数学建模培训资料(Poisson过程及其应用).ppt

,二、泊松过程,一、独立增量过程,泊松过程及其应用,三、维纳过程,随机过程的定义,对每一个参数，是随机变量，我们称随机变量族 为一随机过程，其中称为指标集,独立增量过程.,一、独立增量过程(independent increment process),X(t)-X(s),0st 为随机过程在(s,t 的增量.如果对,n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1),X(tn)-X(tn-1)相互,给定二阶矩过程 X(t),t0 我们称随机变量,任意选定的正整数n和任意选定的0t0t1t2tn,独立,则称 X(t),t0为独立增量过程.,直观地说,它具有“在互不重叠的区间上,状态,的增量是相互独立的”这一特征.,的分布所确定.,于时间差t-s(0st),而不依赖于 t 和 s 本身(事实上,令h=-s即知).当增量具有平稳性时,称相应的独立,增量过程是齐次的或时齐的.,X(s+h)与X(t)-X(s)具有相同的分布,则称增量具有,特别,若对任意的实数h和0 s+ht+h,X(t+h)-,对于独立增量过程,可以证明:在X(0)=0的条件下,它的有限维分布函数可以由增量 X(t)X(s)(0st),平稳性.这时,增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖,在X(0)=0和方差函数VX(t)为已知的条件下,独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为:(P341),二、泊松过程（Poisson process）,现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述,大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画.,泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程,理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上,的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所,接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生,的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗,略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机,事件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点,来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间,上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系.,我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.,1.计数过程:设,为一随机过程,如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足st时,N(s)N(t),则称,为计数过程(counting process).,若用N(t)表示电话交换台在时间0,t中接到,电话呼叫的累计次数,则N(t),t0就是一计数过程.,对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数,计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到,某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数,某放射性,物质在放射性蜕变中发射的粒子数,一次足球赛,的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种,过程名称的由来.对 0st,N(t)-N(s)就表示在(s,t中,发生的电话呼叫次数.,随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一,时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.,计数过程的一个典型的样本函数如图,将增量,它表示时间间隔(t0,t内出现的质点数.“在(t0,t内,出现k个质点”,即N(t0,t)=k是一随机事件,其概率,记为 Pk(t0,t)=PN(t0,t)=k,k=0,1,2,.,2.泊松过程:计数过程N(t),t0 称为强度为 的,泊松过程,如果满足条件:,(2)N(0)=0;,(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;,(3)对于充分小的,其中常数 0,称为过程N(t)的强度.