工程力学-2-3平面力偶系.ppt

23 平面力偶系,静力学,一、力矩 力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。,1、力对点之矩 定义：力与力臂的乘积冠以正、负号定义为力F对O点的力矩。,O 转动的中心。称为力矩中 心，简称矩心,d 转动中心到力作用线之间的距离称为力臂(注意单位),表达式：Mo(F)=Fd,正负号规定：若力使物体绕矩心作逆时针转向转动力矩取正号,反之取负号。,问题：图示力F对O点的力矩应取什么符号？,力矩必须与矩心相对应，同一个力对不同点产生的力矩是不同的，因此不明矩心而求力矩是无任何意义的。在表示力矩时，必须表明矩心。力矩在下列两种情况下等于零：力等于零或力的作用线通过矩心。力F对任一点的矩，不因力F沿其作用线的移动而改变。,力矩计算,简支刚架如图所示，荷载F=15kN，=45,尺寸如图。试分别计算F对A、B两点之矩。,d,解:,1、力F对A点的力矩,2、力 F 对B点的力矩,注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。,2.合力矩定理,力系中合力对一点的矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。设某力系为Fi（i=1,2,n），其合力为FR，根据以上理论，则有表达式：,由合力投影定理有：,证明：,od=ob+oc,又,例1 荷载F=20kN，=45,尺寸如图。试分别计算F对A、B两点之矩。,Fx=Fcos=20N0.7=14N,解:,Fy=Fsin=20N0.7=14N,1、力F对A点的力矩,MA(Fx)=-Fxd=-14kN2=-28kNm,MA(Fy)=-Fyd=14kN6=84kNm,MA(F)=MA(Fy)+MA(Fx)=84kNm-28kNm=56kNm,B点大家求一下,例 2 求图中荷载对A、B两点之矩,(b),解：,图（a）：MA=-82=-16 kN m MB=82=16 kN m,图（b）：MA=-421=-8 kN m MB=421=8 kN m,(a),例3 已知：如图 F、Q、l,求：和,静力学,解：用力对点的矩法 应用合力矩定理,例4、已知：机构如图，F=10kN，求：MA(F)=?,解:,方法一:,MA(F)=-Fd=-10 0.6 sin600,方法二:,MA(F)=-Fcos300 0.6+0=-10 0.6 cos300,Fx=Fcos300,MA(Fx),Fy=-Fsin300,MA(Fy)=0,MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy),例5.图示F=5kN,sin=0.8试求力F对A点的矩.,解:(1),h,C,D,CD=18.750.6=11.25,AC=20-11.25=8.75,h=8.75 0.8=7,mo(F)=hF=7 5=35,(2),Fx,Fy,Fx=Fcos=5 0.6=3,Fy=Fsin=5 0.8=4,D,mo(Fx)=-BD Fx=-15 3=-45,mo(Fy)=AD Fy=20 4=80,mo(F)=mo(Fx)+mo(Fy)=-45+80=35,支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm,F=100N,求 对A、B、C三点之矩。,解：由定义,由合力矩定理,如图所示，求F对A点的矩。,解一：应用合力矩定理,解二：由定义,静力分析,练习图示胶带轮，已知T1=200N,T2=100N,D=160mm,求MB(T1)+MB(T2)=?,解：,3.力矩的平衡条件内容：各力对转动中心O点之矩的代数和等于零，即合力矩为零。公式表达：,二、力偶,1、什么是力偶,力学中把一对等值、反向且不共线的平行力称为力偶。（F，F）,无法再简化的简单力系之一,力偶作用面：两力作用线所决定的平面；力偶臂：两力作用线之间的垂直距离，用 d 表示；,力偶的三要素：1）力偶中力的大小2）力偶的转向3）力偶臂的大小,力 偶 实 例,力 偶 实 例,力偶矩：力学中，用力偶的任一力的大小F与力偶臂d的乘积在冠以相应的正、负号，作为力偶使物体转动效应的度量，称为力偶矩，用M表示。,注：力偶逆时针转动时取正，反之取负。,d：力偶臂,静力学,2.力偶的特性性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。力偶无合力，不能与一个单个的力平衡；力偶只能与力偶平衡。力偶只能是物体转动，转动效果取决于力偶矩。,F,F/,a b c d,a b,F,性质2 力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶 矩度量。