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数字图像处理学第9章 数学形态学原理（第一讲）,9.1 数学形态学的发展,“数学形态学（Mathematical Morphology）是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方法。形态学是生物学的一个分支,常用它来处理动物和植物的形状和结构。,数学形态学发展历史“数学形态学”诞生于1964年。1964年，法国学者J.Serra对铁矿石的岩相进行了定量分析，以预测铁矿石的可轧性。几乎在同时，G.Matheron研究了多孔介质的几何结构、渗透性及两者的关系，他们的研究成果直接导致“数学形态学”雏形的形成。,随后，J.Serra和 G.Matheron在法国共同建立了枫丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。在以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善了“数学形态学”的理论体系，此后，又研究了基于数学形态学的图像处理系统。,“数学形态学”是一门建立在严格的数学理论基础上的科学。G.Matheron 于1973年出版的Ensembles aleatoireset geometrie integrate一书严谨而详尽地论证了随机集论和积分几何，为数学形态学奠定了理论基础。1982年，J.Serra出版的专著Image Analysis and Mathematical Morphology是数学形态学发展的里程碑，它表明数学形态学在理论上已趋于完备，在实际应用中不断深入。,随着数学形态学逻辑基础的发展，其应用开始向边缘学科和工业技术方面发展。数学形态学的应用领域已不限于传统的微生物学和材料学领域，80年代初又出现了几种新的应用领域如：工业控制、放射医学、运动场景分析等。数学形态学在我国的应用研究也很快，目前，已研制出一些以数学形态学为基础的实用图像处理系统，如：中国科学院软件研究所、电子研究所和自动化所参加研究的癌细胞自动识别系统等。,数学形态学是一门综合了多学科知识的交叉科学，其理论基础颇为艰深，但其基本观念却比较简单。它体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随机过程等许多数学理论，其中积分几何和随机集论是其赖以生存的基石。总之，数学形态学是建立在严格的数学理论基础上而又密切联系实际的科学。,利用数学形态学进行图像分析的基本步骤有如下几步：1）提出所要描述的物体几何结构模式，即提取物体的几何结构特征；2）根据该模式选择相应的结构元素，结构元素应该简单而对模式具有最强的表现力；,3）用选定的结构元对图像进行击中与否（HMT）变换，便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图像。如果赋予相应的变量，则可得到该结构模式的定量描述；4）经过形态变换后的图像突出了我们需要的信息，此时，就可以方便地提取信息；,数学形态学方法的优势：1 在图像恢复处理中，基于数学形态学的形态滤波器可借助于先验的几何特征信息利用形态学算子有效地滤除噪声，又可以保留图像中的原有信息；数学形态学算法易于用并行处理方法有效的实现，而且硬件实现容易；基于数学形态学的边缘信息提取处理优于基于微分运算的边缘提取算法，它不象微分算法对噪声那样敏感，同时，提取的边缘也比较光滑；利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连续，断点少。,数学形态学的核心运算是击中与否变换（HMT），在定义了HMT及其基本运算膨胀（Dilation）和腐蚀(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植一些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种形态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分重要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息的关键。