数字电路康华光(第五版)ch2逻辑代数.ppt

1,2.逻辑代数,2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的卡诺图化简法,2,本章要求：,1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式和规则，掌握逻辑函数的变换和代数化简法。,2、掌握逻辑函数的卡诺图化简法。,3,逻辑代数的基本定律和恒等式,2.1 逻辑代数,逻辑函数的变换及代数化简法,逻辑代数的基本规则,4,2.1 逻辑代数,逻辑代数是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。,逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1”和“0”表示。,5,1、逻辑常量运算公式,逻辑代数的基本定律和恒等式,6,2、逻辑常量、变量运算公式,真值表证明法:变量的取值只能为0或1，分别代入，等式左右两边均相等，即可验证,7,3、逻辑代数的基本定律,逻辑代数的基本定律是化简和变换逻辑函数式，分析、设计逻辑电路的重要工具。,1）与普通代数相似的定律,普通代数不适用,8,证 明,吸收律,2）吸收律,9,3)包含律,10,4）反演律（摩根定律）,(真值表证明法),11,“异或”运算,AA=0,A0=A,AB=BA,A(BC)=(AB)C,A(BC)=(AB)(AC),12,2.1.2 逻辑代数的基本规则,代入规则,在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。,例：B(A+C)=BA+BC，,用A+D代替A，得,B(A+D)+C=B(A+D)+BC=BA+BD+BC,代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围,13,对于任意一个逻辑函数表达式L，若将其中所有的 与（）换成或（+），或（+）换成与（）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的非函数。,2.反演规则,解：按照反演规则，得,14,对于任何逻辑函数式，若将其中所有的 与（）换成或（+），或（+）换成与（）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作。,例:逻辑函数 的对偶式为,3.对偶规则,对偶规则：当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。,15,化简的主要方法：公式法（代数法）图解法（卡诺图法）,代数化简法：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简。,最简与-或表达式：包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少。,化简的意义：由真值表直接写出的逻辑式及由此画出的逻辑图，一般比较复杂。若经过简化，则可使用较少的逻辑门实现同样的逻辑功能，从而可节省器件，降低成本，提高电路工作的可靠性。,逻辑函数的化简与变换,1、逻辑函数的化简,16,例：,a)并项法,b)吸收法,例：,运用公式，将两项合并为一项，并消去一个变量。,运用公式，消去多余的与项。,2、代数化简法,17,在不能直接运用公式化简时，可通过乘 或加，进行配项再化简。,c)消去法,d)配项法,例：,运用公式，消去多余因子。,18,例：,例：,19,1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；2.代数法化简技巧性强，无一套完善的方法可循，而是依赖于人的经验和灵活性，因此较难掌握；3.判断用代数法化简后得到的逻辑表达式是否为最简式有一定困难。,代数法化简在使用中遇到的困难：,20,“或-与”表达式,“与非-与非”表达式,“与-或-非”表达式,“或非或非”表达式,“与-或”表达式,3、逻辑函数的变换,逻辑代数变换，可用不同的门电路实现相同的逻辑功能。,21,b)应用“与非”门构成“与”门电路,a)应用“与非”门构成“非”门电路,22,d)用“与非”门构成“或非”门,c)应用“与非”门构成“或”门电路,23,例:已知逻辑函数表达式为,要求：（1）化简得最简的与-或表达式；（2）仅用与非门，画出最简表达式的逻辑图。,解：,24,2.2 逻辑函数的卡诺图化简法,2.2.2 逻辑函数的最小项表达式,2.2.1 最小项的定义及性质,2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数,2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数,25,n个变量X1,X2,Xn的最小项是n个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。n个变量应有2n个最小项。,不是最小项。,例如：A、B、C三个逻辑变量的最小项有8（23）个，即,1、最小项的定义,最小项的定义及其性质,26,对于任意一个最小项，有且只有一组变量取值使得它的值为1；,对于变量的任一组取值，有且只有一个最小项的值为1。,2、最小项的性质,三个变量的所有最小项的真值表,27,3、最小项的编号,三个变量的所有最小项的真值表,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,最小项的表示：通常用m i表示最小项，m 表示最小项,下标i(使该最小项为1的变量取值所对应的十进制数)为最小项号。,28,逻辑函数的最小项表达式,=m7m6m3m1,逻辑函数的最小项表达式 为“与-或”逻辑表达式；在“与-或”式中的每个乘积项都是最小项。,29,a.去掉非号,b.去括号,30,2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数,1、卡诺图的引出,将n个变量的全部最小项都用小方块表示，并将这些小方块按一定规则排列起来（使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻），这样得到的图形叫n变量的卡诺图。,逻辑相邻的最小项：如果两个最小项有且只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。,31,1,0,1,0,0,1,00,01,11,10,三变量卡诺图,四变量卡诺图,两变量卡诺图,一变量卡诺图,1,0,32,各小方格对应于变量不同的最小项，而且上下左右在几何上相邻的方格内有且只有一个因子不同;水平方向同一行里，最左和最右端的方格也符合上述相邻规律；垂直方向同一列里，最上和最下端的方格也符合上述相邻规律。,2、卡诺图的特点,33,3、已知逻辑函数画卡诺图,当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,34,例:画出下式的卡诺图,35,2)填写卡诺图,0,0,0,0,0,36,2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数,1、化简的依据,37,2、化简的步骤,用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：,(4)将所有包围圈对应的乘积项相加，即可得最简与-或表达式。,(1)将逻辑函数写成最小项表达式;,(2)按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填“1”，其余方格填“0”。,(3)合并最小项，即将相邻的“1”方格圈成一组(包围圈)，每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个乘积项。,38,画包围圈时应遵循的原则：,（1）包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。,（2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。,（4）所以“1”方格都必须被包围；同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。,（3）一个包围圈的方格数要尽可能多,包围圈的数目要可能少。,39,例:用卡诺图法化简下列逻辑函数,（2）画包围圈合并最小项，得最简与-或表达式,解：(1)由L 画出卡诺图,40,例:用卡诺图化简,圈0,圈1,41,含无关项的逻辑函数及其化简,无关项：在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。,在含有无关项逻辑函数的卡诺图化简中，它的值可以取0或取1，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。,42,例:要求设计一个逻辑电路，能够判断由8421BCD码表示的一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，电路输出为0。,解:(1)列出真值表,(2)画出卡诺图,(3)卡诺图化简,43,课后作业,P64：2.1.4 1、3、5、7、9、2.2.31、3、5、7,