数字控制器的离散化设计技术.ppt

4.2 数字控制器的离散化设计技术 连续化设计技术的弊端：要求相当短的采样周期！因此只能实现较简单的控制算法。由于控制任务的需要，当所选择的采样周期比较大或对控制质量要求比较高时，必须从被控对象的特性出发，直接根据计算机控制理论(采样控制理论)来设计数字控制器，这类方法称为离散化设计方法。离散化设计技术比连续化设计技术更具有一般意义，它完全是根据采样控制系统的特点进行分析和综合，并导出相应的控制规律和算法。离散系统性能指标闭环传递函数(z)（）数字控制器的离散化设计采样周期长的或控制复杂的系统，直接使用采样控制理论设计数字控制器。其控制规律和算法更具有一般意义。,4.2.1 数字控制器的离散化设计步骤 数字控制器的离散化设计方法，是假定被控对象本身是离散化模型或者是用离散化模型表示的连续对象，直接以采样系统理论为基础，以Z变换为工具，在Z域中直接设计出数字控制器。对下图所示的控制系统Gc(s)：被控对象的传递函数，D(z)：数字控制器的脉冲传递函数，H(s)零阶保持器的传递函数。,求离散化模型表示的连续对象。定义广义对象(零阶保持器与被控过程)的脉冲传递函数为：则上图的闭环脉冲传递函数为：于是有：如已知Gc(s)，只要根据设计要求选择好，就能够求得D(z)。由此推得数字控制器的离散化设计步骤。,数字控制器的离散化设计步骤：（1)根据控制系统的性能要求以及实现的约束条件，确定所需要的闭环脉冲传递函数(z)。(2)求带零阶保持器的广义对象的脉冲传递函数G(z)。(3)确定数字控制器的脉冲传递函数D(z)。(4)根据D(z)求取控制算法的递推计算公式。注意：(z)可根据所需要的输入及响应性能确定。,D(z)的一般形式：数字控制器的输出U(z)进行z反变换后，可得到计算机控制算法：,4.2.2 最少拍控制器的设计,补1：无穷大稳定度的采样系统从S平面和Z平面的变换关系看：,S平面上虚轴左边等线，在Z平面上的映像是半径为 的园,假如采样系统在S平面的极点均在等线左边，称系统的稳定度为。显然，值越大，极点左离S平面虚轴越远，稳定度越高，这时Z平面上极点离原点越近。若极点左离S平面虚轴无穷远，则Z=0，在Z平面上的极点均集中在原点处，就称系统具有无穷大稳定度。显然，若采用系统脉冲传递函数的极点全部在Z平面的原点，即Z特征方程的根全部为零，则系统具有无穷大稳定度。,补2：时间最优系统最少拍系统设采样系统的特征方程为：当所有的极点均在原点时，则要求an-1=a1=a0=0,特征方程变为：,假如系统的脉冲传递函数如下式：,当an-1=a1=a0=0成立时，则,（1）式,上式的Z反变换，就是系统的脉冲相应：,它具有有限个脉冲，即在单位脉冲的作用下，它的瞬态过程在有限时间nT结束。这里n为脉冲传递函数的极点数；若无零极点对消，它就是系统的阶数。当控制对象一定，采样频率一定，这种系统就具有最短的瞬变过程，故又称为时间最优或最少拍系统。,最少拍控制：就是要求闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态（在采样时刻）。且闭环脉冲传递函数具有以下形式：闭环脉冲(z)，在N个周期后变为0。式中N是可能情况下的最小正整数。这一形式表明闭环系统的脉冲响应在N个采样周期后变为零，输出保持不变，从而意味着系统在N拍之内达到稳态。,（2）式,（1）式与（2）式的差别？,最少拍系统的设计原则是：若系统广义被控对象G(z)无延迟且在z平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数(z)，使系统在典型输入作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。