,一般情况，结构元的选择本着如下几个原则进行：1）结构元必须在几何上比原图像简单，且有界。当选择性质相同或相似的结构元时，以选择极限情况为益；2）结构元的凸性非常重要，对非凸子集，由于连接两点的线段大部分位于集合的外面，故而用非凸子集作为结构元将得不到什么信息。,总之，数学形态学的基本思想和基本研究方法具有一些特殊性，掌握和运用好这些特性是取得良好结果的关键。,9.2 数学形态学的基本概念和运算,用于描述数学形态学的语言是集合论。集合代表图像中物体的形状。,一些基本的定义,（1）集合：具有某种性质的确定的有区别的事物的全体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常用大写字母 A,B,C,表示，空集用 表示。,设 为一自由空间，是由集合空间 所构成的幂集，集合，则集合 和 之间的关系只能有以下三种形式：,集合B包含于X（表示为）集合B击中X（表示为），即：集合B相离于X（表示为），即：,图 91 击中X，相离于X，包含于X,（2）元素：构成集合的每一个事物称之为元素，元素常用小写字母 表示，应注意的是任何事物都不是空集的元素。,（3）平移转换：,设A和B是两个二维集合，A和B中的元素分别是,定义，对集合的平移转换为:,(98),（4）子集：当且仅当A集合的所有元素都属于B时，称A为B的子集。,（5）补集：定义集合A的补集为:,(99),（6）差集：定义集合A和B的差集为,(910),(911),（8）并集：由A和B的所有元素组成的集合称为A和B的并集。,（9）交集：由A和B的公共元素组成的集合称为A和B的交集。,（7）映像：定义集合B的映像为,(912),图92(a)集合A；(b)用x平移集合A后的结果；(c)集合B；(d)B的反转；(e)集合A和它的补集；(f)两个集合的差集(如阴影所示)。前四幅图的黑点表示了每个集合的起点。,二值形态学,膨胀,为 中的集合，为空集，被 的膨胀，记为，为膨胀算子，膨胀的定义为：,=|(),(912),该式表明的膨胀过程是B首先做关于原点的映射，然后平移x。A被B的膨胀是 被所有x平移后与A至少有一个非零公共元素。,根据这个解释，公式(912)可以重写如下：,同在其他的形态处理中一样，集合B在膨胀操作中通常被称为结构元素。,=|(),(913),图93(a)表示一个简单的集合，图93(b)表示一个结构元素及其“映射”。在此图情况下，因为结构元素B关于原点对称，所以，结构元素B及其映射 相同。图93(c)中的虚线表示作为参考的原始集合，实线示出若 的原点平移至x点超过此界限，则 与A的交集为空。,这样实线内的所有点构成了A被B的膨胀。图93(d)表示预先设计的一个结构元素，其目的是为了得到一个垂直膨胀比水平膨胀大的结果。图93(e)显示为用此构成元素膨胀后得到的结果。,图 93 膨胀操作的例子,腐蚀,为 中的集合，被 腐蚀，记为，其定义为：,(914),也就是说 被 的腐蚀的结果为所有使 被x平移后包含于 的点x的集合。与膨胀一样，公式(914)也可以用相关的概念加以理解。,腐蚀 腐蚀的另一种解释。对一个给定的目标图像X和一个结构元素S，想象一下将S在图像上移动。在每一个当前位置x，S+x只有三种可能的状态(1)S+xX；(2)S+xXC；(3)S+xX与S+xXC均不为空。,图94表示了类似于图93的一个过程。象以前一样，集合A在图94(c)用虚线表示作为参考。实线表示若B的原点平移至x点超过此界限，则A不能完全包含B。这样，在这个实线边界内的点构成了A被B的腐蚀。,图94(d)画出了伸长的结构元素，图94(e)显示了A被此元素腐蚀的结果。注意原来的集合被腐蚀成一条线了。,图 94 腐蚀操作的例子,膨胀和腐蚀是关于集合补和反转的对偶。也就是,(915),关于上式的正确性可证明于下：,从腐蚀的定义可知：,如果集合()包含于集合，那么()=，在这种情况下，上式变为,()=|()=,但是满足()=的集合 的补集是使()的 集合。这样,()=|()=,命题得证。