,静力学,性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。,只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。,由上述证明可得下列两个推论：,力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。,3.力偶的表示方法 用力和力偶臂表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示力偶的转向，M表示力偶的大小。,关于力偶性质的推论,只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。,只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。,关于力偶性质的推论,保持力偶矩矢量不变，分别改变力和 力偶臂大小，其作用效果不变。,关于力偶性质的推论,只要保持力偶矩矢量大小和方向不变,力偶可在与其作用面平行的平面内移动。,关于力偶性质的推论,M=Fdk,1.平面力偶系的简化作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。,m1F1d1，m2F2d2，m3F3d3，P1d=F 1d1，P2dF2d2，P3d F3d3FRP1P2p3FRP1P2P3,三、平面力偶系的简化与平衡,MFR d（P1P2P3）d=P1d+P2dP3d=F 1d1+F2d2F3d3所以 Mm1m2m3,若作用在同一平面内有个力偶，则上式可以推广为,由此可得到如下结论：平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。,平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到 平面力偶系平衡的必要与充分条件：,2.平面力偶系的平衡条件,即M 0,注：平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。,平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。,图示矩形板，边长分别为a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，试画出整体和两板的受力图。,静力学,例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力?,解:合力偶距,平面力偶系平衡,车间内有一矩形钢板，要使钢板转动，加力F,F 如图示。试问应如何加才能使所要的力最小？,当力偶一定时，只有力偶臂最长所用的力才最小。,图中梁AB处于平衡，如何确定支座A、B处反力的方向？,FA,FB,力偶只能和力偶平衡，A、B两点的力 应构成力偶，所以，这两个力大小相等、方向相反。即A点的水平分力为零，可以不画。,图中所示的拉力实验机上的摆锤重 G，悬挂点到摆锤重心C的距离为l,摆锤在图示三个位置时，求重力G对O点之矩各为多少？,解:,MO(F)=Fd,位置1:,MO(F)=Gd=0,位置2:,MO(F)=G,Gd=lsin,Glsin,位置3:,MO(F)=Gl,刚架上作用着力F,分别计算力F对A点和B点的力矩。F、a、b为已知。,Fx,Fy,解：,用定义计算，力臂不易确定，所以，用合力矩定理。,MA(F)=Fx b=bFcos,Fx=Fcos Fy=Fsin,MB(F)=MB(Fx)+MB(Fy),=b Fcos+a Fsin,静力分析,例图示结构，求A、B处反力。,解：1、取研究对象,整体,2、受力分析,特点：力偶系,3、平衡条件,mi=P 2aYA l=0,思考,m i=0,P 2aRB cos l=0,求图示简支梁的支座反力。,解：以梁为研究对象，受力如图。,解之得：,例题.在梁AB上作用一个力偶,其矩为m,梁长为l.自重不计.试求支座A和B的约束反力.,解:取梁AB为研究对象,RA,RB,45o,45o,RA=RB=R,m(RA,RB)=Rlcos 45o,mi=0,Rlcos 45o-m=0,R=RA=RB=,例题.图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位置.已知OA=40cm,O1B=60cm,m1=1Nm,各杆自重不计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.,解:AB为二力杆,SA=SB=S,S,S,S,S,取OA杆为研究对象.,mi=0,m2 0.6 S=0,(1),取O1B杆为研究对象.,mi=0,0.4sin30o S-m1=0,(2),联立(1)(2)两式得:,S=5,m2=3,例题.