控制系统的根轨迹分析与校正.ppt
MATLAB与控制系统仿真实践,第13章 控制系统的根轨迹分析与校正,主要内容,原理要点控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹校正MATLAB的图形化根轨迹法分析与校正,原理要点,1.根轨迹概念 是指当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征根(闭环极点)在复平面上移动的轨迹。通常情况下根轨迹是指增益K由零到正无穷大下的根的轨迹。,2.根轨迹方程 闭环控制系统一般可用图13.1 所示的结构图来描述。,图13.1 闭环控制系统结构图,开环传递函数可表示为，系统的闭环传递函数为,系统的闭环特征方程为,即 式（4-8）,显然，在s平面上凡是满足上式的点，都是根轨迹上的点。式（4-8）称为根轨迹方程。式（4-8）可以用幅值条件和相角条件来表示。,3.幅值条件,4.相角条件=式中，、分别代表所有开环零点、极点到根轨迹上某一点的向量相角之和。,13.1控制系统的根轨迹法分析,13.1.1 根轨迹及根轨迹法概述,以绘制根轨迹的基本规则为基础的图解法是获得系统根轨迹是很实用的工程方法。通过根轨迹可以清楚地反映如下的信息：,临界稳定时的开环增益；闭环特征根进入复平面时的临界增益；选定开环增益后，系统闭环特征根在根平面上的分布情况；参数变化时，系统闭环特征根在根平面上的变化趋势等。,13.1.2 MATLAB根轨迹分析的相关函数,MATLAB中提供了 rlocus()函数，可以直接用于系统的根轨迹绘制。还允许用户交互式地选取根轨迹上的值。其用法见表13.1。更详细的用法可见帮助文档,MATLAB根轨迹分析实例,例1：若单位反馈控制系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨迹。,程序如下：clf;num=1;den=conv(1 1 0,1 5);rlocus(num,den)%绘制根轨迹axis(-8 8-8 8)figure(2)r=rlocus(num,den);%返回根轨迹参数plot(r,-)%绘制根轨迹axis(-8 8-8 8)gtext(x)gtext(x)gtext(x),(a)直接绘制根轨迹,(b)返回参数间接绘制根轨迹,图13.2 例1系统根轨迹,例2：若单位反馈控制系统的开环传递函数为，绘制系统的根轨迹，并据根轨迹判定系统的稳定性。,num=1 3;den=conv(1 1,1 20);G=tf(num,den);rlocus(G)figure(2)%新开一个图形窗口Kg=4;G0=feedback(tf(Kg*num,den),1);step(G0),图13.3 例2系统根轨迹,分析：由根轨迹图13.3，对于任意的，根轨迹均在s左半平面。系统都是稳定的。可取增益 和 并通过时域分析验证。下图分别给出了 时 和 时系统的单位阶跃响应曲线。可见，在 时因为极点距虚轴很近，振荡已经很大。,(a)时系统时域响应曲线,(b)时系统时域响应曲线,图13.4 例2系统时域响应曲线,例3：若单位反馈控制系统的开环传递函数为,绘制系统的根轨迹，确定当系统稳定时，参数的取值范围。,clear;num=1 0.5;den=conv(1 3 2,1 5 0);G=tf(num,den);K=0:0.05:200;rlocus(G,K)K,POLES=rlocfind(G)figure(2)Kg=95;t=0:0.05:10;G0=feedback(tf(Kg*num,den),1);step(G0,t),图13.5 例3系统根轨迹,Select a point in the graphics windowselected_point=-0.0071+3.6335iK=95.5190POLES=-7.4965-0.0107+3.6353i-0.0107-3.6353i-0.4821,图13.6 例3系统时的阶跃响应,分析：由根轨迹图13.5，结合临界稳定值可知，系统稳定时，临界稳定时的阶跃响应曲线如图13.6。,例4:若单位反馈控制系统的开环传递函数为,绘制系统的根轨迹，并观察当时的值。绘制时的系统单位阶跃响应曲线。,clear;num=1;den=1 2 0;G=tf(num,den);rlocus(G)sgrid(0.707,)K,POLES=rlocfind(G),运行结果：,图13.7 例4系统根轨迹,Select a point in the graphics windowselected_point=-0.9964+0.9829iK=1.9661POLES=-1.0000+0.9829i-1.0000-0.9829i绘制时系统的单位阶跃响应曲线：figure(2)Kg=1.97;t=0:0.05:10;G0=feedback(tf(Kg*num,den),1);step(G0),图13.8 例4当时系统的单位阶跃响应曲线,例5：系统方框图如图所示。绘制系统以k为参量的根根轨迹。