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逻辑代数基础,1.1 基本概念,特定功能,逻辑（A&F）：事物的因果关系，即输入、输出之间变化的因果关系。,逻辑事件(A、F)：有且仅有两个相互对立的状态，且必定出现两个状态中的一个。,逻辑控制（AF）：A F，FA。,开关与灯,基本逻辑关系（逻辑函数）,非、与、与非、或、或非、同或和异或,1.非,（1）实例,（2）真值表,（3）逻辑符号,（4）逻辑表达式,(“1”真，”0”假),2.与,（1）实例,（2）真值表,（3）逻辑符号,（4）逻辑表达式,F=AB,（1）真值表,（2）逻辑符号,（3）逻辑表达式,3.与非,与,非,与非,4.或,（1）实例,（2）真值表,（3）逻辑符号,（4）逻辑表达式,F=A+B,4.或非,（1）真值表,（2）逻辑符号,（3）逻辑表达式,非,或,或非,5.异或,（1）真值表,（2）逻辑符号,（3）逻辑表达式,6.同或,（1）真值表,（2）逻辑符号,（3）逻辑表达式,F=AB,实训一是异或逻辑关系吗？,异或取非是什么？,多变量的函数表达式,与 F=ABC,或 F=A+B+C,与非,或非,与或非,等 等,运算的优先级别,括号非运算与运算或运算,1.3 逻辑变量与逻辑函数,逻辑变量：字母A、B、F逻辑函数：表达式F=A+B,F=A+B,逻辑代数的基本运算法则,1公理和基本定律 逻辑代数的公理有：,（1）,（2）,（3）10=01=0；1+0=0+1=1,（4）00=0；1+1=1,（5）如果A0 则A=1；如果A1 则A=0。,逻辑代数的基本定律有：,（1）交换律 AB=BA；A+B=B+A,（2）结合律 A（BC）=（AB）C；A+（B+C）=（A+B）+C,（3）分配律 A（B+C）=AB+AC；A+BC=（A+B）（A+C）,（4）0 1 律 1A=A；A+0=A 0A=0；A+1=1,（5）互补律,（6）重叠律 A A=A；A+A=A,（8）反演律摩根定律,口诀：同一屋檐下，分开关系变。,（7）还原律,反演律摩根定律的证明,等式两边的真值表如表1.3所示：,利用上面的公理、定律、规则可以得到一些常用的公式。,2.常用公式,（1）吸收律 A+AB=A,（2）还原律,（3）冗余律,证明：,3逻辑代数的三个基本规则,（1）代入规则,例：已知 B（A+C）=BA+BC，现将A用函数（A+D）代替，证明等式仍然成立。,证：等式左边 B（A+D）+C=BA+BD+BC,B（A+C）=BA+BC,B（A+D）+C=B（A+D）+BC,等式右边 B（A+D）+BC=BA+BD+BC,(2)对偶规则,例：F=A（B+C）则对偶式 F=A+B C,对偶规则：是指当某个恒等式成立时，则其对偶式也成立；如果两个逻辑表达式相等：F=G，那么它们的对偶式也相等：F=G。,F,F,F=（A+0）（B1）则对偶式 F=A 1+（B+0）,（3）反演规则,要保持原式中逻辑运算的优先顺序；不是一个变量上的反号应保持不变，否则就要出错。,例题：写出下列逻辑函数的反函数,1.2.,（1）吸收律,（2）冗余律,（3）反演律摩根定律,小结：,1.逻辑表达式 例如：F=A+B，Y=AB+C+D 等。,逻辑函数的表示方法,逻辑函数的表示方法主要有：逻辑函数表达式、真值表、逻辑图、卡诺图、波形图。,2.真值表,例题1：,两变量函数真值表,解：该函数有3个输入变量，共有23=8种输入取值组合，分别将它们代入函数表达式，并进行求解，得到相应的输出函数值。将输入、输出一一对应列出，即可得到真值表。,例2:列出函数 的真值表,提示：在列真值表时，输入变量的取值组合应按照二进制递增的 顺序排列，这样做既不容易遗漏，也不容易重复。,3.逻辑图,例3：逻辑函数 的逻辑图如下图所示。,01-2,例4：根据逻辑图写出下列逻辑函数表达式.,4.卡诺图,1.4 逻辑函数的化简,问题的提出：,x=98+2+1,x=101,0 01 1,比较1：,逻辑图、波形图、电路图、接线、硬件成本又有何差别呢？,判断与或表达式是否最简的条件是：,（1）逻辑乘积项最少；（2）每个乘积项中变量最少。