(亦即在充分小,的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长,度成正比),(4)对于充分小的,在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机,时刻称为强度为 的泊松流.,可以证明泊松过程的增量的分布律为,由上式易知增量N(t0,t)=N(t)-N(t0)的概率分布,是参数为(t-t0)的泊松分布,且只与时间t-t0有关,所以强度为 的泊松过程是一齐次的独立增量,过程.,泊松过程也可以用另一种形式的定义:即若计数,(2)它是独立增量过程;,过程N(t),t0 满足下面三个条件:,(3)对任意的tt00,增量,(1)N(0)=0.,可以证明这两个定义等价.,由泊松分布知,特别地,令t0=0,由于假设N(0)=0,故可推知,即泊松过程的强度(常数)等于,泊松过程的均值函数和方差函数分别为,单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值.,泊松过程的协方差函数,而相关函数,于是，有,定理1：设N(t),t0 是强度为 的泊松过程，,则有,例1:(泊松过程在排队论中的应用)在随机服务系统中的排队,顾客数，都可以用泊松过程来描述。以某火车站售票处为例，,解:我们用一个泊松过程来考虑.设8:00为0时刻则9:00为1时刻,现象的研究中，经常用到泊松过程的模型，例如：到达电话,总机的呼叫数目，到达某服务设施(商店、车站、购票处等)的,设从早上8:00开始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的,平均速率到达，则从9:00-10:00这一小时内最多有5名乘客来此,购票的概率是多少？从10:00-11:00没有人来购票的概率是多少？,则参数=10,故,例2:(事故的发生次数及保险公司接到的索赔数)若以N(t)表示,保险公司受到的赔偿请求的次数(设一次事故就导致一次索赔)。,解:,设一年开始为0时刻,一月末为1,2月末为2,则年末为12.,均值,某公路交叉口、矿山、工厂等场所在(0,t时间内发生不幸事故,的数目，则泊松过程就是N(t),t0的一种很好近似，因而,向3.15的投诉(设商品出现质量问题为事故)等都是可以应用泊松,过程的模型。我们考虑一种最简单情况，设保险公司每次赔付,都是1，接到的索赔要求是平均4次/月，则一年中它要付出的金,额平均为多少？,为什么实际中有这么多的现象可以用泊松过程,来反映呢?其根据是稀有事件原理.我们在概率论的,学习中已经知道,贝努里试验中,每次试验成功的概率,很小而试验的次数很多时,二项分布会逼近泊松分布.,这一想法很自然地推广到随机过程,比如上面提到的,事故发生的例子,在很短的时间内发生事故的概率是,于贝努里试验以及二项分布逼近泊松分布时的假定.,这就是泊松过程定义所描述的直观意义.,很小的.但假如考虑很多个这样很短的时间的连接,事故的发生将会有一个大致稳定的速率,这很类似,3、到达时间间隔与等待时间的分布,下面介绍与泊松过程有关的两个随机变量，即到达,时间间隔与等待时间。为叙述直观起见，设泊松过程,N(t),t0 表示0，t内到达的顾客数。令X1表示,第一个顾客到达的时刻，Xn，n1表示第n-1个顾客,与第n个顾客到达的时间间隔，Xn,n=1,2,称为,到达时间间隔序列。,定理2：强度为 的泊松过程N(t),t0的到达,时间间隔序列Xn,n=1,2,是相互独立的随机变量,序列，并且具有相同的均值为（1/）的指数分布。,这里,下面用Wn表示第n个顾客的到达时间，则,Wn=X1+X2+Xn,n 1,称 Wn 为直到第 n 个顾客出现的等待时间。,的 分布。,注:若随机变量X的概率密度函数为,其中,则称X服从 分布。,定理3：等待时间 Wn(n 1)服从参数为 n，,过程。,定理4：设N(t),t0 是一计数过程，若其间隔均,此定理为定理2的逆定理。（此定理亦可以作为,泊松过程的定义）这个定理提供了对泊松过程进行,计算机模拟的方便途径：只需产生几个不同指数分,的随机数，将其作为Xn,n=1,2,即可得到泊松过程,的一条样本路径。,服从均值为 1/的指数分布，则它是强度 的泊松,例3：一理发师在t=0时开门营业,设顾客按强度为,的泊松过程到达.若每个顾客理发需要a分钟,a是正,常数.求第二个顾客到达后不需等待就马上理发的,概率及到达后等待时间S的平均值.,解：设第一个顾客的到达时间为W1，第二个顾客的,到达时间为W2。令X2=W2-W1，则第二个顾客到达,后不需等待等价于 X2a。由定理2知X2服从参数为,的指数分布，故,等待时间,一名服务员,且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20,分钟的指数分布,则到中午12:00为止平均有多少人已经离开,例4:设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务,设只有,解:由所设条件可知,离去的人数N(t)是强度=3的泊松,其均值为,即到12：00为止，离去的人平均是12名。,已有9个人接受服务的概率是多少?,过程(这里以小时为单位)。设8:00为零时刻，则,而有9个人接受过服务的概率是,例5：设病人以每分钟2人的速率到达某诊所,病人流,为泊松流,求在2分钟内到达的病人不超过3人的概率?,解：设N(t),t0是病人到达数的泊松过程，,则,=2，故,