,膨胀和腐蚀运算的一些性质对设计形态学算法进行图像处理和分析是非常有用的，下面列出几个较重要的性质：,、交换性：(916)、结合性：(917)、递增性：(918),、分配性：(919)(920)(921)(922),开运算（Opening）和闭运算(Closing),如前边所见，膨胀扩大图像，腐蚀收缩图像。另外两个重要的形态运算是开运算和闭运算。开运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，去掉细的突出。闭运算也是平滑图像的轮廓，与开运算相反，它一般熔合窄的缺口和细长的弯口，去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。,设 A 是原始图像，B 是结构元素图像，则集合A 被结构元素 B 作开运算，记为 AB，其定义为：,(923),换句话说，A 被 B 开运算就是A 被 B 腐蚀后的结果再被B 膨胀。,设 A是原始图像，B 是结构元素图像，则集合 A 被结构元素 B 作闭运算，记为，其定义为：,换句话说，A 被 B 开运算就是 A 被 B 膨胀后的结果再被 B 腐蚀。,(924),图95图释了集合A 被一个圆盘形结构元素作开运算和闭运算的情况。图95(a)是集合 A，95(b)示出了在腐蚀过程中圆盘结构元素的各个位置，当完成这一过程时，形成分开的两个图形示于图95(c)。,注意，A 的两个主要部分之间的桥梁被去掉了。“桥”的宽度小于结构元素的直径；也就是结构元素不能完全包含于集合 A 的这一部分，这样就违反了公式(914)的条件。由于同样的原因 A 的最右边的部分也被切除掉了。,图95(d)画出了对腐蚀的结果进行膨胀的过程，而图95(e)示出了开运算的最后结果。同样地，图95(f)-95(i)示出了用同样的结构元素对 A 作闭运算的结果。结果是去掉了A 的左边对于 B 来说较小的弯。注意，用一个圆形的结构元素对集合 A 作开运算和闭运算均使A 的一些部分平滑了。,图 95 开运算和闭运算的图示,开运算和闭运算有一个简单的几何解释。假设我们把圆盘形结构元素 看作一个（平面的）“滚动球”。的边界为 在 内滚动所能达到的最远处的 的边界所构成。这个解释能从图95(a)得到图95(e)。,注意所有的朝外的突出角均被圆滑了，而朝内的则没有影响。突出的不能容下这球的部分被去掉。这种开运算的几何拟合性得出了集合论的一个定理：,被 的开运算就是 在 内 的 平 移(保 证()所得到的集合的并集。这样开运算可以被描述为拟合过程，即：,(925),图96图释了这个概念，为了多样性这里我们用了一个非圆形的结构元素。,图 96 开运算的拟合特性,闭运算也有类似的几何解释。再次用滚动球的例子，只不过我们在边界外边滚动该球（开运算和闭运算是对偶的，所以让小球在外面滚动是合理的）。有了这种解释，图95(i)就很容易从图95(a)得到。,注意所有的朝内的突出角均被圆滑了，而朝外的则保持不变。集合 的最左边的凹入被大幅度减弱了。几何上，点 为 的一个元素，当 且 仅 当 包 含 的 与 的交集非空，即。图97解释了这一性质。,图 97 闭运算的几何解释,像膨胀和腐蚀一样，开运算和闭运算是关于集合补和反转的对偶。也就是,(926),开运算有下列性质,、是集合 的子集(子图)；、如果 C 是 D 的子集，则 是 的子集；、,同样，闭运算有下列性质:,、是集合 的子集(子图)；、如果 C 是 D 的子集，则 是 的子集；、,这些性质有助于对用开运算和闭运算构成的形态滤波器时所得到的结果的理解。例如，用开运算构造一个滤波器。我们参考上面的性质：（i）结果是输入的子集；(ii)单调性会被保持；(iii)多次同样的开运算对结果没有影响。最后一条性质有时称为幂等性。同样的解释适合于闭运算。,图 98 形态学滤波,考虑图98(a)的简单的二值图像，它包含一个被噪声影响的矩形目标。这里噪声用暗元素(阴影)在亮的背景表示，而光使暗目标为空的。注意集合 包含目标和背景噪声，而目标中的噪声构成了背景显示的内部边界。目的是去除噪声及其对目标的影响，并对目标的 影 响 越 小 越 好。,形 态“滤 波 器”可以用来达到此目的。图98(c)显示了用一个比所有噪声成分都大的圆盘形结构元素对 进行开放运算的结果。注意这步运算考虑了背景噪声但对内部边界没有影响。