数字电路课件第2章逻辑代数基础.ppt

公式可推广：,2.4 逻辑函数的性质,逻辑函数表达式与逻辑图有直接关系 表达式越简单，实现该逻辑函数所需的逻辑关系就越少，这样即节省集成电路数目，焊接点又少，大大提高电路的可靠性需要对逻辑函数进行化简,与非逻辑 它是“与”和“非”的复合逻辑，表达式为：F=AB,用单一的与非门可以实现三种基本逻辑运算：,2.4.1 复合逻辑,与运算,非运算,或运算,2.或非逻辑,或非逻辑是“或”和“非”的符复合逻辑，它与“与非”逻辑互为对偶，它的逻辑表达式为：,或非门可以有多个输入端，其逻辑功能是：只要输入端有一个为 1 时，输出必为 0；只有输入端全为 0 时，输出才为 1。同样，或非门也能实现三种基本运算：,与运算,非运算,或运算,3.与或非逻辑,与或非逻辑是“与”、“或”、“非”的复合逻辑，其表达式为：,与或非门逻辑符号,4.异或逻辑,对于二输入变量问题，当二输入值相异时，输出为 1；当二输入值相同时，输出为 0。,二输入变量的异或表达式：,式中符号 表示异或运算。它的逻辑功能可用下列真值表说明。,异或逻辑有下列等式：,5.同或逻辑,对于二输入变量问题，当二输入值相同时，输出为 1；当二输入值相异时，输出为 0。,二输入变量的同或表达式：,它的逻辑功能可用下列真值表说明。,式中符号,表示同或运算。,6.异或运算与同或运算之间的关系：,互补关系,对偶关系,当 n 为偶数个变量时，有,当 n 为奇数个变量时，有,异或运算和同或运算的基本代数性质,01律(a)A0=A A1=A(b)A0=A A1=A交换律(a)AB=BA(b)AB=BA分配律(a)A(BC)=ABAC(b)A(BC)=(AB)(AC)结合律(a)A(BC)=(AB)C(b)A(BC)=(A B)C调换律(a)若 AB=C 则 AC=B，CB=A(b)若AB=C 则 AC=B，CB=A,一个逻辑命题可以用多种形式的逻辑函数来描述，这些逻辑函数的真值表都是相同的，如果以函数式中所含的变量乘项的特点以及乘积项之间的逻辑关系来分类，逻辑表达式可以分成与或、或与、与非、或非、与或非、或与非等形式。,2.4.2 逻辑函数的基本表达式,F=AB+AB 与或式=（A+B）（A+B）或与式=A B AB 与非式=（A+B）+（A+B）或非式=AB+AB 与或非式,2.4.2 逻辑函数的基本表达式,2.4.3 逻辑函数的标准形式,一个逻辑命题的三种表示法：真值表 逻辑表达式 卡诺图真值表是逻辑函数最基本的表达方式，具有唯一性；由真值表可以导出逻辑表达式和卡诺图；由真值表导出逻辑表达式的两种标准形式：最小项之和最大项之积,n个变量有2n个最小项，记作mi,3个变量有23（8）个最小项,m0,m1,000,001,0,1,在逻辑函数中，有n个变量为A1An，m是这n个变量的与项，若与项m是包括全部n个变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。,一、最小项和最大项,最小项,二进制数,十进制数,编号,2.4.3 逻辑函数的标准形式,2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）,为了区别不同变量数n的相同最小项符号，可以给最小项符号mi加上一个上角标n，如刚才的可以写成,0 0 1,A B C,0 0 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,三变量的最小项：,最小项的性质,2 同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0，即：mi mj=0(ij),3 全部最小项之和为1，即：,1 在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一 个最小项的值为1，其它最小项的值均为0。,2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）,性质4：若干个最小项之和等于其余最小项和之反例m3+m2=m0+m1，m0=m1+m2+m3A B m3 m2 m1 m00 0 0 0 0 10 1 0 0 1 01 0 0 1 0 01 1 1 0 0 0,n个变量有2n个最大项，记作i。,在逻辑函数中，有n个变量为A1An，M是这n个变量的或项，若和项M包括全部n个变量（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。,三变量的最大项,M0,M1,000,001,0,1,同一组变量取值，任意两个不同最大项的和为1，即Mi+Mj=1(ij),全部最大项之积为0，即,在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1;,最小项与最大项的关系,相同编号的最小项和最大项存在互补关系最小项的反是最大项；最大项的反是最小项,即:,mi=,Mi,Mi=,mi,如：,最小项与最大项的关系,=,=,即：,可推出：,=m0+m2+m4+m6,2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）,性质：最小项的性质和最大项的性质之间具有对偶性，例如，全部最小项之和恒等于“1”；那么，全部最大项之积恒等于“0”，其他性质可以类推。