,对最少拍控制系统设计的具体要求（3个字方针）：（1）“准确性”要求 对典型的参考输入信号，在达到稳态后，系统在采样点的输出值能准确跟踪输入信号，不存在静差；,1、确定闭环脉冲传递函数(z)(1)定义误差脉冲传递函数：,（2）“快速性”要求 在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准确跟踪输入信号所需的采样周期数应为最少；（3）“稳定性”要求 数字控制器D(Z)必须在物理上可实现，且闭环系统必须是稳定的。,根据上图有：则有：典型输入：z变换为：B(z)为不含1-z-1因子的z-1多项式。q=1，输入为单位阶跃输入函数，q=2，输入为单位速度输入函数，q=3，输入为单位加速度输入函数，,（2)根据Z变换的终值定理，求系统的稳态误差，并使其为零（无静差，即准确性约束条件)。则有：要使e()=0，则必须：这里F(z)是关于 的待定系数多项式。为了使(z)能够实现，F(z)中的首项应取为1（为什么？），即,（3)根据最少拍控制，确定最少拍控制的闭环脉冲传递函数(z)（快速性约束条件）根据式（4.2.14)，（4.2.15)可知，(z)中z-1的最高次幂为N=p+q，故系统在N拍可以达到稳态。当p=0时，系统可以在最少q拍(Nmin=q拍)达到稳态。上述两点可得最少拍控制器选(z)为：（4)最少拍控制器D(z)为：,2、典型输入下的最少拍控制系统分析（1）单位阶跃输入（q=1）这时 则有：上式说明只在1拍内有误差。用长除法：以上两式说明，只需一拍(一个采样周期)输出就能跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。,（2）单位速度输入（q=2）这时 则有：上式说明只在2拍内有误差。用长除法有：以上两式说明，只需两拍(两个采样周期)输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。,（3）单位加速度输入（q=3）这时 则有：上式说明只在3拍内有误差 因此系统只需3拍就可以达到稳态。,最少拍控制系统设计,输入信号的一般表达式,误差的一般表达式,3、最少拍控制器的局限性（1）最少拍控制器对典型输入的适应性差 最少拍控制器中的最少拍是针对某一典型输入设计的，对于其它典型输入则不一定为最少拍，甚至引起大的超调和静差。例：按等速输入来设计(z)比较三种不同输入的响应：,阶跃输入 其输出 输出结果：系统在1拍后出现100%超调，2拍后稳定，并达到设定值。,等速输入：其输出 输出结果：系统在2拍后稳定，并达到设定值，与分析结果一致。,等加速输入：其输出 输出结果：2拍后系统出现稳定的静差。,最少拍控制器的适应性特点：针对某典型输入R(z)设计得到的最少拍(z)用于次数较低的R(z)，系统将出现大超调，响应时间也增加，但能稳定无差；用于次数较高的R(z)，系统将产生稳态误差。结论：一种典型的最少拍(z)只适用于该类型输入。（2）最少拍控制器的可实现问题 闭环系统可实现性：闭环系统采用反馈进行控制，即用过去时刻的量去控制下一个时刻的量，它是滞后的。滞后脉冲传递函数不出现zn正幂次项，因此可实现系统的脉冲传递函数不会出现zn正幂次项。,说明 D(z)具有超前性，即在环节施加输入信号之前就应有输出，这样的超前环节不可能实现。,假如：,因此：,如果广义对象的脉冲传递函数为 则由于广义对象中包含零阶保持器，它是滞后的，因此有：degA(z)，degB(z)表示A(z)和B(z)的阶数。设数字控制器D(z)为 则要求：含义：要产生k时刻的控制量u(k)，最多只能利用直到k时刻的误差e(k)、e(k-1)、.以及过去的控制量u(k-1)、u(k-2).。（解释见讲稿P83）,闭环系统的脉冲传递函数 因为有：degP(z)degQ(z)=0，则：上式确定了D(z)可实现时(z)应满足的条件：若G(z)的分母比分子高N阶，则确定(z)时必须至少分母比分子高N阶。