大学物理第二章气体动理论2.ppt

1,2.4 麦克斯韦速率和速度分布规律 一分子速率分布函数 二麦克斯韦速率分布律2.5 麦克斯韦速率分布实验验证 一麦克斯韦速率分布实验验证 二麦克斯韦速度分布律2.6 玻尔兹曼分布定律,2,气体分子热运动是杂乱无章的，由于其他分子的不断碰撞，单个分子的运动速度的方向和大小是不可预知，但是大量分子的整体却会出现一些统计规律：,分子数按位置分布平均说来是均匀的。分子数按速度方向分布平均说来是均匀的。,在容器内任何一处，不论怎样取体积 V，只要 V 中包含有大量的分子N，则,3,1.无论在容器中的什么地方，只要V 大小相同，V 包含的分子数占总分子数的比率就相等；分子数按空间位置分布是等概率的,分子数按位置分布平均说来是均匀的。分子数按速度方向分布平均说来是均匀的。,2.同理，无论任何时刻沿任一方向运动的分子数占 总分子数的比率都相等；分子数按速度方向分布是等概率的,4,理论和实验发现：当气体处于平衡态时，分子数按速率的分布也遵循着一个完全稳定的统计规律 麦克斯韦速率分布律,问题：分子数按速度的大小的分布有什么规律呢？,1859年，理论上,也就是说，在总数为N 的分子中，具有各种速率 的分子各有多少？或这些分子在运动过程中，出现在各个速率范围 内的概率是多少？,5,2.5 麦克斯韦速率分布律和速度分布律,一分子速率分布函数,为了说明这个规律，下面首先介绍分子速率分布函数的概念,分子的速率在原则上可以连续地取值，从0 到；在各个速率范围中分子数 是不连续的；3.如何来研究分子数按速率的分布？将速率分成一些小的区间，按这些区间来计算分子数,设气体分子总数为N，速率处在 v 到 v+dv 之间的分子数为 dN，,6,特点：1.不同v 附近的速率区间dv 内分子数dN 是不同 的，这一比率是速率v 的函数；2.在区间 dv 足够小的情况下，这一比率还应和区间的大小dv 成正比。,设定：气体分子总数为N，速率处在 v 到 v+dv 之间 的分子数为dN：,速率在v 到 v+dv 之间的分子数占总分子数比率为,7,式中,写成等式,分子速率分布函数,物理意义：由等式右边可以看出 分子速率分布函数表示速率在v 附近，单位速率区间内的分子数占总分子数的比率。,8,分子速率分布函数,讨论,1.就大量分子而言，表示速率在v 到 v+dv 区间内 分子数占总分子数的比率,2.对单个分子而言，由于分子的速率在不断的改 变，它的速率有时处在v 到 v+dv 区间内，有时 也可能处在这个区间外，因此 f(v)dv表示单个分子 处于v 到 v+dv 区间内一种预计或者估计，也就是前面提到的概率,9,1.它的大小反映单个分子处于v 到 v+dv 区间的 可能性的大小；2.任何时刻分子具有什么样的速率无法确定，但 是具有某一速率的可能性大小是可以预计的。,因此 表示单个分子处于v 到 v+dv 区间内一种预计或者估计，也就是前面提到的概率,f(v)dv对于单个分子的意义,说明：,10,分子速率分布函数,讨论,速率处在v1 到v2 这个有限速率区间中的分子数可用下列积分计算,表示速率处在v 到 v+dv 区间内的分子数；,速率处在0 到 整个区域中的分子数,3.函数变式：Nf(v)v=dN,11,意味着：1.对大量分子来说，任意分子的速率必然落在0 到 整个区域中的；2.对单个分子来说表示按速率分布单个分子处于0 到 整个区域中的概率等于1。,4.分子速率分布函数的归一化,12,二麦克斯韦速率分布律,麦克斯韦速率分布律就是给出了一定条件下的速率分布函数的具体形式,麦克斯韦速率分布律,麦克斯韦速率分布函数,在平衡态下，气体分子速率在v 到 v+dv 区间内的分子数占总分子数的比率为,其中,13,麦克斯韦速率分布函数,T 是 气体的热力学温度，m 是一个分子的质量，k 是玻尔兹曼常数,对于给定气体（m 一定），只与温度有关。,14,麦克斯韦速率分布曲线,以速率v 为横轴，以 为纵轴，画出的图线就是麦克斯韦速率分布曲线，它能形象地表示出气体按速率分布的情况,15,则曲线下所围整个面积等于 1,曲线所围面积及物理意义,在曲线下v 附近取一宽度为dv 的小窄条,小窄条面积就等于,物理意义：就等于在该区间内的分子数占总分子数的比率,思考？,图示阴影部分的面积的意义,16,曲线特征,从曲线形状可以看出，速率很小和速率很大 的 分子数都很少,或者说分 子取速率很大或很小的概率都很小；,2.从曲线看，在某一速率vp 处，f(v)函数有一极大值。,或者说分子速率取 的概率最大,物理意义：若把整个速率范围分成许多相等的小区间，则 所在区间内的分子数占总分子数的比率最大,最概然速率,17,温度对分布曲线影响,不同温度下的分布曲线有何不同呢？