,因为在这个理想的例子中，所有的背景噪声成分的物理大小均小于结构元素，背景噪声在开运算的腐蚀过程中被消除。（腐蚀要求结构元素完全包含于被腐蚀的集合内。）而目标内的噪声成分的大小却变大了(图98(b)，,这在意料之中，原因是目标中的空白事实上是内部边界，在腐蚀中会变大。最后，图98(e)图98(c)示出了形态闭运算的结果。内部的边界在闭运算后的膨胀运算中被消除了，如图98(d)所示。,击中（Hit）击不中(Miss)变换（HMT）,形态学中击中（Hit）击不中(Miss)变换是形状检测的基本工具。我们通过图99引入这个概念。图中集合A包含三个部分（子集），记为。图99(a)-(c)中的图形为原始集合，而图99(d)和(e)中的阴影为形态运算的结果。目标是找到一个图形X的位置。,图 99 击中（Hit）击不中(Miss)变换图例,让每个图形的原点位于它的重心。如果用一个小窗口W包含X，X关于W的本地背景是图99(b)中的集合差(W-X)。图99(c)为集合A的补。图99(d)示出A被X腐蚀的结果。A被X的腐蚀在X中只有X的原点，这样X才能完全包含于A。图99(e)表示集合A的补被本地背景集合(W-X)的腐蚀；外围阴影区域也是腐蚀结果的一部分。,从图99(d)和(e),可以看出集合X在集合A中的位置是A被X的腐蚀和 被(W-X)的腐蚀的交集，如图99(f)所示。这个交集正是我们所要找的。换句话说，如果B记为由X和其背景构成的集合，B在A中的匹配，记为，则,(9-27),可以这样来概括这种表示法,让,其中 是由和目标相关的 B 的元素形成的集合，而 是由和相应的背景相关的 B 的元 素 集 合。根 据 前 面 的 讨 论，。用这种表示法，公式(927)变为,(928),用集合差的定义及膨胀和腐蚀的对偶关系，也可以把公式(928)写为(929)这样集合 包括所有的点，同时，在A中找到了一个匹配“击中”，在 中找到了匹配“击中”。,9.3 一些基本形态学算法,在前面讨论的背景知识基础之上，我们可以探讨形态学的一些实际应用。当处理二值图像时，形态学的主要应用是提取表示和描述图像形状的有用成分。特别是用形态学方法提取某一区域的边界线、连接成分、骨骼、凸壳的算法是十分有效的。,此外，区域填充、细化、加粗、裁剪等处理方法也经常与上述算法相结合在预处理和后处理中使用。这些算法的讨论大部分采用的是二值的图像，即只有黑和白两级灰度，1表示黑，0表示白。,集合A的边界记为(A)，可以通过下述算法提取边缘：设B是一个合适的结构元素，首先令A被B腐蚀，然后求集合A和它的腐蚀的差。如下式所示：(930),边缘提取算法,图910解释了边缘提取的过程。它表示了一个简单的二值图像，一个结构元素和用公式(930)得出的结果。图910(b)中的结构元素是最常用的一种，但它决不是唯一的。如果采用一个55全“1”的结构元素，可得到一个二到三个像素宽的边缘。应注意的是，当集合B的原点处在集合的边界时，结构元素的一部分位于集合之外。这种条件下的通常的处理是约定集合边界外的值为0。,边缘提取算法示意图,9.3.2 区域填充算法,下面讨论的是一种基于集合膨胀，取补和取交的区域填充的简单的算法。在图911中，A表示一个包含一个子集的集合，子集的元素为8字形的连接边界的区域。从边界内的一点P开始，目标是用1去填充整个区域。,假定所有的非边界元素均标为0，我们把一个值1赋给P开始这个过程。下述过程将把这个区域用1来填充：(931)其中，B为对称结构元素，如图911(c)所示。当 k 迭代到 时，算法终止。集合 和 A 的并集包括填充的集合和边界。,如果公式(931)的膨胀过程一直进行，它将填满整个区域。然而，每一步与AC的交把结果限制在我们感兴趣的区域内（这种限制过程有时称为条件膨胀）。图911剩下的部分解释了公式(931)的进一步技巧。尽管这个例子只有一个子集，只要每个边界内给一个点，这个概念可清楚地用在任何有限个这样的子集中。,图 911 区域填充算法,9.3.3 连接部分提取算法,在实际应用中，在二值图像中提取相连接部分是许多自动图像分析应用所关注的问题。Y表示一个包含于集合A相连接部分，假设Y内的一个点P已知。那么下述迭代表达式可得到Y中的所有元素：(932)其中，B为一合适的结构元素，如图912所示。