大学物理第五章刚体力学1.ppt

第五章 刚体的定轴转动,5.1 刚体的运动,5.2 刚体定轴转动定律,5.3 转动惯量的计算,5.4 刚体定轴转动定律的应用,5.5 转动中的功和能,5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律,一、一般运动,1、刚体：受力时不改变形状和体积的物体固体物件的理想模型。,2、平动：在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在各个时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。,刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。,刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。,5.1 刚体的运动,定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。（本章着重讨论定轴转动）定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。（如陀螺的运动）,3、转动：,4.一般运动既平动又转动,质心的平动和绕定轴的转动结合,平动和转动可以描述所有质元（质点）的运动。,定轴转动：各质元在自己的转动平面内作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。各质元的线量一般不同（因为半径不同）,但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。,二、刚体定轴转动的描述(运动学问题),转动平面,刚体运动学中所用的角量关系及角量和线量的关系同圆周运动，如下：,、本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的两个方向，规定一个转动正方向后，可以用标量代替。,在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：,P182习题5.1,5.2 刚体的定轴转动定律,1.化简过程定轴转动,所以，可直接写分量式,(质点系角动量定理微分形式的简化)质点系角动量定理微分形式：,合外力对刚体转轴的力矩,只有在转动平面内的分量对刚体转动有贡献，称为对转轴的力矩,=?,因为各质元角动量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加,任一质量元的角动量大小为,因为,所以,定义刚体对定轴的转动惯量,进一步化简,则刚体对定轴的角动量,刚体定轴转动的转动定律,定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律,应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。,5.3 转动惯量的计算,由刚体内各质元相对固定轴的分布所决定，与刚体的运动及所受外力无关。,反映刚体转动惯性的大小,若质量连续分布:,分立质点,在（SI）中，J 的单位：kgm2,特点：,1.转动惯量具有叠加性,2.与刚体质量分布有关（总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大）,3.转轴不同，J 不同,例：如图质点系,例：课本P182习题5.5,质量连续分布:,dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度。,线分布,面分布,体分布,例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：,J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r、宽为dr的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。,例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx=m/L,J 和转轴有关 同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的,2、平行轴定理,前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量,推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：JJCmd2。,这个结论称为平行轴定理。,两轴平行，相距L/2。可见：,转动惯量的计算 1)对称的 简单的 查表(课本P166表5.1)2)平行轴定理 parallel axis theorem,在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小,哪种握法转动惯量大？,右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆盘半径为R）,P183习题5.10,解：设完整时的转动惯量为J0，挖去圆的转动惯量为J1，已挖洞的原板的转动惯量为J,5.10 从一个半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为R的圆洞，其中心在距原薄板中心R/2处，所剩薄板的质量为m。求此时薄板对通过其原中心并与薄板垂直的轴的转到惯量。,1）定轴转动中力矩可用代数量来表示，其正负取决于转动正方向的选取;,2）合外力矩等于各力矩的代数和.,5.4 转动定律应用举例,如:,规定顺时针为正方向，,则M=r1T1-r2T2,例1.如图所示，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动假设定滑轮质量为 M、半径为 R,其转动惯量为 MR2/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系,解：根据牛顿定律和转动定律列方程,运动学关系：,对滑轮：,对物体：,联立得：,例2：阿特伍德机（如图），求绳中张力及每个物体加速度。(设滑轮质量为M，半径为R，对中心轴转动惯量为J，绳不可伸长且忽略一切摩擦),T1,T2,m1g,m2g,T1,T2,解：,对m1（质点）：,对m2（质点）：,T1-m1g=m1a1,m2g T2=m2a2,对M（刚体）：,RT2-RT1=Ja,辅助关系：,a1=a2=a,=Ra,联立求得：,例3 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，重力矩为：,重力对整个棒的合力矩相当于全部重力集中作用于质心所产生的力矩一样,刚体运动为变加速转动,例4.转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度为w0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度w的平方成正比，比例系数为k（k为大于0的常数），当w=(1/3)w0时，飞轮的角加速度a=，,从开始制动到w=(1/3)w0所经过的时间t=.,由,得,由,分离变量并积分,例5、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.46，求闸瓦对轮子的压力N为多大？,解：飞轮制动时有角加速度,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。,例6.一轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的质量为 M/4,均匀分布在其边缘上,绳子 A 端有一质量为 M的人抓住了绳端,而在绳的另一端 B 系了一质量为 M/4 的重物,如图。已知滑轮对 o 轴的转动惯量 J=MR2/4,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求 B 端重物上升的加速度？,解：受力分析如图 由题意 a人=aB=a,联立 求解,习题册 P37 典型例题1,典例一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为M的物体，另一端被人用双手拉着，人的质量m=M/2若人相对于绳以加速度a0向上爬，则人相对于地面的加速度（以竖直向上为正）是?,习题册 P12 典型例题4,典例4一个质量为M半径为R的匀质球壳可绕一光滑竖直中心轴转动。轻绳绕在球壳的水平最大圆周上，又跨过一质量为m半径为r的匀质圆盘，此圆盘具有光滑水平轴，然后在下端系一质量也为m的物体，如图。求当物体由静止下落h时的速度v。,习题册 P38,因绳子不打滑，所以,以上方程联立可求得,再利用,得,设绳对球壳和物体的拉力分别为T1和T2，球壳和圆盘的角加速度分别为1和2，根据牛顿定律与刚体定轴转动定律分别列出运动方程,练习1.一轻绳跨过两个质量为 m、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为 2m 和 m 的重物,如图所示,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为 mr2/2,将由两个定滑轮以及质量为 2m 和 m 的重物组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。,P18 5章作业 4,