工程力学17-j7a(例题).ppt
工程力学（C）,北京理工大学理学院力学系 韩斌,(17),7 力系的平衡,（1）力系的平衡条件。（2）求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。（3）求桁架(二力直杆系统）的内力。（4）带有摩擦的平衡问题。,本章内容是静力学部分的核心，包括：,关于“平衡”的概念,（1）物体或物体系统的平衡相对于惯性参考 空间静止或匀速直线平移。,（2）平衡力系即零力系，力系的主矢和主矩均为零。,区分以下几个概念：,力系的平衡，单个刚体的平衡，刚体系的平衡，变形体的平衡,7.1 力系的平衡条件及平衡方程,1.空间力系的平衡方程,平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件；,任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢 和对任一确定点O的主矩 全为零。,在O点建立Oxyz 直角坐标系，以上两个矢量方程可写为6个独立的代数方程：,（1）解题时，矩心O可任选；力的投影轴、取矩轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴也可不一致，但要保证6个方程是独立的。,（2）巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只含一个未知量，避免解联立方程组。,（3）任意空间力系，独立的力的投影方程只有3个，但矩方程最多可有6个。,特殊的空间力系及独立平衡方程个数：,（1）空间汇交力系,3个独立方程,各力交于O点,平衡方程仅有,即,（2）空间力偶系,3个独立方程,平衡方程仅有,即,（3）空间平行力系,设各力平行于z 轴，则有,平衡方程仅有,3个独立方程,（4）其他,例如：空间各力与某轴 l 相交,仅有5个独立的平衡方程,各力对 l 轴之矩恒为零,2.平面任意力系的平衡方程,（1）在平面内任取点A：,各力均位于Oxy平面内，故平衡方程（7.1）中,平面任意力系的平衡方程还有以下三种常用形式：,（2）在平面上任取A,B两点及不垂直于AB连线的x轴：,由力系平衡,因此，对任一轴x，,且,同理,必要性得证。,由,所以,充分性得证。,(3)在平面上任取三点A，B，C不共线:,上述三组方程，每组中独立的平衡方程的个数均为3，若找到第四个方程，则必是前3个方程的线性组合，不是独立的。,因此，对于单个刚体，在平面力系作用下的平衡问题，只能写出3个独立的平衡方程，求解3个未知量；当未知量超过3个时，问题无法求解。,例如：,3、特殊平面力系的平衡方程,两个独立方程！,一个独立方程！,（3）平面平行力系：,设各力与 y 轴平行,两个独立方程！,例 题 1,7 力系的平衡,例题,解：取梁AB为分离体，画受力图。,由,例 题 1,7 力系的平衡,例题,列出该梁的平衡方程。,（以逆时针为正）,选矩心为A点：,(方向如图),（平面任意力系3个独立方程）,例 题 1,7 力系的平衡,例题,若取矩心为B点，则有：,该式不再独立，可作为校核。,(),(),求一端固支、一端自由的梁(悬臂梁)固支端的约束力。,解：取AB为分离体，画出受力图。,由,由,由,例 题 2,7 力系的平衡,例题,均布载荷（同向平行力系）合力为,(),(),例 题 3,7 力系的平衡,例题,解:(1)满载情况P=250kN;,取起重机为分离体画受力图，,满载不翻倒限制条件,例 题 3,7 力系的平衡,例题,平面平行力系,2个独立方程，以B点为矩心：,(2)空载情况：P=0,空载不翻倒限制条件,=375kN,例 题 3,7 力系的平衡,例题,以A点为矩心：,例 题 4,7 力系的平衡,例题,均质长方形薄板，重量P=200N，角A由光滑球铰链固定，角B处嵌入固定的光滑水平滑槽内，滑槽约束了角B在x,z方向的运动，EC为钢索，将板支持在水平位置上，试求板在A，B处的约束力及钢索的拉力。,例 题 4,7 力系的平衡,例题,解：,1.以板为对象画出受力图，,例 题 4,7 力系的平衡,例题,2.列出板的平衡方程,解法一,空间任意力系，6个独立方程。,例 题 4,7 力系的平衡,例题,例 题 4,7 力系的平衡,例题,解法二,分别取AC，BC，AB，l1，l2，z 为矩轴：,(拉力),例 题 4,7 力系的平衡,例题,例 题 5,7 力系的平衡,例题,图示支架结构，AB=AC=BC=2l，D，E分别为AB，AC的中点，杆DE上作用有三角形分布载荷，B点作用有铅垂集中力，P=ql，试求DE杆在D，E两处的约束力。,例 题 5,7 力系的平衡,例题,解：,刚体系统的平衡问题。,1.受力分析：,根据所求，以杆DE为研究对象取分离体：,4个未知力，3个方程；,以BC杆为研究对象取分离体：,增加3个未知力、3个方程；,例 题 5,7 力系的平衡,例题,以整体为研究对象取分离体：,增加 2 个未知力、3个方程；,共9个未知力，9个方程。,2.以整体为研究对象，取A点为矩心：,例 题 5,7 力系的平衡,例题,2.以BC杆为研究对象：,(1),例 题 5,7 力系的平衡,例题,3.以DE杆为研究对象：,(),例 题 6,7 力系的平衡,例题,支架结构受力如图，已知：M=Fa/2,求铰支座A，B处的约束力。,例 题 6,7 力系的平衡,例题,解：,1.受力分析,以整体为研究对象，,A，B处共4个未知力，3个独立方程；,例 题 6,7 力系的平衡,例题,以ED杆为研究对象，,三力汇交，增加1个未知力、2个独立方程；,取出DC杆，为二力杆，,增加2个未知力、1个独立方程；,例 题 6,7 力系的平衡,例题,取出EHB杆为研究对象，,增加2个未知力、3个独立方程；,例 题 6,7 力系的平衡,例题,2.以整体为对象,列平衡方程,3.以DC(二力杆)为对象有:,例 题 6,7 力系的平衡,例题,4.以ED为对象,列平衡方程:,5.以EHB为对象,列平衡方程:,(负号表示),例 题 6,7 力系的平衡,例题,6.将求得的 代入式(1),(2),(3):,刚体系统平衡问题的求解思路,1.求解思路,（1）根据所求的未知约束力，先对所涉及的刚体进行受力分析，找出其中的已知主动力、未知约束力（要求的和不必求的）。分析未知力个数及独立平衡方程个数。,（2）若缺少方程，再对未知约束力涉及的其他刚体（或刚体系）取分离体，引入新的未知力并分析增加的平衡方程个数。直到未知力个数与平衡方程个数相等。,（3）对涉及的各分离体列出适当的平衡方程（注意各方程的独立性），求出全部待求未知力。,2.关于独立的平衡方程个数,注意：刚体系统中如果每个刚体的平衡方程全部成立，则整体的平衡方程为恒等式，不再提供独立的方程。,3.注意利用矩形式的平衡方程，可通过选择适当的矩心使得方程中尽量少出现未知力。,求解所用到的全部方程必须是相互独立的。,