如果 则算法收敛，并使。,公式(932)在形式上与(931)相似。唯一的不同是用A代替了AC，这是因为所提取的全部元素（也就是，相连组成部分的元素）均标记为1。每一迭代步和A求交集可除去以标记为0的元素为中心的膨胀。图912图释了公式(932)的操作技巧。这里，结构元素的形状是8连接的，与区域填充算法一样，以上讨论的结果可以应用于任何有限的包含在集合A中的连接部分。,图 912 连接部分提取算法,图中（a）集A包含一个连接部分Y和初始点P；(b)是结构元；(c)第一次迭代结果；(d)第二次迭代结果；(e)最终结果。,9.3.4 凸壳算法,集合的凸壳是一个有用的图像描述工具。在此，我们提出一种获得集合A凸壳C(A)的简单形态学算法。设 Bi，i=1,2,3,4,代表四个结构元素。这个处理过程由下述公式实现：(933),其中。现令,下标“conv”表示当时收敛。那么，A的凸壳为,(934),换句话说，这个过程包括对A和B1重复使用击中（hit）或击不中（miss)变换；当没有进一步的变化发生时，求A和所谓的结果D1并集。对B2重复此过程直到没有进一步的变化为止。四个结果D的并构成了A的凸壳。,图913(a)示出了为提取凸壳的结构元素（每个结构元素的原点位于它的中心）。图913(b)给出了要提取凸壳的集合 A，从 开始，重复公式(933)四步后得到的结果如图913(c)所示。,然后令 再次利用公式(933)得到的结果示于图913(d)(注意只用两步就收敛了)。下两个结果用同样的方法得到。最后，把图913(c),(d),(e)和(f)中的集合求并的结果就为所求凸壳。每个结构元素对结果的贡献在图913(h)的合成集合中用不同加亮表示。,图913 凸壳算法示例,图913 凸壳算法示例,9.3.5 细化,集合A被结构元素的细化用 表示，根据击中（hit）(或击不中miss)变换定义：(935)对称细化A的一个更有用的表达是基于结构元素序列：(936)其中 是 的旋转。,根据这个概念，我们现定义被一个结构元素序列的细化为)(937)换句话说，这个过程是用 细化A，然后用 细化前一步细化的结果等等，直到A被 细化。整个过程重复进行到没有进一步的变化发生为止。,图914(a)是一组用于细化的结构元素，图914(b)为用上述方法细化的集合A。图914(c)示出用 细化A得到的结果，图914(d)-(k)为用其它结构元素细化的结果。当第二次通过 时收敛。图914(k)示出细化的结果。,图 914 细化处理,图 914 细化处理,9.3.6 粗化运算,粗化是细化的形态学上对偶，记为AB,定义为 ABA(938)其中B是适合粗化的结构元素。象细化一样，粗化可以定义为一个序列运算：AB=）(939),用来粗化的结构元素同细化的结构元素具有相同的形式。只是所有的0和1交换位置。然而，在实际中，粗化的算法很少使用。相反的，通常的过程是细化集合的背景，然后求细化结果的补而达到粗化的结果。换句话说，为了粗化集合A，我们先令，细化C，然后得到 即为粗化结果。图915解释了这个过程。,如图915(d)所示，这个过程可能产生一些不连贯的点，这取决于A的性质。因此，用这种方法粗化通常要进行一个简单的后处理步骤来清除不连贯的点。从图915(c)可以看出，细化的背景为粗化过程形成一个边界。这个有用的性质在直接使用公式(939)实现粗化过程中不会出现，这是用背景细化来实现粗化的一个主要原因。,图 915 粗化处理,9.3.7 骨骼化算法,利用形态学方法提取一个区域的骨格可以用腐蚀和开运算表示。也就是，A的骨骼记为S(A)，骨骼化可以表示如下：(940)和(941)其中B是结构元素，表示对A连续腐蚀k次；,就是：共执行 k 次，K 是 A 被腐蚀为空集以前的最后一次迭代的步骤。即：（942）,等式(940)和等式(941)明确表明集合A的骨骼S(A)可以由骨骼子集Sk(A)的并得到，以上等式同样表明可以通过等式（942）从这些子集中重构。,（943）,公式中 表明参数 k 是对子集 连续膨胀 k 次。正如前面所述，它相当于下式：,（9-44）,图916的解释说明了以上讨论的概念。第一列显示了原始集合（顶部）和通过结构元素B两次腐蚀的图形。