,对于给定气体（m 一定），f(v)只与温度有关。,下图给出了某种气体在不同温度下的速率分布函数 请分析温度对分子速率分布的影响？,T1,T3,T2,18,温度升高，曲线的峰变低，并且向速率大的 一侧移动；,2.随温度升高，曲线下的面积高度下降，宽度变宽，最可几速率的值变宽，而f(v)减小。,19,1、最概然速率vp,由速率分布函数的极值条件：,与分布函数f（v）的极大值对应的速率,即：,得：,麦克斯韦速率分布律应用 三种特殊速率,20,因考虑到分子速率是从0 连续分布的，故应用自 0 的积分来求和。于是,大量分子无规则运动速率的算术平均值,21,从而可求得方均根：,同理：,速率的方均值为,大量分子无规则运动速率平方的平均值的平方根,22,三种速率的比较,以上三种统计速率各有不同的意义和作用,计算分子的平动动能；,讨论分子的速率分布；,计算分子平均自由程。,23,1)T一定时,2)m（）一定时,24,要验证分子速率分布规律，需要高真空技术。,直到20世纪20年代，才开始能对气体分子速率进行实验测定：,最早测定分子速率的是1920年斯特恩（Stern）1934年我国物理学家葛正权曾测定过铋（Bi）蒸汽分子的速率分布实验结果都与麦克斯韦速率分布律大致相符。1955年 蜜勒（Miler）和库什（P.Kusch）做的比较精确地验证了麦克斯韦速率分布律,下面介绍一个测定分子速率分布的实验,2.5 麦克斯韦速率分布实验验证,一麦克斯韦速率分布实验验证,25,小孔充分小,改变,测D上的沉积厚度,就可测气体速率分布,密勒-库什实验装置及演示,1955年，Miller和Kusch用钾（和铊）蒸汽作的分子射流实验。,26,高真空的容器,显然只有满足下面两个关系的分子，才通过C 盘狭缝射到P上。,当，l，一定时，只有速率满足上式的分子，才能通过C 盘狭缝射到P上。这时B 和C 起着速率选择器的作用，改变（或l 及），可使速度大小不同的分子通过。,27,实验结果表明：实验与理论符合较好。说明蒸汽源内的原子的速率分布是遵守麦克斯韦速率分布律的,实验表明：大量分子的速率分布遵从一定的统计规律 麦克斯韦速率分布律,28,例.有N个粒子，其速率分布函数为,求:1）速率分布曲线 2）由v 0 求常数C 3）粒子的平均速率,解:1）速率分布曲线（如 图所示）,2）常数 C 由归一化条件求得,3）平均速率：,所以，有,29,二麦克斯韦速度分布律,只要用速度分量代替速率，并将其推广到三维情形，就可以得到麦克斯韦速度分布律。,它表示分子速度分量处在,之间的概率,30,麦克斯韦速度分布函数,31,是气体分子具有速度分量 vi 的概率。,32,平均速度,是气体分子具有速度分量 vi 的概率。,33,说明：上面介绍了分子按速率和速度分布的情况，并假设分子在空间位置的分布是均匀的，即认为在容器中的任一处都有相同的分子数密度。,但这仅适用于气体不处在外力场中的情形，如果气体受到外力场的作用情形就会不同,例如：处在地面附近的空气，气体分子在重力作用下要落向地面，即倾向于落向势能最低处，但由于分子存在热运动，又使它们向上扩散开来，这两倾向达到平衡时，就出现了空气分子沿竖直方向作上疏下密的分布。,34,麦克斯韦速度分布函数只与分子运动有关，那么分子按空间位置的分布也必然与分子在外力场中的势能有关。玻尔兹曼将麦克斯韦速度分布律作了推广。,2.6 玻尔兹曼分布定律(自学),35,玻尔兹曼提出：气体在平衡态下，分子速度处在区间 vx vx+dvx，vy vy+dvy，vz vz+dvz，和位置处在区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz中的分子数目为：,式中,分别表示分子动能和分子在外场中的势能。,玻尔兹曼分布定律,36,玻尔兹曼分布定律,将上式对位置积分就是麦克斯韦速度分布；,将上式对速度积分就得到气体分子数按位置的分布。,37,分子数密度,上式表明：对于相同的体积元 dxdydz 来说，势能大的区域分子数少，势能小的区域分子数多。或者说分子处在高势能状态的概率小，处在低势能状态的概率大，而显然n0 是 Ep=0 处的分子数密度。,38,以重力场中的空气为例，选取竖直方向为 z 轴方，重力势能表示为,上式给出了空气分子在重力场中按高度的分布规律，看到随着高度增加，n 减小，空气越稀薄，这一结论已为实验所证实,39,如果假设空气为理想气体，并略去空气温度随高度的变化，,将理想气体状态方程代入,空气压强随高度的分布,是（地表面附近）处的压强,