数字控制器的直接设计方法.ppt

第六章数字控制器的直接设计,第一节 最少拍系统的设计第二节 最少拍无纹波系统的设计,模拟化设计方法：,对连续系统在时间域或S域内讨论问题，设计出模拟调节器。数学工具：微分方程、拉氏变换最后把D（s）离散化为D（z），求出差分方程u(k)。,优点：可以充分利用设计者熟悉的连续系统的设计方法和经验。模拟化法选定的T必须足够小，除满足采样定理外，还要求T的变化对系统性能的影响小。,当采样周期较大或对控制质量要求较高，以及用一台计算机实现多回路控制时，很难满足要求。此时，往往从被控对象的特性出发，直接根据采样系统理论设计控制器，这种方法称为直接设计法。,直接设计法,假定对象本身是离散化模型或者用离散化模型表示的连续对象，以采样理论为基础，以Z变换为工具，在Z域中直接设计出数字调节器D(z)。数学工具：差分方程、Z变换,由于D(z)是依照稳定性、准确性和快速性等要求逐步设计出来的，所以更具一般意义。可实现复杂规律的控制，能大幅度提高系统的性能。,直接设计法可分为二类三种：,解析法：这是在20世纪50年代发展起来的一种方法，它根据给定的闭环性能要求，通过解析计算求得数字调节器的Z传递函数。其中最典型的是最少拍系统的设计。,图解法：与连续系统设计相对应，也分两种：一种是频率法，也称W变换法；一种是根轨迹法。本章重点介绍有限拍设计。,有限拍设计,是指系统在典型输入（阶跃、等速等）作用下具有最快的响应速度，被控量能在最短的调节时间即最少的采样周期数内达到设定值。换言之，偏差能在最短时间内达到并保持为零。,G(s)为被控对象，,为广义对象的脉冲传递函数。,当已知HG(z)，只要根据被控对象期望的性能指标选择好GC(z)，可以求得D(z)。,系统的动态指标和静态指标取决于闭环传函GC(z)。,思路：,已知HG(z)和GC(z)，求D(z)。（1）求带零阶保持器的被控对象的广义脉冲传递函数HG(z)。,（2）根据系统的性能指标要求以及实现的约束条件构造闭环 z 传递函数GC(z)。,（3）根据 计算D(z)。,（4）由D(z)确定控制算法并编制程序。,问题归结为：如何由性能指标及系统特点，确定GC(z)。,第一节 最少拍无差系统的设计,最少拍无差系统最少拍系统，也称最小调整时间系统，最快响应系统或时间最优控制。,是指系统在典型输入（阶跃、等速等）作用下，设计出数字控制器，使系统的调节时间最短，被控量能在最短的调节时间即最少的采样周期数内达到设定值。换言之，偏差采样值能在最短时间内达到并保持为零。,其闭环 z 传递函数具有如下形式：,n是可能情况下的最小正整数。传递函数表明闭环系统的脉冲响应在n个采样周期后变为零，从而意味着系统在n拍之内达到稳态。,对最少拍控制系统设计的具体要求：,准确性要求对典型的参考输入信号，在达到稳态后，系统的输出值能准确跟踪输入信号，不存在静差。,快速性要求系统准确跟踪输入信号所需的采样周期数应为最少。稳定性要求数字控制器D(z)必须在物理上可以实现且闭环系统必须是稳定的。,一、典型输入下最少拍系统的设计方法,典型的输入信号，通常指：单位阶跃输入单位速度输入单位加速度输入,单位阶跃输入：,r(t)=u(t),单位速度输入：,r(t)=t,单位加速度输入：,r(t)=t2/2,典型输入Z变换的一般形式为：,A(z)为不包含(1-z-1)因子的关于z-1的多项式,系统的误差传递函数Ge(z)为：,根据准确性要求，系统无稳态误差，而：,又根据终值定理：,要使稳态误差为0，必须使1-GC(z)，即Ge(z)包含因子(1-z-1)q。