,2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）,二、积之和表达式（与或表达式）逻辑函数被表达成一系列乘积项之和，则称之为积之和表达式，也叫与或表达式。,逻辑函数的标准形式,解：F(A、B、C),解:,从真值表找出F为1的对应最小项,然后将这些项逻辑加,F(A、B、C),逻辑函数的标准形式,2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）,函数的最小项标准式例：写出函数Y（ABC）=AB+BC+CA的最小项表达式。解：这是一个包含ABC三个变量的逻辑函数表达式，乘积项AB中缺少C，利用（C+C）乘以AB，同理（A+A）乘以BC，（B+B）乘以ACY=AB（C+C）+BC（A+A）+CA（B+B）=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=m7+m6+m3+m5=m3（3，5，6，7）利用了重叠律A+A=A,2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）,函数的最小项标准式练习：写出函数Y（ABC）=A+BC的最小项表达式。,2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）,函数的最小项标准式例：写出函数Y（ABC）=A+BC的最小项表达式。解：Y=A（B+B）（C+C）+BC（A+A）=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+A BC+A B C+ABC=m3+m2+m1+m0+m7=m3（0，1，2，3，7）,2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）,函数的最小项标准式例：函数Y=AB+BC的真值表如下，求函数Y的最小项表达式。由表可知，使Y=1的输入变量 ABC的取值组合有001、010、011、101四组，相应的最小项为四项，所以，最小项表达式为Y=ABC+ABC+ABC+ABC Y=m1+m2+m3+m5=m3（1，2，3，5）,2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）,反函数的最小项标准式如果将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式例：写出上一函数Y（ABC）=AB+BC的反函数Y最小项表达式。解：Y=m0+m4+m6+m7=m3（0，4，6，7）,2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）,三、函数的最大项标准式逻辑函数被表达成一系列和项这积，则称为和之积表达式，也称为函数的或与表达式，如果构成函数的或与表达式中的每一个项均为最大项，则称这种表达式为最大项标准式如F=（A+B+C）（A+B+C）（A+B+C）逻辑函数最大项表达式可由真值表直接写出，并且和真傎表一样，也具有唯一性用逻辑代数的基本定律和公式，也可将逻辑函数的其他表达式展开或变换成最大项表达式,2.4.3 逻辑函数的标准形式（续）,三、函数的最大项标准式例：写出函数Y（ABC）=（A+C）（A+B）的最大项表达式。解：Y=(A+C)+(BB)(A+B)+(CC)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M0M2M4M5=M3（0，2，4，5）,如果给定的逻辑函数的真值表，如是该行的函数值是0，则函数的最大项表达式中应包含该行对应的最大项。,三、函数的最大项标准式,逻辑电路所用门的数量少,每个门的输入端个数少,逻辑电路构成级数少,逻辑电路保证能可靠地工作,2.5 逻辑函数的化简,最简式的标准,首先是式中乘积项最少,与或表达式的简化,与门的输入端个数少,消项：利用A+AB=A消去多余的项AB,2.5.1 代数化简法,例 用并项法化简 下列逻辑函数,F1=ABCD+ABCDF2=AB+ACD+A B+ACD 解：F1=A(BCD+BCD)=A F2=A(B+CD)+A(B+CD)=（B+CD）（A+A）=（B+CD）,2.吸收法,利用定理：A+AB=A可将AB项消去。A和B同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。例:用吸收法化简下列逻辑函数F1=(AB+C)ABD+ADF2=AB+AB C+ABD+AB(C+D)解：F1=(A B+C)BAD+AD=AD F2=AB+AB C+D+（C+D)=AB,3.消项法,利用定理5：AB+AC+BC=AB+AC 及 AB+AC+BCD=AB+AC将BC或BCD消去。其中A、B、C、D都可以是任何复杂的逻辑式。例 用消项法化简下列逻辑函数 F1=AC+AB+B+C=AC+BC F2=ABCD+ABE+ACDE=(AB)CD+(AB)E+(CD)EA=ABCD+ABE,4.