,当对象有d个采样周期纯滞后，则其脉冲传函为：则(z)中也应该有纯滞后，滞后时间大于等于d个采样周期，否则根据：D(z)将出现 项，即出现 zn正幂次项，响应超前输入，不能实现。,（3）最少拍控制的稳定性问题 最少拍(z)成立的条件：G(z)是稳定的。否则系统发散，(z)不可能实现。G(z)是不含有纯滞后环节。否则根据最少拍控制器的可实现条件，D(z)不能实现。改进办法：对，在(z)中增加滞后时间大于等于G(z)纯滞后时间的纯滞后。,即当,为满足可实现性，,不含滞后环节,对，如果G(z)不满足稳定的条件，即G(z)有单位园上或园外不稳定的零极点，是不能采用D(z)和G(z)对消零极点的方式补偿成稳定的系统，而必须采用其它的方法。即在确定(z)时增加约束条件，这个约束条件称为稳定性条件。应注意：不能采取D(z)和G(z)零极点对消方式，而从理论上得到稳定的闭环系统。原因：当参数漂移时，零极点对消不能准确实现，系统将出现不稳定极点。,4.2.3 最少拍有纹波控制器的设计 设计时考虑最少拍控制器的可实现性和稳定性条件。一般化的广义被控对象 控制对象传函如下，是滞后时间 采样周期为T,则令,为不含滞后环节部分,则广义对象的(零阶保持器与被控过程)的脉冲传递函数为：上式中若GC(s)不含纯滞后，则d=1；（零阶保持器延迟一拍）若GC(s)含纯滞后，则d 1。,设 G(z)有u个零点b1,b2,bu和v个极点a1,a2,av在单位圆上或圆外，则广义对象的传递函数可表示为：G(z)表示不含单位圆上及圆外零极点部分。1、对于纯滞后环节，可以直接在（z)中加入滞后时间大于等于d个采样周期的纯滞后环节。,2、考虑系统的稳定性。由于D(z)和G(z)的单位圆外上及圆外的零极点不能对消，且D(z)必须是稳定的，即D(z)不能有单位圆上或圆外的零极点（z=1除外)。根据上面三个式子，有：e(z)的零点包括G(z)的单位圆上或圆外的极点。(z)的零点包括G(z)的单位圆上或圆外的零点。这就是稳定性的约束条件。,选择系统闭环脉冲传递函数必须满足的约束条件：1.e(z)零点必须包括G(z)的单位圆上或圆外的极点。,（1）系统稳态误差为0满足：,（2）系统稳定性满足：,综合以上两式：a i为不稳定极点，F1(z)为配平多项式：若G(z)有j个极点在单位圆上z=1，则可确定e(z)：若jq,推导见讲稿P88反面。,2.(z)零点必须包括G(z)的单位圆上或圆外的零点，以及纯滞后部分。,（1）系统可实现性满足：,（2）系统稳定性满足：,综合以上两式：b i为不稳定零点。F2(z)是关于z-1的多项式，且不含G(z)中的不稳定零点bi。为了使(z)能够实现，F2(z)应具有以下形式：3.F1(z)和 F2(z)的阶数选取。若G(z)有j个极点在单位圆上z=1，当jq 原则:最少拍要求(z)中的z-1为最低次幂(z)和e(z)具有同样的阶数。推导见讲稿P87反面,根据上面三个约束条件，可以得到最少拍控制器为：最少拍有波纹控制器的缺点：在最少拍后只能保证采样点的稳态误差为0，而不能保证采样点之间的输出为0。因此系统输出有波纹存在，这种波纹在采样点无法检测，称为隐蔽振荡。形成该缺点的原因：在设计最少拍控制器时只要求采样点的稳态误差为0，数字控制器的输出是振荡收敛的。,小结,考虑控制器的可实现性和系统的稳定性，设计最少拍控制器应满足：,例4-1，下图中被控对象的传函和零阶保持器传函为：采样周期T=1s，针对单位速度输入函数设计最少拍有纹波系统，并画出数字控制器和系统输出波形。解：见讲稿P891、求广义对象的脉冲传递函数。