不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用,转向如图.问m1与m2的比值为多大,结构才能平衡?,m1,m2,解:取杆AB为研究对象画受力图.,杆A B只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束.则A处约束反力的方位可定.,RA,RC,mi=0,RA=RC=R,AC=a,a R-m1=0,m1=a R(1),取杆CD为研究对象.因C点约束方位已定,则D点约束反力方位亦可确定.画受力图.,RD,R C,RD=RC=R,CD=a,mi=0,-0.5aR+m2=0,m2=0.5 aR(2),联立(1)(2)两式得:,例题 图示刚架，其上作用三个力偶，其中 F1=F1=5KN，m2=20KN.m,m3=9KN.m,试求支座A、B处的反力。,A,B,F1,F1,m3,1m,1m,1m,m1=F1 1=5KN.m,m1-m2+m3+FB d=0,d,解：因为作用在刚架上的主动力全是力偶，则A、B处的约束反力一定形成力偶。根据平面力偶系的平衡方程：,mi=0,5-20+9+FB ABsin300=0,解得：,FA=FB=2.31kN,例 已知：机构如图所示，各构件自重不计，主动力偶M1为已知，求：支座A、B的约束反力及主动力偶M。,解：“BD”,M=0M1-FE a=0 FB=FE=M1/a,“系统”,系统受力偶作用，又只在A、B两点受力，则该两点的力必形成一力偶。FA=FB=M1/a,M=0M1-FB 0-M=0 M=M1,系统如图，AB杆上作用矩为M的力偶，设AC=2R，R为轮C的半径，各物体的重量及摩擦不计。求绳子的拉力和铰A对AB杆的约束反力及地面对轮C的反力。,解：先以AB杆为研究对象，受力如图。,由几何关系：,所以：,再以轮C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,其中：,解之得：,讨论：本题亦可以整体为研究对象求出：,例已知：a、m，杆重不计。求：铰A、C的反力。,解:分别以AB杆(二力杆)和BC为研究对象求解.,由 SM=0,m NC d=0及 NC=NB=NB,解得:,AB杆：,BC杆：,例 M1=2kNm，OA=r=0.5m，a=30，求作用于摇杆上力偶矩的大小及铰链O、B处的约束力。,解：1.先以圆轮为研究对象.,由 SM=0,解得:,（平面力偶系）,2.再以摇杆为研究对象（平面力偶系）,由 SM=0,FA=FA=M1/rsin30,解得:,FO、FB的方向如图所示。,例：结构如图所示，已知主动力偶 M，哪种情况铰链的约束力小,并确定 约束力的方向（不计构件自重）,1、研究OA杆,2、研究AB杆,例:已知 AB=2a BD=a,不计摩擦。求当系统 平衡时,力偶M1,M2 应满足的关系。,研究BD,研究AC,静力分析,例图示杆系，已知m,l,求A、B处约束力。,解：,1、研究对象二力杆：AD,2、研究对象：整体,思考：CB杆受力情况如何？,m,练习：,静力分析,解：,1、研究对象二力杆：BC,2、研究对象：整体,m,AD杆,例题.图示物体系统中AC=CD=BE=EF=a 且CF=DE.物体重量不计.求支座A 和B 的约束反力.,解:取整体为研究 对象画受力图。,RA,RB,d,RA=RB=R,mi=0,RA=RB=R=,静力分析,m,所以,练习下图中，求 A、C 两点处的支座反力。,静力分析,练习 试求机构在图示位置保持平衡时主动力系的关系。其中 AO=d,AB=l。,曲柄ACD,A,O,B,M,解：,1、研究对象：,滑块B,M,2、研究曲柄ACD,静力分析,思考题：,1、m可否又BC上移至AC上？,结构视为一体时，m可移动，若分开考虑，则m不能从一体移至另一体。,2.既然一个力不能与力偶平衡，为什么下图的圆轮能平衡？,力偶不能和一个力平衡，为什么图中的轮子又能平衡？,力偶只能和力偶平衡，P、O两点的力应构成力偶，所以，这个力偶与M平衡。,静力分析,2、图示机构平衡时两力偶之间的关系？,m1,杆BC,分析整体,答案：,力沿作用线移动：,力是滑动矢量。只适用于刚体，不适用于变形体及刚体系统。反例为：绳子，,力线平移,力偶等效,思考题：1、图示两结构是否等效？,2、力矩与力偶矩的异同？（平时作业）,如图所示杆件结构中，EF/AB，AE=EC，,EF杆E端与AC铰接，F端光滑搁置在BC上，杆重不计，求A、B处的反力。,小结,力对点之矩在轴上的投影等于力对轴之矩；力偶对刚体的作用效应仅为转动，力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡；力偶对刚体的转动效应决定于其三要素；力偶等效条件，合力（偶）矩定理；力偶系平衡的充要条件是：S M i=0。,结束,