消因子法,利用定理2：A+AB=A+B可将AB中的A消去。A、B均可以是任何复杂的逻辑式。例 利用消因子法化简下列逻辑函数F1=B+ABC F2=AB+B+AB解：F1=B+ABC=B+AC F2=AB+B+AB=A+B+AB=A+B,5.配项法,(1)根据基本公式中的A+A=A可以在逻辑函数式中重复写入某一项，有时能获得更加简单的化简结果。例 化简逻辑函数F=ABC+ABC+ABC。解：若在式中重复写入ABC，则可得到 F=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AB(C+C)+BC(A+A)=AB+BC,代数法化简函数,解：,或与表达式的简化,化简利用逻辑代数的基本公式和常用公式对逻辑代数式进行运算，消去式中多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子。例：Y=A+AB(A+CD)+ABCD,代数法化简函数,例：试简化函数,解：,或与表达式的简化,卡诺图（K图）,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,B,A,AB,B,A,1,0,1,0,m0,m2,m1,m3,mi,C,AB,0,1,00,01,11,10,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m2,m4,m6,m1,m3,m5,m7,m0,m4,m8,m12,m1,m5,m9,m13,m3,m7,m11,m15,m2,m6,m10,m14,CD,AB,2.5.2 卡诺图化简法,B,A,图形法化简函数,k图为方形图。n个变量的函数k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；,k图中行、列两组变量取值按格雷码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。,有三种相邻：几何、相对（行列两端）和对称相邻（图中以0、1分割线为对称轴）方格均属相邻。P35,图形法化简函数,几何相邻的2i（i=1、2、3n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用含（n-i）个变量的积项标注该圈。,图形法化简函数,与或表达式的简化,先将函数填入相应的卡诺图中，存在的 最小项对应的方格填1，其它填0或不填。,合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起 来，要求圈的数量少、范围大，圈可重 复包围，但每个圈内必须有新的最小项。,每个圈写出一个乘积项，按取同去异原则,最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达 式。,根据函数填写卡诺图,1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填 1，其余格均填0或不填；,2、若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那 些最小项对应的方格填1，其余格均填0；,例子,3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。,例子,作圈的步骤,1、孤立的单格单独画圈；,2、圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须 有新的最小项；,3、含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项。,图形法化简函数,解：,AB,AC,图形法化简函数,例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图,1,1,1,图形法化简函数,例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图,1,1,1,F=,+,得：,图形法化简函数,为了更有规律的化简逻辑函数，先来看几个概念,蕴涵项 在函数的与或表达式中，每一个与项称为该函数的。对应在卡诺图中它就是一个卡诺圈。,质蕴涵 函数中的蕴涵项不是该函数的其它蕴涵项的子集，则此蕴涵项称为，在卡诺图中称之为极大圈。,实质最小项 只被一个质蕴涵所覆盖的最小项称为，又称实质 1 单元。,必要质蕴涵 包含实质最小项的质蕴涵，称为，在卡诺图上称为必要极大圈。,卡诺图上的最小覆盖 挑选数目最少的质蕴涵（极大圈），即覆盖了卡诺图上所有标 1 的小方格，这就是。,解：,AC,AD,BC,化简得：,最简与非与非式为：,图形法化简函数,用卡诺图化简,1.F=m4（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）2.F（ABCD）=AD+ABD+ABCD+ABCD3.F（ABC）=AB+BC+BC+AB,卡诺图化简的另一种方法圈0法,如果一个逻辑函数用卡诺图表示后，里面的0很少且相邻性很强，这时用圈0法更简单。