,典型输入Z变换的一般形式为：,F(z)是不包含零点z=1的z-1的多项式,其中pq，q 为对应于典型输入R(z)中分母(1-z-1)因子的阶次。,根据快速性要求，即，使系统的稳态误差尽快为0，必然有：,根据快速性要求，对典型输入有：p=q，F(z)=1,1.单位阶跃输入,对典型输入有：,单位阶跃输入,说明系统只需一拍（一个采样周期），输出就能跟随输入。此时：,将Y(z)用长除法展开成z的降幂级数：,由Z变换的定义：,2.单位速度输入,单位速度输入,说明系统只需两拍，在采样点上偏差即为0，输出就跟随输入。,所以对于速度输入信号：,3.单位加速度输入,说明系统过渡过程只需三拍。,上述三种典型输入的设计结果如下表:,注：对象稳定且无圆上和圆外零点，HG(z)不含纯滞后z-r。,对按照某种典型输入设计的最少拍系统，当输入形式改变时，系统的性能变坏，输出响应不一定理想。最少拍系统对输入信号的变化适应性较差。,在前面讨论的最少拍系统D(z)设计过程中，对被控对象G（s）未提出具体限制只有当HG(z)稳定时，即在单位圆上或圆外没有零、极点，而且不含纯 滞后环节z-r，所设计系统才是正确的。否则应对上述原则进行相应的限制。,二、最少拍控制器的可实现性和稳定性要求,物理上的可实现性要求控制器的当前输出信号，只能与当前时刻的输入信号，以及以前的输入和输出信号有关，而与将来的输入信号无关。要求D(z)不能有正幂项。,D(z)的一般表达式：,在上式中，要求 nm,这是因为如果上式分子、分母同除以zn：,如果nm，则分子出现z的正幂项。式中a00也是必要的。,如果被控对象HG(z)含有纯滞后z-r，,所以D(z)将含有zr，故不能实现。为实现控制，GC(z)必须含有z-r，即把纯滞后保留下来。,2.稳定性要求,在最少拍系统中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保证控制变量收敛，方能使系统在物理上真正稳定。,控制变量u对于给定输入r的z传递函数可由下式导出：,如果HG(z)的所有零极点都在单位圆内，那么系统是稳定的。否则，控制变量u的输出也将不稳定。,为了使系统稳定，我们讨论以下三个问题：当HG(z)有不稳定极点时。HG(z)有位于单位圆上或圆外的零点时。HG(z)中包含有纯延迟环节（纯滞后）。,如果HG(z)中有不稳定极点存在，则应该用 D(z)或Ge(z)的相同零点来抵消，但用D(z)不可靠，因为D(z)中的参数由于辨识误差或漂移会造成抵消不完全的情况，使系统不能真正稳定。HG(z)中的不稳定极点常由Ge(z)来抵消,HG(z)中出现的单位圆上（或圆外）的零点，既不能用D(z)，也不能用Ge(z)中的极点来抵消。这样会导致D(z)的不稳定。对于HG(z)中的纯滞后，不能由D(z)消除，这样将使计算机出现超前输出，物理上无法实现。要使系统补偿成稳定的系统，必须对 GC(z)和Ge(z)的选择有一定限制。,思路：,已知HG(z)和GC(z)，求D(z)。求带零阶保持器的被控对象的广义脉冲传递函数HG(z)。,根据系统的性能指标要求以及实现的约束条件构造闭环 z 传递函数GC(z)。,根据 计算D(z)。,由D(z)确定控制算法并编制程序。,单位阶跃输入：,r(t)=u(t),单位速度输入：,r(t)=t,单位加速度输入：,r(t)=t2/2,典型输入Z变换的一般形式为：,A(z)为不包含(1-z-1)因子的关于z-1的多项式,根据准确性要求，系统无稳态误差，而：,又根据终值定理：,要使稳态误差为0，必须使1-GC(z)，即Ge(z)包含因子(1-z-1)q。