突，激发探究的要求，明确发现的目标或中心；（2）对问题，提出解答的假设，指导学生思考的方向，选择各种解答问题的方案；（3）协助学生证明假设，如有不同观点，可展开讨论，使其阐述自己的观点，提出论据和论证；（4）教师对争论和证明作总结，得出共同结论，及时反馈巩固，使学生建立新的认知结构。,优点：让学生参与知识发生的全过程，亲自体验揭示规律、发现真理的乐趣，激发学习兴趣，产生巨大的学习内驱力。通过发现学习，学生可以学会探索方法，从而提高学生发现问题、分析问题能力，学到科学的认知方法。缺点：费时较多。日本学者发现“发现学习”比“系统学习”要多花130%150%的时间。另外，发现法有利于对基础好、智力好的学生进行教学，而不利于对基础差的学生进行教学。,总之,教学方法多种多样,各有特点与作用。在教学中我们应根据不同的教学内容和教学对象，有所选择地采用不同的教学方法，扬长避短，才能取得预期的教学效果。,5.3 教学方法的选择,教学方法对教师的教学工作具有非常重要的意义。当教学目的、内容等条件确定后，教学方法就成为提高教学质量的关键性因素，要想使教学获得理想的效果，就一定要讲究教学方法，尽可能采用最优的教学方法进行教学。如何选择或确定良好的教学方法，以达到理想的教学效果呢？必须考虑三种主要因素：教学目的，教学内容和教学对象。此外，教师自身条件和教学物质条件也是需要注意的因素。,1、教学目的因素 课堂教学总是要达到一定的目的要求，因而教学方法的确定必须服从于教学目的要求。教学目的因素对确定教学方法的影响可分为两个层次：第一,每节课的具体目的要求，主要表现为直接的、外显的影响；第二,作为教师整个教学思想重要组成部分的教学目的观念，主要表现为较长期的、内在的影响。,对于每节课具体的教学目的要求，一般指在知识、技能传授和训练方面。九义标准具体要求分“了解、理解、掌握和灵活运用”四个层次。教师教学时对内容的安排、过程的设计和具体方法的确定都应和该堂课的教学目的要求相适应。如教授“十字相乘法”一节.若教学目的要求是“了解”，使学生对十字相乘法有初步的、感性的认识，则教师安排教学中在黑板上举一两个例题：,用“讲授法”说明一下也就可以了，对有兴趣深入钻研的同学可布置课外作业或采取个别辅导的办法。,但若目的要求是“理解”并能“灵活运用”，则上述教法显然是不妥当的，难以实现教学目的要求。如果教师能通过学生自学、师生共同讨论、教师启发指导、讲解例题、学习练习、归纳总结、作业检查等方式和途径，或直接借鉴和运用“自学、议论、引导法”，就能取得比较理想的教学效果。作为教师整个教学思想重要组成部分的教学目的观念，也会或明或暗地影响和制约着教师的教学方法。如教师的目的观念以培养学生创造性思维能力为核心，则一般多侧重用“发现法”或“研究法”等教学方法；以培养学生自学能力为宗旨，则多侧重用“自学辅导法”或在教学过程中突出让学生“自学”这一途径；如果完全是以升学考试（如高复班）为目标，则就有可能出现“满堂灌”、“题海战术”这种不好现象的产生。,总之，我们认为确定数学教学方法时不能忽视（当然更不能背离）教学目的这一因素，这也说明数学教师树立正确的教学目的观念和认真学习标准、正确把握标准所规定的目的要求是很有必要的。,2.教学内容因素 教学方法是通过特定的教学内容而表现出来的，离开了教学内容，也就无所谓教学方法。因此，确定数学教学方法就不能离开教学内容这一因素，否则就容易产生“为方法而方法”，或生搬硬套某种方法的现象，这样的教学自然是很难成功的。,例如，集合概念的教学。“集合”是数学中的原始概念，现行高一代数教材通过“1，2，3，4，5”、“与一个角的两边距离相等的所有点”，“某农场所有的拖拉机”等具体事例引入集合的概念，并说明了有限集、无限集、集合元素、集合表示方法等概念。对这节内容一般应采用“讲授法”进行教学，并需要在讲授中多举一些实例以便让学生熟悉和掌握这些新概念。如果硬要采用“发现法”或“研究法”让学生发现或研究集合的概念和表示方法等，既不恰当的，也不必要，学生也无法“发现”或“研究”出集合的概念。,再如韦达定理的教学。本节内容的教学用“发现法”进行是比较理想的。先让学生解方程：x23x20,x25x60,x26x160.然后让学生发现这些方程根与系数的共同规律，得出形如x2pxq0的方程根与系数的关系：x1x2p，x1x2q最后得到一元二次方程ax2bxc0（a0）根与系数关系定理（韦达定理）：,注:此节内容也可用“研究法”进行教学。