但要注意，圈0后，应写出反函数F，再取反，得原函数,卡诺图化简的另一种方法圈0法,F=m4（0,1,2,3,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15）,2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式,一、约束项、任意项和无关项1、约束项：在具体逻辑电路中，某些逻辑变量的取值不是任意的，对输入变量取值所加的限制称为约束，同时，把这一组变量称为具有约束的一组变量。若有三个逻辑变量ABC分别表示一台电动机的正转、反转和停止，即A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止，则ABC取值只能是001、010、100，而不能是其它5种组合,2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式,1、约束项：即具有约束ABC=ABC=ABC=ABC=ABC=0ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=0这些恒等于0的最小项称为约束项,2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式,2、任意项：任意项指输入在某些取值下函数取值01均可，并不影响电路功能。例：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系,2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式,红灯 绿灯 黄灯 车A B C F0 0 0 0 0 1 00 1 0 10 1 1 0 0 01 0 1 1 0 1 1 1,2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式,在这个函数中，有5个最小项是不会出现的，如三个灯都亮，都不亮，因为一个正常的系统不可能出现这样的情况，如果出现了，车也可以停也可以行，即逻辑任意值，对应的5个最小项称为任意项,2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式,3、无关项：存在约束的情况下，由于约束项恒为0，所以既可以把约束项放到逻辑函数中，也可以在逻辑函数中删除某些约束项，同样，任意项也可以写入或不写入，因而把任意项和约束项统称这无关项。无关项在卡诺图中用d或 表示。带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为F=m3（）+d3（）,2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式,定义：当函数输出与某些输入组合无关时，这些输入组合称为无关项。产生原因：这些输入组合在正常操作中不会出现(即输入具有约束条件)；即使这些输入可能出现(即输入不具有约束条件)，但实际上输出与它们无关。,2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式,化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽可能扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。只包含一个最小项F=ABC如果把它相邻的三个d当作1，则卡诺圈包含四个最小项，F=B，其含义为，只要绿灯亮，车就行,2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式,某逻辑函数输入是8421BCD码（即不可能出现10101111这6种输入组合），其逻辑表达式为F=m4（1,4,5,6,7,9）+d4（10,11,12,13,14,15）用卡诺图法化简该逻辑函数。不考虑无关项F=AB+BCD,11,10,2.5.3 利用无关项输入简化函数表达式,某逻辑函数输入是8421BCD码（即不可能出现10101111这6种输入组合），其逻辑表达式为F=m4（1,4,5,6,7,9）+d4（10,11,12,13,14,15）用卡诺图法化简该逻辑函数。考虑无关项F=B+CD,11,10,解：,填函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,化简,不考虑约束条件时：,考虑约束条件时：,引入变量卡诺图化简,引入变量卡诺图（variable entered map）VEM 就是从逻辑函数中分离出一个或多个输入变量作为引入变量，剩余的输入变量组合减少为原来的一半或更多，然后将包含引入变量的函数值填入卡诺图中，这样的卡诺图称之为,引入变量卡诺图,例：用VEM方法化简函数Y=+,D,D,D,D,0,0,ACD,ACD,引入变量卡诺图,例：用VEM方法化简函数,熟练掌握布尔代数的基本公式、定理和规则。,熟练掌握最小项、最大项的定义及其性质。,熟练掌握代数法化简逻辑函数。,熟练掌握卡诺图化简逻辑函数（注意包含任意项的化简）。,