工程数学概率第二章.ppt
第二章,随机变量及其分布（二）,一、二维随机变量,二、边缘分布,三、相互独立的随机变量,四、两个随机变量的函数的分布,定义1 设随机试验,的样本空间是,设,和,是定义在,上的随机变量，则由它们构成的一,个向量,称为二维随机变量或二维随机向量。,定义2 设,是二维随机变量，对于任意实数,二元函数,称为二维随机变量,的分布函数，或联合分布函数。,第一讲 二维随机变量,二维分布函数的几何意义,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,联合分布函数的性质：,对任意固定的,，当,时，,对任意固定的,，当,时，,关于,右连续，即,解 由分布函数的性质,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义：若二维随机变量,的所有可能取值,是有限对或可列无限多对时，则称,为,离散型随机变量。,一、二维离散型随机变量,的分布律。,称为二维随机变量,性质：,例1、,将骰子抛两次，X第一次出现的点数，Y第二次出现的点数，求（X,Y）的分布律。,解：,1 2 3 4 5 6,1 2 3 4 5 6,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,可能取值均为1,2,3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理可得,所以,的分布律为,定义：设二维随机变量,的分布函数为,若存在,使得对任意实数,总有,则称,为二维连续型随机变量,称为,的,概率密度,或称为随机变量,和,的联合概率密度。,二、二维连续型随机变量,f(x,y)的性质:,若,在点,连续，则有,即连续型随机变量在某点的,概率为0。,G表示xoy平面上的区域,落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面,为顶的曲顶柱体体积。,注：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求：,分布函数,概率,概率,解,由概率密度的性质,得,从而得,由分布函数的性质,将,看作平面上随机点的坐标，有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 积分区域如右图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 由概率密度的性质知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的概率密度为,例6 已知,求常数A的值；求,的分布函数,解 由性质,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以,由于,当,或,时，,当,时，（如下图3-5(1)）,当,时，（如下图3-5(2)）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,时，（如下图3-5(3)）,当,时，（如下图3-5(4)）,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,边缘分布,第二章,二、边缘分布律,一、边缘分布函数,三、边缘概率密度,第二讲,一、边缘分布函数,的分布函数为,分别,的分布函数为,设,记,和,的边缘分布函数。,，称为关于,和,则,同理可得,研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。,解:,的边缘分布函数为,关于,同理，,二、离散型随机变量的边缘分布律,设,的分布律为,则,关于,的边缘分布律为,记做,记做,同理,通常用以下表格表示,的分布律和边缘分布律,三、连续型随机变量的边缘概率密度,其概率密度为,则:,同理,关于X 和Y 的边缘概率密度。,分别是,解:,例2.,上服从均匀分布,密度 和,的概率密度为,例3 已知,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 已知,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由对称性得,注：,书76页：例5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相互独立的随机变量,第二章,二、n个随机变量的独立性,一、两个随机变量的独立性,第四讲,均有,一、两个随机变量的独立性,定义1 若二维随机变量,对任意的实数,成立，则称随机变量,是相互独立的。,即,1)对于离散型的随机变量,2)对于连续型的随机变量,几乎处处成立。,例1 设随机变量,相互独立，试确定 a,b,c 的值？,解：,解 因为,关于,的边缘概率密度,故,与,是相互独立的。,例3.（约会问题）张三与李四决定在老地方相会，他们,到达时间均匀分布在晚上7:007:30,且时间相互独立,求：两人在5分钟之内能见面的概率。,解,设张三到达的时间为X；李四到达的时间为Y，,所以，,所求概率为,二、n个随机变量的独立性（自学）参93页,定理 设随机变量,相互,独立，h,g 是连续函数，则随机变量,也相互独立。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二维随机变量的函数的分布,第二章,一、离散型随机变量函数的分布,第五讲,二、连续型随机变量函数的分布,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、二维离散型随机变量的函数的分布,设离散型随机变量,的分布律为,设,为二元函数，,求,的分布律。,当,时，Z 相应的值为,且有,例：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 假设随机变量(X,Y)的分布律为,分别求,的分布律，,并判断,是否独立？,解,且,=0.19.,所以，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理可得下表,化简整理，得各函数的分布律为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,而,不相互独立。,故,例2 假设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们分别服从,参数为,的泊松分布。求,的分布律。,解 由题意可知,故,故,泊松分布具有可加性,二、二维连续型随机变量的函数的分布,.,Z=X+Y 的分布,已知(X,Y)的概率密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度。,Z=X+Y的分布函数为,解：,令 x=u-y,则,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别地,当X 与Y 相互独立时,有,上式称为,的卷积公式,记为,例3 假设 X 和Y 相互独立,且都服从标准正态分布，,解,由题意可知X 与Y 的概率密度分别为,由卷积公式可得 Z 的概率密度为,结论：正态分布的可加性（）,若随机变量,相互独立，并且,则,解,的概率密度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由,如右图,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或用另一个公式,同样可解出来，但注意图形坐标是关于 z 和 x 的。,关于 X 的边缘概率密度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由式可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解（方法一）由题意可知，用卷积公式,则随机变量 Z=X+Y 的密度函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,即,(如右图),机动 目录 上页 下页 返回 结束,综上所述随机变量 Z=X+Y 的密度函数为,（方法二）用分布函数法,由独立性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,先求随机变量 Z=X+Y 的分布函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对随机变量 Z=X+Y 的分布函数积分可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,结合概率密度的非零区域可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以,故 Z=X-Y 的概率密度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 由题可得关于 X 和Y 的边缘概率密度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,所以 X 与Y 相互独立,则X 与-Y 也相互独立.,令,可得,那么要求随机变量,的概率密度,用卷积公式,(课后练习),.,M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布,(随机变量相互独立）,X和Y的分布函数,解,的分布函数为,的分布函数为,所以,推广 当,独立同分布时，随机变量,的分布函数为,例8 设随机变量X 的概率密度为,随机变量,相互独立且与X 有相同的,分布,试求随机变量,的概率,密度和,解 X 的分布函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的分布函数为,所以M 的概率密度为,所以，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9 设系统L 由两个相互独立的子系统,备用（当系统1损坏时，系统2开始工作）。,设,试求系统 L 的寿命Z 的概率密度。,连结而成，连接的方式分别为 串联；并联；,的寿命分别为X,Y,并且,解 由题意可得,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)Z=X+Y,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,(3)Z=X+Y,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,