,典型输入Z变换的一般形式为：,根据快速性要求，即，使系统的稳态误差尽快为0，必然有：,最少拍快速有波纹系统设计时，D(z)、Ge(z)、GC(z)的选择应遵循以下原则：D(z)是在物理上可实现的有理多项式，D(z)不能有正幂项，所以零点个数不能大于极点个数。Ge(z)应把HG(z)的不稳定极点作为自己的零点。GC(z)应把HG(z)的单位圆上和单位圆外的零点作为GC(z)的零点。GC(z)应包含HG(z)中z-r的因子，其方次相同。,三、最少拍系统设计的一般方法,综合考虑最少拍系统设计中需要满足的准确性要求、快速性要求、物理可实现性以及稳定性要求。这里讨论最少拍有波纹系统设计的一般方法,设广义对象的脉冲传递函数为：,为对象的s传递函数,HG(z)中不包含单位圆外或圆上的零极点，以及不包含延迟环节的部分,是广义对象在单位圆上或圆外的u个零点,是广义对象在单位圆上或圆外的v个极点,设定Ge(z)，把HG(z)中单位圆上和圆外的不稳定极点作为自己的零点。,设定GC(z)，把HG(z)的单位圆上和单位圆外的零点作为自己的零点。,F1(z)是关于z-1的多项式，且不包含HG(z)中的不稳定极点ai。,F2(z)是关于z-1的多项式，且不包含HG(z)中的不稳定零点bi。,由准确性知，Ge(z)包含(1-z-1)q 的因子当HG(z)有k 个z1 的极点时，相对于该极点，闭环稳定性条件与准确性条件一致。为使系统具有最少拍响应，可将式（6-35）中对应的(1-z-1)k与(1-z-1)q 合并为：(1-z-1)j，j=max(k,q),广义对象的脉冲传递函数：,设输入信号为：,综合考虑快速性、准确性和稳定性要求，闭环脉冲函数GC(z)必须为：,若HG(z)有k 个z1 的极点，可将(1-z-1)k从 分离出来与(1-z-1)q 合并为：(1-z-1)j，j=max(k,q),阶次：m+u+p,阶次：q+v+n,GC(z)的阶次为m+u+p;Ge(z)的阶次为q+v+n，GC(z)与 Ge(z)的阶次应该相同。,其中p、n为待定系数；,为保证GC(z)有最低的阶次，应选：,注意：GC(z)与 Ge(z)的阶次应该相同。,根据等式两端同次幂系数相等的原则，可求出待定系数。,求解GC(z)与 Ge(z)的系数有两种方法：,由准确性知，Ge(z)包含(1-z-1)q的因子,由稳定性知，Ge(z)包含 的因子,求出GC(z)与 Ge(z)，即可计算出D(z),当HG(z)有k 个z1 的极点，可将(1-z-1)k 与(1-z-1)q 合并。,例6-1 对上图所示的计算机控制系统，其被控对象，已知：K=10s-1，T=Tm=1s，其输入为单位速度函数，试设计快速有波纹系统的D(z)。,解：,显然u=0，v=1，m=1，q=2,根据稳定性要求，HG(z)中z=1的极点应包含在Ge(z)的零点中。,另一方面，对于单位速度输入设计时，由准确性条件知，Ge(z)必须包含(1-z-1)2。,(1-z-1)与(1-z-1)2合并为：(1-z-1)2，j=max(k,q),所以：q+v=2,由于u=0，v=1，m=1，q=2，并且q+v=2,另外，由Y(z)=R(z)GC(z)，求得系统的输出为：,由Y(z)=U(z)HG(z)，求得数字控制器输出为：,假设GC(z)是按单位速度输入设计的：,对同样的控制器，对另两种不同的典型输入，系统的输出如下：,系统经过2T后Y(nT)=R(nT),t=T 时超调量达到100%。