,图13.9 例5系统框图,可容易地求得系统的开环传递函数,，闭环特征方程为,变换为等效根轨迹方程为：,等效开环传递函数为,仍然可以利用MATLAB绘制其根轨迹，其运行结果如图13.10,clear;num=1 2;den=1 0 0;G=tf(num,den);rlocus(G),图13.10 例5系统等效根轨迹,分析：在绘制参量根轨迹时，需求取等效根轨迹方程。之后再按照常规方法取得根轨迹。,13.2控制系统的根轨迹法校正,13.2控制系统的根轨迹法校正,如果性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调整时间、超调量、阻尼系统、稳态误差等时域特征量给出时，一般采用根轨迹法校正。根轨迹法校正的基本思路为借助根轨迹曲线进行校正。,如果系统的期望主导极点往往不在系统的根轨迹上。由根轨迹的理论，添加上开环零点或极点可以使根轨迹曲线形状改变。若期望主导极点在原根轨迹的左侧，则只要加上一对零、极点，使零点位置位于极点右侧。如果适当选择零、极点的位置，就能够使系统根轨迹通过期望主导极点s1，并且使主导极点在s1点位置时的稳态增益满足要求。此即相当于相位超前校正。,如果系统的期望主导极点若在系统的根轨迹上，但是在该点的静态特性不满足要求，即对应的系统开环增益K太小。单纯增大K值将会使系统阻尼比变小，甚至于使闭环特征根跑到复平面S的右半平面去。为了使闭环主导极点在原位置不动，并满足静态指标要求，则可以添加上一对偶极子，其极点在其零点的右侧。从而使系统原根轨迹形状基本不变，而在期望主导极点处的稳态增益得到加大。此即相当于相位滞后校正。,13.2.1 根轨迹法超前校正及基于MATLAB的实例,1.根轨迹超前校正的主要步骤依据要求的系统性能指标，求出主导极点的期望位置。观察期望的主导极点是否位于校正前的系统根轨迹上。如果需要设计校正网络，设计校正网络。,校正网络零点的确定。可直接在期望的闭环极点位置下方（或在头两个实极点的左侧）增加一个相位超前网络的实零点。校正网络极点的确定。确定校正网络极点的位置，使期望的主导极点位于校正后的根轨迹上。利用校正网络极点的相角，使得系统在期望主导极点上满足根轨迹的相角条件。,估计在期望的闭环主导极点处的总的系统开环增益。计算稳态误差系数。如果稳态误差系数不满足要求，重复不述步骤。,利用根轨迹设计相位超前网络时，超前网络的传递函数可表示为：，其中。设计超前网络时，首先应根据系统期望的性能指标确定系统闭环主导极点的理想位置，然后通过选择校正网络的零、极点来改变根轨迹的形状，使得理想的闭环主导极点位于校正后的根轨迹上。下例演示具体设计步骤。,2.基于MATLAB的根轨迹法超前校正实例例6：对系统 进行补偿，使系统单位阶跃响应的超调量不超过40%，调整时间不超过4s（对于2%误差范围）。(1)绘制原系统的根轨迹。,图13.11 例6原系统根轨迹,可知系统对于任何k值都是不稳定的。更不可能满足系统要求。,(2)依据要求的系统性能指标，求出主导极点的期望位置。根据 系统要求，求满足条件的 zeta。zeta=0:0.001:0.99;delta=exp(-zeta*pi./sqrt(1-zeta.2)*100;plot(zeta,delta)xlabel(zeta);ylabel(delta);title(delta%=e-zeta*pi/sqrt(1-zeta2)*100%,fontsize,16)gridz=spline(delta,zeta,40)z=0.2800,图13.12 与关系曲线,得到z=0.2800，取 根据系统要求，求得 考虑计算方便性，试确定系统的主导极点为此时根据，得，符合题意。,(3)设计校正网络：校正网络零点的确定。直接在期望的闭环极点位置下方增加一个相位超前网络的实零点。取为。校正网络极点的确定。确定校正网络极点的位置，使期望的主导极点位于校正后的根轨迹上。利用校正网络极点的相角，使得系统在期望主导极点上满足根轨迹的相角条件。设校正网络极点产生相角，且满足根轨迹的相角条件。,x=-1:-0.01:-20;angs=90-2*angle(-1+2*j-0)*180/pi-angle(-1+2*j-x)*180/pi%在主导极点处的相角p=spline(angs,x,-180)%得到校正网络的极点位置结果：p=-3.6667取为p=-3.67校正网络为：。,(4)观察校正后系统特性。校正后的传递函数为：根轨迹为：G=tf(1 1,1 3.67 0 0);rlocus(G);sgrid(1/sqrt(5),),图13.13 校正后系统根轨迹,图13.14 校正后系统根轨迹局部放大,经局部放大后如图13.14，查看主导极点处的属性。,也可根据根轨迹幅值条件，计算如下：s=-1+2*j;k=abs(s2*(s+3.67)/(s+1)k=8.3400,可见结果是一致的。我们可以确定k=8.34。进一步求时域响应曲线。k=8.34;Gk=tf(k*1 1,1 3.67 0 0);G=feedback(Gk,1);step(G),图13.15 k=8.34时系统阶跃响应,从图上读出，校正后系统的超调量为46%，调整时间为3.73s。