由于再多一次对A的腐蚀将产生空集，所以选取K2。第二列显示了第一列通过B的开运算而得到的图形。,以上结果可以通过以前讨论过的开运算拟合性质加以解释。第三列仅仅显示出第一列与第二列的差别。第四列包含两个部分骨骼及最后的结果（第四列的底部）。最后的骨骼不但比所要求的更粗，而且相比较更重要，它是不连续的。形态学给出了就特定图形侵蚀和空缺的描述。,形态学给出了就特定图形侵蚀和空缺的描述。通常，骨骼必须最大限度的细化、相连、最小限度的腐蚀。第五列显示了、以 及。最后一列显示了图像A的重构。由公式(942)可知，A就是第五列中膨胀骨骼子集的“并”。,图 916 骨骼化处理结果,9.3.8 裁剪,由于图形细化和骨骼化运算法有可能残留需要在后续处理中去除的寄生成分，因而剪贴方法成为对图形细化、骨骼化运算的必要补充。下面将讨论裁剪问题，我们将运用已成熟的理论来阐明如何通过融合现今已有的技术来解决这样的一个问题。,分析每个待识别字符的骨骼形状是自动识别手写字符的一种常见处理方法。由于对组成字符的笔画的不均匀腐蚀，字符的骨架常常带有“毛刺”（一种寄生成分）。这里将提出一种解决这种问题的形态学方法。首先我们假设寄生成分“毛刺”的长度不超过3个象素。,图917(a)显示了手写字符“a”的骨骼。在字符最左边部分的寄生成分是一种我们感兴趣的典型的待去除成分。去除的方法是基于不断减少该字符的终点，对寄生成分加以抑制。当然不可否认这样也不可避免的会消去（或减少）被处理字符其余必要的骨架，,但是缺少的结构信息是在我们最多不超过3个象素的假设前提下，即最多减少3个象素的字符结构信息的前提下。对于一个输入集合A，通过一系列用于检测字符端点的结构元素的细化处理，达到我们所希望的结果。即：,(9-45),等式(945)中B表示在图917(b)和(c)中的结构元序列。结构元素的序列包含两个不同的结构，每一个结构将对全部八个元素作90的旋转，图917(b)中的“”表示一个“不用考虑”的情况，在某种意义上，不管该位置上的值是0还是1都毫无关系。,许多图形学文献记载的结果都是基于类似于图917(b)中单一结构的运用基础之上的，不过不同的是，在第一列中多了“不用考虑”的状态而已。这样的处理是不完善的。例如，这个元素将标识图917(a)位于第八排，第四列作为最后一点的点，如果减去该元素将破坏这一笔的连接性。,图 917 裁剪的例子,(a)是原像，(b)和(c)是结构元素，（d）细化三次的结果，（e）端点，(f)在（a）的条件下端点的膨胀，（g）裁剪后的图像。,图 917 裁剪的例子,连续对A运用等式(945)三次将生成图917(d)中的集合。下一步将是把字符“恢复”到最初的形状，同时将寄生的成分去除。这首先需要建立包含图917(e)所有边缘信息的集合，,(946),等式(946)中 是和前面一样的端点检测因子，下一步对边缘进行三次放大处理，集合A作为消减因子：,(947),等式(947)中H是一个值为1的33 的结构元素，类似局域填充和连接成分的提取的情况，这一类条件膨胀处理有效的避免了在我们感兴趣区域外值1元素的产生，正如图917(f)中显示的结果证实的一样。最后，X3 和 X1 的并生成了最后的结果：(947)正如图917(g)中所示。,在更复杂的情况下，使用公式(946)有时可以捡拾一些寄生分枝的“尖端”。如果分支端点离骨骼较近时，这种情况便会发生。尽管可以通过等式(944)减少，但是由于它们是A中的有效点而在膨胀处理中再次出现。,除非只有所有的寄生元素再次获得的情况下（当这些寄生元素与字符笔画相比不够长时，这将是一种出现机率非常少的情况），如果寄生元素处在非连接区域，那末检测和减少寄生元素才会变得容易一些。,在这一点上一种自然而然的想法就是必须有一种方法来解决这个问题。例如，我们可以通过运用公式(944)，仅仅对被删除点进行跟踪和对所有的留下的端点进行再连接。这样的选择是正确的，它的优点是使用简单的形态结构来解决所有的问题。,表91总结了前边讨论的数学形态学算法及其结果，图9.18示出了所使用的基本结构元素。,表91 形态学结论和特性的总结,表91 形态学结论和特性的总结（续）,表91 形态学结论和特性的总结（续）,表91 形态学结论和特性的总结（续）,图918 基本形态学结构元素,