数学基础二元数与向量.pptx

程序预科-数学基础,第二部分：向量,向量的定义,向量的计算,向量的计算,向量的计算,了解向量的定义,掌握向量的计算,一，向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。常见的向量有速度，力。,1几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。2代数表示：通常有有序数列表示，比如平面向量用2个数字表示如（1,0）,3、坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。,向量相关概念解释向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。注：1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB向量CD”是没有意义的。,单位向量长度为单位1的向量，叫做单位向量 与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。,零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a与b相等，记作a=b 规定：所有的零向量都相等 当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关同向且等长的有向线段都表示同一向量。,1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x，y+y)。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。,二 向量的运算,2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向减”a=(x,y)b=(x,y)则a-b=(x-x,y-y).,3、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a=a。当0时，a与a同方向；当0时，a与a反方向；当=0时，a=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数，都有a=0。,注：按定义知，如果a=0，那么=0或a=0。实数叫做向量a的系数，乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的倍；当1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上缩短为原来的倍。数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(a)b=(ab)=(ab)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.数乘向量的消去律：如果实数0且a=b，那么a=b。如果a0且a=a，那么=。,4、向量的内积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a,b并规定0a,b 定义：两个向量的内积（点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a|b|cosa，b；若a、b共线，则ab=+-ab。向量的内积的坐标表示：ab=xx+yy。向量的内积的运算律 ab=ba（交换律）；(a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)；(a+b)c=ac+bc（分配律）；,向量的内积的性质 aa=|a|的平方。ab=ab=0。|ab|a|b|。（该公式证明如下：|ab|=|a|b|cos|因为0|cos|1，所以|ab|a|b|）向量的内积与实数运算的主要不同点 1、向量的内积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。2、向量的内积不满足消去律，即：由 ab=ac(a0)，推不出 b=c。3、|ab|a|b|4、由|a|=|b|，推不出 a=b或a=-b,作业利用向量证明余弦定理,