但如果用“讲授法”就不大合适。,3.教学对象因素 要想取得好的教学效果，确定教学方法时仅考虑教学目的和教学内容两个因素是不够的，还必须考虑教学对象（即学生）这一重要因素。著名的“因材施教”原则就反映了教学对象“材”对确定教学方法“教”的重要作用。关于学生这一因素的考虑，可从学生的年龄心理特征、智力发展情况、知识水平、学习方法和习惯、兴趣爱好和家庭环境影响等多方面进行，这些因素对数学教学方法的选择和确定都有一定的影响。,例如，就年龄心理特征言，初中低年级学生直觉形象思维占很大优势，但逐步向经验型抽象思维发展，注意力集中时间不长，兴趣广泛，自觉性较差等。教师在确定教法时应尽量注意适应其心理特点，为了维持和吸引学生注意力，应当重视激发学生兴趣，教学内容讲解不宜过分抽象，多利用直观形象的方法进行启发教学，课堂内也不宜长时间地用“讲授法”或“研究法”。,如果撇开教学目的、内容等因素，一般说来，高年级用“讲授法”、“研究法”等更适宜，而“自学法”、“发现法”等更适宜用于低年级。教学方法的确定除了要考虑教学目的、教学内容、教学对象三个主要因素外，教师自身条件和教学物质条件也是需要注意的因素。如有的教师语言表达能力较好，叙述生动有启发性，讲课艺术性较强，一般可多用“讲授法”，教学往往也能取得较理想的效果；如果教师课堂组织调控能力较强，对教学内容研究较为深透，一般可较多用“研究法”。,思考题,1.何谓启发式教学思想?在数学教学中如何运用启发式教学思想?2.数学课常用的教学方法有哪些?各具有哪些优缺点?3.在实际教学中如何选择教学方法?,第六章 数学基础知识教学与 能力培养,主要内容一、数学基础知识教学（概念、命题、解题、习题例题的教学）。二、能力培养（数学基本能力）。关键词数学概念，数学命题，数学问题解决，数学能力,6.1 数学基础知识教学,6.1.1 数学概念的教学一、数学概念学习(一)数学概念学习的内容 数学概念事物在数量关系与空间形式方面的本质属性,是人们通过实践,从数学所研究对象的许多属性中,抽出其本质属性概括而成的.数学概念是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。因此数学概念学习是数学学习的基础，数学概念教学是数学教学的一个重要的组成部分。,数学概念学习概括出数学中一类事物的共同本质属性,正确区分同类事物的本质属性与非本质属性，概念的肯定例证与否定例证。它包括四方面：第一,数学概念名称.例如，“三角形”、“正方形”、“圆”等。第二，数学概念定义。例如，三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。第三，数学概念的例子。有正例与反例之分，符合数学概念定义的事物乃数学概念的正例，否则，就是反例。例如，直角三角形是“三角形”的正例，而四边形则是“三角形”的反例。第四，数学概念属性。例如，“三角形”这个数学概念的属性是平面图形，有三条边，三个角等。,(二)数学概念的学习形式 1.数学概念的形成观察实例分析共同属性抽象本质属性确认本质属性概括定义符号表示具体运用。2数学概念同化概念同化是苏伯尔（美）提出的概念学习形式。指的是新信息与原有认知结构中的有关概念相互作用，实现新旧知识的同化，从而使原有认知结构发生某些变化。,数学概念同化的过程有如下几个阶段：（1）揭示本质属性 给出概念的定义、名称和符号，揭示本质属性。例如，学习二次函数概念，先学习它的定义：如果yax2+bx+c(a,b,c为常数，a0)，那么，y叫做x的二次函数。（2）讨论特例 对概念进行特殊分类，讨论各种特例，突出其本质属性。如二次函数特例是yax2,yax2+bx,yax2+c等。（3）新旧概念联系 使新概念与原有认知结构中有关概念建立联系，把新概念纳入到相应的概念体系中，同化新概念。如把二次函数与一次函数、函数等联系起来，把它纳入到函数概念体系中。,（4）实例辨认 辨认正例与反例，确认新概念的本质属性，使其与原有认知结构中有关概念精确分化。例如举出y2x+3,y3x2x+5,y2x24等让学生辨认。（5）具体运用 通过运用，加深理解，融会贯通。,(三)数学概念教学设计数学概念引入 1以感性材料为基础引入新概念；2在旧有知识基础上引入新概念；与已定义概念类比引入新概念，如,类比分数概念引入分式概念。类比等式概念引入不等式概念。对已定义概念一般化或特殊化引入新概念，即对已有概念的内涵“去掉”或“添加”某些性质得到更一般或特殊的概念。