微分方程模型方法.ppt
对外经济贸易大学 应用数学系,1,二、案例分析,一、微分方程模型建模步骤,第一部分 微分分方程 建模基础,对外经济贸易大学 应用数学系,2,一、举例子说明微分方程模型建模步骤,1 翻译或转化：2 匹备物理单位：3 建立表达式：4 确定条件：,对外经济贸易大学 应用数学系,3,1 翻译或转化：,在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等,2 建立瞬时表达式：,根据自变量有微小改变t时，因变量的增量W，建立起在时段t上的增量表达式，令t 0，即得到 的表达式,3 配备物理单位：,在建模中应注意每一项采用同样的物理单位,4 确定条件：,这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。,为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。,对外经济贸易大学 应用数学系,4,建立微分方程的方法,1、按变化规律直接列方程：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律,边际效用递减规律,曲线切线的性质等。这些都涉及某些函数的变化率,我们就可以根据相应的规律,直接列出微分方程.,3、模拟近似法：,在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。,2、微元法建模:该方法是寻求一些微元之间的关系式,在建立这些关系式时也要用到已知的规律或定律,与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定律来求关系式,而是对某些微元应用规律.,对外经济贸易大学 应用数学系,5,例 某人的食量是10467焦天，其中5038焦天用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦公斤.天乘以他的体重(公斤),假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪合热量41868焦。试研究此人的体重随时间变化的规律,对外经济贸易大学 应用数学系,6,1、“每天”体重的变化输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE),2、上述陈述更好的表示结构式：体重的变化天=净吸收量天一WPE天,其中：净吸收量天10467 5038 5429（焦天)净输出量天69(焦公斤天)W(公斤)69W(焦天),3、体重的变化天(公斤天),翻译或转化：,对外经济贸易大学 应用数学系,7,单位匹配,有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式(公斤)给出，考虑单位的匹配，利用,建立表达式,加上初始条件,w=150;(5429-69*w)/41868 ans=-2.3424,对外经济贸易大学 应用数学系,8,求解问题,function dx=tizhong(t,w)dx=(10467-5038)-69*w)/41868;,ts=1:90;w0=150;t,w=ode45(tizhong,ts,w0);t,wplot(t,w,rd),t,w:88.0000 140.473689.0000 140.371990.0000 140.2703,对外经济贸易大学 应用数学系,9,二、案例分析,案例1,某人从正午开始清扫某条街的人行道，他的铲雪速度（以m3/h度量）和清扫面的宽度均不变。,到下午2点他扫了两个街区，到下午4点他扫了一个街区。,请问：雪是从什么时候开始下的？,假设他没有回头清扫落在已扫过的路面上的雪,一场降雪开始于午前的某个时刻，并持续到下午，雪量稳定。,对外经济贸易大学 应用数学系,10,1,1,示 意 图,下雪速度：a(单位)3/小时.面积 铲雪速度：b(单位)3/小时,已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3,S(t)：正午后t小时的铲雪位移下雪时间：午前x0,对外经济贸易大学 应用数学系,11,模 型,t到t+t时刻：（1）铲雪容量：b*t,（3）微分表达式：,（4）模型：,（2）忽略t下雪量，雪量减少容量：,下雪速度：a(单位)3/小时.面积,对外经济贸易大学 应用数学系,12,求解,已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3,c,k,x=solve(k*log(x)+c,k*log(x+2)+c-2,k*log(x+4)+c-3),double(c,k,x),-0.4404 2.0781 1.2361,对外经济贸易大学 应用数学系,13,案例2 人口指数增长模型,1.指数增长模型马尔萨斯提出(1798),常用的计算公式,今年人口 x0,年增长率 r,k年后人口,x(t)时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率 r 是常数,随着时间增加，人口按指数规律无限增长.,与常用公式的一致,?,对外经济贸易大学 应用数学系,14,2.阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,对外经济贸易大学 应用数学系,15,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,x0,阻滞增长模型(Logistic模型),指数增长模型,