,比较2：,1.4.1 逻辑函数的公式化简法,并项法,利用公式，将两项合并为一项，并消去一个变量，例如：,（1）,（2）,2.吸收法,3.消去法,利用公式，消去多余的因子，例如：,利用公式，吸收掉多余的项，例如：,4.配项法,利用公式，先添上 作配项用，以便消去更多的项。例如：,1.一般先用并项法（提取公因式），看看有没有公共项。,公式法化简的原则,2.再观察有没有可用消去法的消去项。,3.最后试试配项法,例1.4 用公式法化简逻辑函数,解：,化简前逻辑图,化简后逻辑图,例1.5 用公式法化简,可得,根据公式,得,即,根据公式,得,即,解：根据摩根定律,利用配项法再进行化简，可得,逻辑函数的卡诺图化简法,预备知识：最小项和最小项表达式,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,记作m0,记作m1,记作m2,记作m3,记作m4,记作m5,记作m6,记作m7,0,1,2,3,4,5,6,7,每个乘积项包括三个变 量，分别是A、B、C；,这八个乘积项具有以下特点：,每个变量都以原变量（A、B、C）或反变量（）的形式在每个乘积项中出现且仅出现一次。,三个变量有23个最小项，n个变量有2n个最小项。,三变量（A、B、C）表达式：,表1.7 三变量所有最小项的真值表,（2）对于同一个变量取值，任意两个最小项的乘积恒为0。因为在相同的变量取值下，不可能使两个不相同的最小项同时取1值。,最小项具有下列性质：,（1）A、B、C任意取值，每一时刻只有一个最小项取值为1，而其他最小项为0。也即：一个最小项，只有变量的一组取值使得它的值为1，而取其他值时，这个最小项的值都为0。不同的最小项，使它的值为1 的那一组变量取值也不同。,（3）A、B、C任意取定一组值，全体最小项和为1。,逻辑函数的最小项表达式,（1）从一般表达式求最小项表达式(已知原始函数的情况下),解：,（2）由真值表求最小项表达式(不知函数表达式，但知真值表的情况下),例1.7 一个三变量逻辑函数的真值表如表1-8所示，写出其最小项表达式。,表1-8,解：由表可写出其最小项表达式为,或写成,2.卡诺图,以二变量为例，画二变量卡诺图的步骤如下：,确定方格数,用来描述逻辑函数的特殊方格图，每一个方格代表逻辑函数的一个最小项.,填入变量及最小项,A,B,0,1,0,1,00,01,11,10,方格数等于2n，也即等于最小项个数，其中n为变量的数目。,按一定顺序填入最小项。,1,1,0,0,画三变量卡诺图的步骤：,确定方格数,填入变量及最小项,方格数等于2n,其中n为变量的数目。,按一定顺序填入最小项。,1,1,1,0,0,0,0,0,图 1.13 四变量卡诺图,图 1.14 五变量卡诺图,m0 m1 m3 m2,m4 m5 m7 m6,m8 m9 m11 m10,m12 m13 m15 m14,例1.8 画出逻辑函数 的卡诺图。,解：,3.逻辑函数的卡诺图化简法,性质1：卡诺图中两个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去一个变量。,例：,什么是卡诺图化简，它是在做一件什么事？,如何用看卡诺图的方法来化简？,去异，留同！寻找公共项,左图圈中的“1”公共项为B、C两项，且分别为0、1，所以公共项为,公式法化简：,再如：,例：,性质2：卡诺图中四个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去两个变量。,去异，留同！寻找公共项,左图圈中的四个“1”公共项只有C项，且为1，所以公共项为 C。,公式法化简：,再如：,综上所述，在 n 个变量卡诺图中，若有2n（n=0，1，2，k）个相邻1格,可以圈在一起加以合并，合并时可消去k个不同的变量，简化为一个具有(n-k)个变量的与项。若k=n，则合并时可消去全部变量，结果为1。,性质1：卡诺图中两个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去一个变量。,性质2：卡诺图中四个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并 消去两个变量。