如，,3通过普通归纳引入新概念;(如正负数概念的引入等).4通过提示事物发生的过程引入新概念;5通过运算引入新概念;如有理数的减法与除法是通过“加法”与“乘法”的逆运算而引入的，再如，对数运算是通过它与指数运算的互逆关系而引入。,数学概念的理解 1提炼概念的本质属性，准确地给概念下定义；如，“三角形的高”定义是：“”，学生能背诵，但对其本质属性并不了解，表现在直角三角形或钝角三角形中作不出高来。教学时要讲清“三角形的高”是一条垂线段（属概念），这条垂线段是三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段（种差），教学时，最好再画出直角、钝角三角形的情况一一加以说明。,（1）概念中的一些语词，符号要清楚交待。如平行线定义中的“在同一平面内”这一语句说明什么？表示函数关系的符号“y=f(x)”含义是什么？（2）概念定义中约束条件的不可少性。如，logaN=b中a0且a1（3）约定式定义的合理性。如a0=1(a0).2.充分揭示概念的内涵与外延。3清易混淆的概念。（如，相似形与位似形，方根与算术根，无穷数列与无界数列，再如，线段、射线、直线等概念，“都不”与“不都”等概念,数学概念的运用 1当堂巩固所学概念；2及时复习、整理所学概念，建立概念体系(图示)；3在实践中灵活运用概念。,6.1.2 数学命题的教学,6.1.2.1 数学命题教学的任务 1.认识命题的条件与结论；2.掌握命题的推理过程和证明方法；3.运用所学的命题进行计算，推理和论证，提高数学基本能力，解决实际问题。,6.1.2.2数学命题教学过程一、公理的教学 1了解公理；2体会引入公理的必要性；3理解并记忆公理内容、熟练地应用。二、法则的教学（注：法则是围绕运算展开的）1弄清法则由来，前提与结论；2熟练法则的运用。三、定理的教学1了解定理由来；2认识定理结构；3掌握定理证明；4熟悉定理应用；5整理定理系统。,四、公式教学1公式的意义；2公式的逆用与变形；3公式的记忆与灵活应用。例1,计算,例2,利用不等式,点评：该题考查三角函数的和差化积，余弦函数值域，含绝对值不等式性质等知识的综合题，若离开已知不等式，而进行直接放缩法是无能为力的，,6.1.3 解题的教学,6.1.3.1解题的作用 第一，是实现教学目的的手段；第二，是数学教学活动的重要形式。6.1.3.2解题要求 解题要正确、合理（言必有据）、完满（详尽无遗）、简捷（方法简单）、清楚（层次分明，条理清晰，表达规范）。,6.1.3.3 解题程序 美籍匈牙利数学教育家、数学解题方法论的开拓者乔治波利亚（GPolya）把解题过程分为四步：一、弄清题意；二、拟定计划；三、实行计划；四、回顾。,一、弄清题意 1、已知是什么？未知是什么？2、条件是什么？结论是什么？3、画出草图，引入适当的符号。二、拟定计划 1、见过这道题或与之类似的题吗？2、能联想起有关的定理或公式吗？3、再看看未知数！4、换一种方式来叙述这道题。5、回到定义看看！6、先解决一个特例试试。7、这个问题的一般式是什么？8、你能解决问题的一部分吗？9、你用了全部条件吗？,三、实行计划 实现你的解题计划并检验每一步骤，证明你的每一步都是正确的。四、回顾 1、检查结果并检验其正确性。2、换一个方法做这个题。3、尝试把你的结果和方法用到其他问题上。,我们把它称为解数学题的四程序：审审明题意；想思索解法；解表述解法；查检查答案。（1）养成审题习惯.一是审清题目的条件（显示条件，隐含条件，条件的等价说法等，如在R内解方程，有隐含条件1x0）。二是审清题目的结构，判明题型（推敲题目的叙述可否作不同理解；分析条件、结论联系方式；观察数、式或图形的结构特征使其直观化）。,（2）要学会解题的回想、联想和猜想 回想，思维的基础是演绎推理。由题中涉及到的主要概念，回想定义、公式、定理、法则等。联想，思维的基础是类比推理。直接套用现成的知识解决不了的问题往往要进行联想，联想是发散思维的特征，联想是发现解题途径的一种基本思维方法。例如，求解命题“若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,则x,y,z成等差数列”(79年高考题).你能联想到什么?,猜想，当联想失效时，大胆进行猜想，为解决问题寻找途径。(3)表述解法要规范。（4）最后别忘了检查验算。