,1、已知一被控对象传递函数为：,采样周期T为0.2s。试针对单位速度输入函数设计快速有波纹系统的D(z)。并求出系统的输出Y(0)、Y(1)、Y(2)、Y(3)、Y(4)，说明拍数是多少？。,显然u=1，v=1，m=1，q=2，并且q+v=2,解得：,四、最少拍控制系统的局限性,按最少拍原则设计数字控制系统，是基于采样系统理论直接设计，控制结构简单，设计方法简便，控制器在微机上也易于实现。但还存在一些缺点和问题,（1）系统的适应性差,最少拍控制器的D(z)的设计是根据某类典型输入信号设计的。对其他类型的输入不一定是最少拍，甚至会产生很大的超调和静差,（2）对参数变化的灵敏大（3）控制作用易超过限定范围按最少拍原则设计的系统是时间最优系统，并未对控制量限制。理论上，采样时间越小，调整时间可越短，但实际上不可能。执行机构的饱和特性，控制量将被限定在最大值以内。受执行机构和系统总体要求的限制。,（4）在采样点之间存在纹波最少拍系统只保证系统在采样点上保证稳态误差为零。在许多情况下，系统采样点之间存在波纹，在这种情况下，系统实际是不稳定的。波纹不仅造成误差，也增加了功率损耗和机械磨损。对最少拍无波纹系统设计，前三点局限性也是存在的,HG(z)有一个z=-278(单位圆外)的零点和一个一拍的纯滞后。对于要跟踪的阶跃信号和斜坡信号，分别有 和,设系统采样周期T0.05s，典型输人信号为阶跃信号和斜坡信号，试设计最少拍控制系统。,2、已知一被控对象传递函数为：,在单位阶跃输入下系统的输出为:,在单位斜坡输入下系统的输出:,最少拍控制系统具有最快速的向应。但是它的输出在采样点之间存在有纹波，同时它还需要有很大的控制作用，这个控制作用有可能加剧采样点之间的振荡，还可能在DA输出 端引起饱和。另外，针对某一典型输入所设计的最少拍控制器，对其它输人信号适应性较差。同时，最少拍控制系统还对参数变化过于敏感，参数变化有可能导致控制效果急剧下降。因此，除个别情况以外，最少拍控制系统实用意义不大。,最少拍无纹波控制系统设计,按最少拍控制系统设计出来的闭环系统，在有限拍后即进人稳态。这时闭环系统输出y(k)在采样时刻精确地跟踪输入信号。虽然在采样时刻闭环系统输出与所跟踪的参考输人一致，但是在两个采样时刻之间，系统的输出存在着纹波或振荡。这种纹波不但影响系统的控制性能，产生过大的超调和持续振荡，而且还增加了系统功率损耗和机械磨损。最少拍系统产生纹波的原因 纹波产生根源是零阶保持器的输入序列u(k)在稳态误差消除后，仍然围绕自己的平均值上下波动。,为消除纹波，对闭环系统传递函数的附加要求是：必须包含广义对象HG(z)的所有零点。,单位速度输入信号，设计最少拍无纹波控制系统。,广义对象脉冲传递函数,则最少拍无纹波控制器为:,闭环系统输出序列:,数字控制器的输出序列(即系统的控制变量):,比较可以看出，有纹波系统的调整时间为两个采样周期，系统输出跟随输入函数后，由于数字控制器的输出仍在波动，所以系统输出与采样时刻之间有纹波。无纹波系统的调整时间为三个采样周期，系统输出进入稳态所需时间比有纹波系统增加了一个采样周期。由于系统中数字控制器的输出经3T后为常值，所以无纹波系统输出在采样点之间不存在纹波。,最少拍控制系统的改进,最少拍控制是以调节时间最短为设计准则；最少拍无纹波控制是以调节时间最短和输出无纹波为设计准则。他们的共同缺点是：对输入信号适应性差；对系统参数变化特别敏感，控制效果较差。一般采用的其改进算法，如：阻尼因子法、非最少有限拍控制等等。,