,性质3：卡诺图中八个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并消去三个变量。,小结：,卡诺图化简原则：1）只能圈偶数个“1”；2）圈越大越好，必要时可以重复圈“1”；3）将所有的“1”项圈入圈中的前提下，圈的总个数越少越好。,例1.9 用卡诺图化简法求逻辑函数 的最简与或表达式,（1）画出函数的卡诺图；,（2）填写“1”项，即为“1”的最小项；,（4）寻找公共保留项。,（3）相邻偶数个“1”画在同一个圈内；,（5）写出最简与或表达式。,黄圈公共保留项为B，值为1，所以公共项为B。,公式法化简：,例1.10 用卡诺图化简函数,解：根据最小项的编号规则，得,（1）画出函数的卡诺图；,（2）填写“1”项，即为“1”的最小项；,（4）寻找公共保留项。,（3）相邻偶数个“1”画在同一个圈内；,（5）写出最简与或表达式。,例1.11 用卡诺图化简函数,解：从表达式中可以看出此为四变量的逻辑函数，但是有的乘积项中缺少一个变量，不符合最小项的规定。因此，每个乘积项中都要将缺少的变量补上：,则有,将这七个最小项填入四变量卡诺图内,化简得,提 示,（1）列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量的个数（如果最小项中缺少变量，应按例1.11的方法补齐）。,（2）画出最小项表达式对应的卡诺图。,（3）将卡诺图中的1格画圈，一个也不能漏圈，否则最后得到的表达式就会与所给函数不等；1格允许被一个以上的圈所包围。,（4）圈的个数应尽可能得少。即在保证1格一个也不漏圈的前提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应，圈数越少，与或表达式的与项就越少。,（5）按照2k个方格来组合（即圈内的1格数必须为1，2，4，8等），圈的面积越大越好。因为圈越大，可消去的变量就越多，与项中的变量就越少。,（6）每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈是多余的。,（7）用卡诺图化简所得到的最简与或式不是唯一的。,练习：判断正确与错误,正确,错误（多画一个圈）,例1,例2,错误（圈的面积不够大）,正确,例3,错误（圈的面积不够大）,正确,例4,错误（有一个圈无新的1格）,正确,4.具有约束项的逻辑函数的卡诺图化简法,什么是约束项,实际中经常会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者说这些变量的取值根本不会出现。例如：一个逻辑电路的输入为8421-BCD码，显然信息中有六个变量组合（10101111）是不使用的，这些变量取值所对应的最小项称为约束项。如果电路正常工作，这些约束项决不会出现，那么与这些约束项所对应的电路的输出是什么，也就无所谓了，可以假定为1，也可以假定为0。约束项的意义在于，它的值可以取0或取1，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。,约束项的表示方法,在逻辑函数表达式中用 表示约束项，例如，说明最小项m2、m4、m5为约束项；也用逻辑表达式表示函数中的约束项，例如说明 所包含的最小项为约束项。约束项在真值表或卡诺图中用来表示。,例1.13 用卡诺图化简逻辑函数,解：该逻辑函数的卡诺图如下图所示。对该图可以有两种化简方案：,化简结果为,化简结果为,例1.12 十字路口的红、绿、黄信号灯分别用A、B、C来表示。1 表示灯亮，0 表示灯灭。车辆的通行情况用 F 来表示，F=0表示停车，F=1表示通车。试用卡诺图化简表达该逻辑事件的逻辑表达式。,1)真值表,解：,2)卡诺图,3)最简逻辑表达式,作 业,P20 1.1（3）1.2（2）.3（2）.4（2）、（3）（4）、（6）、（7）.5（1）1.6（2）P21.6（1）、（2）.7（1）、（2）、（3）.8（2）、（4）、（6）、（8）.9（1）、（2）.10、.11,