一查“题”，有关数据是否看错或漏掉；二查“理”，法则用对否，推理有据否；三查“数”，结果正确否；四查“式”，格式、步骤、表述等；五查“解”,是否多解,丢解或错解,增解等.,6.1.3.4 学会推广引申 解完一题，再回味引申，对题目作开拓思考，引申出新题目和新解法，有利于培养发散思维，激发创造精神，提高解题能力。1.把题目条件开拓引申.(1)特殊条件一般化;(2)一般条件特殊化.2.把题目结论开拓引申.3.把题型开拓引申.“一题多变”,“多题一解”,“一法多用”等.例如,求证:四个连续自然数之积再加1,是一个完全平方数.该题目可改述为十几种题型,如:,.分解因式:x(x+1)(x+2)(x+3)+1;.试判断:.求函数:.分析方程:(y+1)(y-1)-x(x+1)(x+2)(x+3)=0表何曲线?注：x(x+1)(x+2)(x+3)+1=x(x+3)(x+1)(x+2)+1=(x2+3x)(x2+3x)+2+1=(x2+3x)2+2(x2+3x)+1=(x2+3x+1)24.解法开拓引申一题多解.,6.1.4 习题及例题的教学,一.习题的类型1.按教学功能分类 口答题,板演题,讨论题,书面作业题,思考题,复习题,测验题,竞赛题等等.2.按对学生的知识和能力的要求程度为标准分类 巩固基本知识题,运用基本知识变形题,灵活运用题,综合题等.3.按解答的方式分类选择题,填空题,是非题,改错题,计算题,证明题,作图题.,二.编选习题的原则1.阶梯性(循序性)2.多样性题目内容，形式，解法要求多样化.3.针对性针对学生的薄弱环节，常犯概念性错误来选题，做到有的放矢.4.趣味性和启发性5.注意与旧知识联系,三.对数学习题的要求1.构思严密不出差错.如(1)已知x1,x2是方程x2-2x+3=0的两个实根,求x12+x22.这是一个错题,为什么?又如,(2)已知SABC=18,a+b+c=12,求内切圆半径r=?这也是一个错题.(因为解出r=3,S内切圆=r2SABC)2.语言要清晰,题意要明确.3.条件要恰如其分.,6.2 数学能力及其培养,6.2.1数学能力概述 能力人们成功地进行实际活动的较稳固的心理特征的综合。它是与活动要求相适应,保证活动顺利完成的基本条件。能力与活动紧密联系,能力体现在活动中,离开活动就无法对之进行考察和测定,离开了活动就无法进行能力的培养。能力分为两类，一般能力与特殊能力。一般能力指在各种活动中表现出来的基本能力。例如，观察能力、记忆能力、思维能力、想象能力、探索能力、动手能力等等，它们提供保证各活动顺利完成的心理条件。,特殊能力，它是在某种专业活动中表现出来的能力。例如，数学能力，它是与数学活动相适应，保证数学活动顺利完成的心理条件。一、数学能力的主要成分 数学能力据数学活动的情形不同分为两种：1.数学学习能力，2.数学研究能力。其中数学学习能力是在数学学习活动中，理解数学知识内容，顺利掌握必要的技能、技巧的能力。它是在数学学习活动中形成和发展起来的，用以保证顺利地完成数学学习所必须具备的心理条件。数学研究能力是在数学研究活动中所表现出来的能力，是具有创造性的能力，它是在数学学术研究活动中形成和发展起来的。,我们所讨论的数学能力主要是指数学学习能力。数学能力的主要成分包括：1.感知数学材料形式化的能力2.对数学对象、数和空间的关系的抽象概括能力3.运用数学符号进行推理的能力4.运用数学符号进行运算的能力5.思维转换能力6.记忆特定数学符号、抽象的数学原理和方法、形式化的数学关系结构的能力,6.2.2 数学能力培养知识与能力是相互依存、相互促进的。知识是发展能力的基础，智力活动是依靠知识来认识事物，分析事物，解决各种问题的。离开了知识体系的传授来谈能力培养，是根本不可能的。实践证明，一个人的知识越丰富，对事物的观察就越敏锐、深刻，思维活动就能在更广阔的领域中展开，对事物的判断和推理就会更正确，更富有想象。因此，只有高质量的完成教学任务，才能为学生能力的发展打下一个坚实的基础。否则，培养学生的能力就成为无源之水，无本之木。,学生能力的提高虽然离不开知识的掌握，但是，知识并不等于能力。许多事实证明，有的学生学习成绩很好，但能力的发展一般，相反，有些学生学习成绩虽不突出，但能力强，反应快，思想活，想象丰富，这说明知识与能力具有不同的内容和规律。知识并不等于能力，能力的高低，也不等于知识的多少，两者并不是绝对成正比例的。知识是反映客观事物的规律的。它是人们对于事物认识和经验的总和，是对经验的概括。而能力则是学生掌握知识的能量和思维方法，它是属于心理品质