数值分析ex4-5《数值分析》习题课I.ppt

数值分析习题课 I,误差与有效数字二分法、牛顿迭代法不动点迭代与收敛阶典型例题与习题,具有n 位有效数字,则绝对误差满足,2/18,相对误差满足,如果一个浮点数,1.设x*是 f(x)=0在a,b内的唯一根,且 f(a)f(b)0,则二分法计算过程中,数列,满足:|xn x*|(b a)/2n+1,2.Newton迭代格式:,3.弦截法迭代格式:,(n=0,1,2,),3/18,定理 如果,满足条件:;(2),则:区间a,b内存在唯一的不动点 x*;,设,若存在 a0,r0 使得,则称数列xn r 阶收敛.,且对任意 x0 a,b,迭代格式产生的序列 xn 收敛到不动点 x*,误差满足,4/18,数列加速收敛原理,定理2.6 设x*是 的不动点,且,而 则 p阶收敛,5/18,例1.设x1=1.21,x2=3.65,x3=9.81都具有三位有效位数,试估计数据：x1(x2+x3)的误差限。,解：由|e(x1)|0.510-2，|e(x2)|0.510-2，|e(x3)|0.510-2所以,|e(x2+x3)|10-2|e(x1(x2+x3)|(1.21+0.513.46)10-2=7.9410-2,Ex1.若要 x1(x2+x3)的误差限为0.510-2,问数据x1,x2,x3 应该具有几位有效数?,6/18,例2.设计算球体V允许其相对误差限为 1%,问测量球半径R 的相对误差限最大为多少?,解：由球体计算公式分析误差传播规律,故当球体V 的相对误差限为 1%时，测量球半径R的相对误差限最大为0.33%。,相对误差传播规律,Ex2.对 z=f(x,y),若允许其相对误差为1%,问应该对x,y 如何限制?,7/18,例3.采用迭代法计算，取x0=2,(k=0，1，2，),若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字。,8/18,思考：反问题？,1-8 序列 yn 满足递推关系 yn=10yn-1 1(n=1,2,)若取 y0=2 1.41(三位有效数字).递推计算 y10 时误差有多大？计算过程稳定吗？,解:取 x0=1.41,则e(x0)0.005 e(xn)=10e(xn-1)(n=1,2,10),e(x10)=10 e(x9)=1010e(x0),|e(x10)|=1010|e(x0)|0.5108,计算过程不稳定！,9/18,1-12 利用级数可计算出无理数 的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn 在其极限值上下摆动，故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值|an+1|。试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。,解:由部分和,10/18,2-6 应用牛顿迭代法于方程 x3 a=0,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性。,解：令 f(x)=x3 a，则牛顿迭代公式,故立方根迭代算法二阶收敛,11/18,例 4.设a 为正实数，试建立求1/a 的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式的收敛。,xn+1=xn(2 a xn)，(n=0，1，2),所以,当|1 a x0|1 时，迭代公式收敛。,解:建立方程,利用牛顿迭代法，得,12/18,例5.若 x*是f(x)=0的二重根,分析牛顿迭代法的收敛性？,解:由于 f(x)=(x x*)2g(x),Ex.若 x*是f(x)=0的m重根,试分析牛顿迭代法的收敛性,13/18,练习1 将割线法修改为单点迭代公式,试分析该算法的收敛性.,14/18,练习2 设计多项式乘积(卷积)算法,Pn(x)=a1xn+a2xn-1+anx+an+1,Pm(x)=b1xm+b2xm-1+bmx+bm+1,用 a1 a2 an an+1 表示Pn(x)用 b1 b2 bm bm+1 表示Pm(x),Pn+m(x)=c1xn+m+c2xn+m-1+cn+mx+cn+m+1,用 c1 c2 cn+m cn+m+1 表示 Pn(x)Pm(x),15/18,练习3 在计算机上对调和级数自左至右做求和计算,当 n 很大时，Sn 将不随n 的增加而增加。试说明原因。,16/18,练习4 分析下列方程，确定方程的全部隔根区间,17/18,(1)x sin x=1；(2)sin x e-x=0；(3)x=tan x；(4)x2 e-x=0,练习5 对于复变量 z=x+i y 的复值函数 f(z)应用牛顿迭代公式,时为避开复数运算,令 zn=xn+i yn f(zn)=An+i Bn，f(zn)=Cn+i Dn,证明,18/18,