超调量与期望值的差别是由零点引起的。为了使校正后的系统超调量达到要求，可以利用前置滤波器，以抵消在闭环传递函数中零点的影响。,根轨迹法滞后校正及基于MATLAB的实例,滞后校正采用增加开环偶极子来增大系统增益。滞后校正网络的传递函数为,1.设计滞后校正网络的基本步骤为,确定系统的瞬态性能指标。在校正前的根轨迹上，确定满足这些性能指标的主导极点的位置。计算在期望主导极点上的开环增益及系统的误差系数。,将校正前的系统的误差系数和期望误差系数进行比较。计算需由校正网络偶极子提供的补偿。确定偶极子的位置。需能提供补偿，又基本不改变期望主导极点处的根轨迹。,2.基于MATLAB的根轨迹法滞后校正实例,例7：设单位反馈系统有一个受控对象为设计滞后补偿使系统满足以下指标：阶跃响应调整时间小于5s 超调量小于17%速度误差系数为10,%查看符合条件的zeta，zeta=0:0.001:0.99;delta=exp(-zeta*pi./sqrt(1-zeta.2)*100;plot(zeta,delta)xlabel(zeta);ylabel(delta);title(delta%=e-zeta*pi/sqrt(1-zeta2)*100%,fontsize,16)gridz=spline(delta,zeta,17)z=0.4913,图13.12 与关系曲线,%查看原系统根轨迹，确定期望的主导极点。Gk=tf(1,conv(1 3 0,1 6);rlocus(Gk);sgrid(.4913,),(a)原系统根轨迹,(b)局部放大的原系统根轨迹,图13.13 原系统根轨迹,期望主导极点为。确定偶极子的零点和极点。可以在根轨迹图上读出期望极点处的增益为28.6。则校正前系统的稳态误差系数为。按照要求，偶极子的零点和极点比值应为10/1.58896.2937，取。得出校正后的系统，并进行验证。校正后的系统开环传递函数为,p=0-3-6-.00143;z=-0.01;Gk=zpk(z,p,1);rlocus(Gk)sgrid(.4913,)figure(2)k=28.6;G=feedback(k*Gk,1);step(G),图13.14 校正后系统根轨迹,图13.15 校正后系统阶跃响应,经校正后，系统是满足要求的。,13.3MATLAB图形化根轨迹法分析与设计,13.3MATLAB图形化根轨迹法分析与设计,MATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具rltoolMATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具rltool是对SISO系统进行分析设计的。既可以分析系统根轨迹，又能对系统进行设计。其方便性在于设计零极点过程中，能够不断观察系统的响应曲线，看其是否满足控制性能要求，以此来达到提高系统控制性能的目的。,用户在MATLAB命令窗口输入rltool命令即可打开图形化根轨迹法分析与设计工具，如图13.16。,图13.16 rltool初始界面,也可以指定命令参数，其具体用法如表13.2：,用户可以通过Control Architecture窗口进行系统模型的修改，如图13.17。也可通过System Data窗口为不同环节导入已有模型，如图13.18。可以通过Compensator Editor的快捷菜单进行校正环节参数的修改，如增加或删除零极点、增加超前或滞后校正环节等，如图13.19，通过Analysis Plots配置要显示的不同图形及其位置，如图13.20。,图13.17 rltool工具Control Architecture窗口,图13.18 rltool工具System Data窗口,图13.19 rltool工具Compensator Editor窗口,图13.20 rltool工具Analysis Plots窗口,基于图形化工具rltool的系 统分析与设计实例,例：系统开环传递函数，用根轨迹设计器查看系统增加开环零点或开环极点后对系统的性能。1.打开工具。在MATLAB命令窗口输入，结果如图13.21：G=tf(1,1 1 0)rltool(G),图13.21 rltool工具Compensator Editor窗口,选择AnalysisResponse to Step Command项可同时显示选定点的单位阶跃响应曲线，如图13.22。此时，鼠标在根轨迹上移动时，对应增益的系统时域响应曲线实时变化。,2.增加零点。可直接在工具栏上操作，也可通过快捷菜单操作。增加零点为。,图13.23 系统增加零点后的根轨迹,图13.24 系统增加零点 后的阶跃响应,加入零点后，根轨迹向左弯曲，如图13.23。所选K值对应的极点在s平面左侧，系统是稳定的。对应K值的阶跃响应曲线如图13.24。,3.增加极点。去掉零点，为系统增加极点,。,图13.25系统增加极点 后的根轨迹,图13.26 系统增加极点 后的阶跃响应,系统增加极点后，根轨迹向右弯曲，如图13.25。当进入s平面右半平面时，系统不稳定。图13.26所选K值对应的极点已进入s平面右侧，系统是不稳定的。,