,d=0,u=0,v=1,j=1,q=2 且 jq 则：选择(z)和e(z)：,所以：解得：因此：,数字控制器和系统的输出波型（标准2拍系统）：,4.2.3 最少拍无纹波控制器的设计,最少拍无纹波设计的要求：在典型输入作用下，经过尽可能 少的采样周期以后，输出跟随输入，而且在非采样点上也没有纹波。,1、纹波产生的原因,单位反馈离散系统如下图：,由P102 eg4.1可以看出，E(z)在采样点上一拍后无静差，但U(z)在一拍后并不是常值，而是围绕平均值上下波动，这种控制的结果使得Y(z)上下波动。如果E(k)=0，U(k)为一常值（可以是0），则Y(k)就不会在采样点之间产生纹波。U(k)在若干拍后为常值，实际上就是要求U(z)为 的有限多项式。,由于在进行最少拍系统设计时，为了实现准确性要求（无差）e（z）的零点已包含R(z)的极点，所以上式中只要 为 的有限多项式，则U(z)就是 的有限多项式。,最少拍有纹波控制器出现纹波的原因：数字控制器输出u(k)在若干拍后，不为0或常值，是振荡收敛的。最少拍有纹波控制器纹波的影响：输出在采样点外有偏差；执行机构振荡，功耗和磨损增大。,2、设计最少拍无纹波控制器的必要条件：被控对象Gc(s)中必须有足够的积分环节：,设计最少拍无纹波控制器时，为了获得无纹波的平滑输出y(t)，当若干拍后E(z)0，U(z)为常值时，被控对象Gc(s)必须有能力给出与输入r(t)相同的平滑输出y(t)。即要求 Gc(s)中必须含有足够的积分环节，以保证u(t)为常数时，Gc(s)的稳态输出完全跟踪输入，且无纹波。,上面的要求即为：(1)对阶跃输入，当tNT时，有y(t)=常数；(2)对速度输入，当tNT时，有=常数；(3)对加速度输入，当tNT时，有=常数。这样，被控对象Gc(s)就有能力给出与系统输入r(t)相同的且平滑的输出y(t)。,如果针对速度输入函数进行设计，为了跟踪输入，稳态过程中Gc(s)的输出也必须是速度函数，为了产生这样的速度输出函数，Gc(s)中必须至少有一个积分环节，使得控制信号u(k)为常值(包括零)时，Gc(s)的稳态输出是所要求的速度函数。同理，若针对加速度输入函数设计的无纹波控制器，则Gc(s)中必须至少有两个积分环节。,一般地，若输入信号为：,则无纹波控制能够实现的必要条件是：被控对象传函G(s)中，至少应包含（q-1）个积分环节。,3、最少拍无纹波系统(z)的约束条件：系统输出无纹波，必须保证稳态时的控制信号u(k)为常数或0。系统L个周期达到稳态，则要求u(L)=u(L+1)=u(L+2)=0。1中结论：只要 为 的有限多项式，则U(z)就是 的有限多项式。设广义对象为：,上式中，G(z)的极点多项式A(z)总是有限的，显然，只要(z)/B(z)为 的有限多项式，则 就为有限多项式，这就要(z)必须包含B(z)，即(z)应包含G(z)的所有零点。w为G(z)的所有零点数，b1,b2,bw为G(z)的所有零点。从上面的分析也可以知道控制u(k)振荡的原因：由于G(z)的零点为U(z)的极点，该极点虽然可以保证控制输出稳定，但造成系统的输出振荡收敛。,最少拍无纹波系统(z)的确定：(1)被控对象Gc(s)必须有足够的积分环节；(2)按下式选择(z)(3)按下式选择e(z)（不变）若jq,(4)F1(z)和 F2(z)的阶数选取方法，F1(z)和 F2(z)形式与有纹波系统相同。若G(z)有j个极点在单位圆上z=1，当jq 推导见讲稿P93。无纹波系统的调整时间比有纹波系统的调整时间增加若干拍，增加的拍数等于G(z)在单位圆内的零点数目。,例4-2在例4-1 针对单位速度输入函数，设计最少拍无纹波系统，并画出数字控制器和系统输出波形。解：由Gc(s)知，对象有1个积分环节，满足必要条件要求。由d=0,v=1,w=1,j=1,q=2 且 jq 有：则：,即 可得方程组：解得：所以：,例子中，G(z)在单位圆内有一个零点，无纹波系统经过3拍后达到稳定，比有纹波系统多1拍。,