大学物理第二章运动定律与力学中的守恒定律.ppt

牛顿定律,第二章,一、牛顿第一定律（Newton first law）内容：任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。,(1).包含两个重要概念：惯性和力,2-1 牛顿定律,惯性：物体保持原来运动状态的特性称惯性，故牛顿 第一定律又叫惯性定律。,力：力是改变物体运动状态的原因。,(2).定义了惯性参考系,因牛顿定律并不是在任何参考系中都成立，只有在某些特定参考系中才成立，就把这些特定参考系称为惯性参考系。,（即按照在参照系中牛顿定律是否成立把参考系分为两类，惯性系与非惯性系）,问题,a=0时人和小球的状态符合牛顿定律,结论：牛顿定律成立的参照系称为惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。,a0时人和小球的状态为什麽不符合牛顿定律？,惯性系与非惯性系,根据天文观察，以太阳系作为参照系研究行星运动时发现行星运动遵守牛顿定律，所以太阳系是一个惯性系。,静止的参考系都是惯性系。实际无严格意义上的惯性系，它只是 一个理想的物理模型。人们只是根据具体情况选近似惯性系处理问题，一般以地面为惯性系，相对一个惯性系静止或匀速运动的参考系都是惯性系。相对惯性系作加速运动的参照系是非惯性系。,二、牛顿第二定律（Newton second law）在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与外力的矢量和的方向相同。,(3)、迭加性：（力的叠加原理）（力的独立性原理）,注意：,(1)、只适用于质点,当几个力同时作用在一个物体上时，物体的加速度等于每个力单独作用时产生的加速度的矢量叠加，也等于这几个力的合力所产生的加速度。这就是力的叠加原理。,(4)、矢量性：具体运算时应写成分量式,直角坐标系中：,自然坐标系中：,(5)、变质量问题（牛顿第二定律的普遍形式）,动量：,（6）、定量的量度了惯性（用质量）,惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量,引力质量：,相同的力作用到不同物体上：,三、牛顿第三定律（Newton third law）两个物体之间的相互作用总是大小相等、方向相反，作用在同一直线上。,作用力与反作用力：,（1）瞬时性：它们总是成对出现，它们之间一一对应。,（2）它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。,（3）它们一定是属于同一性质的力。,牛顿力学的适用范围（1）只有在惯性系中才成立。（2）速度可以和光速相比时，物体质量用相对论质量，仍可用牛顿第二定律的普遍形式处理。（3）宏观微观均适用（4）适用于实物间的作用不适用于场的相互作用。,四、力学的相对性原理,在S系中：,在S系中：,在任何一个惯性系中牛顿定律都有完全相同的形式,即：伽利略相对性原理 或经典相对性原理,力学规律对一切惯性系都是等价的,力学的相对性原理：,2-3 几种常见的力,（1）万有引力,（2）重力,（3）弹力,（4）摩擦力,当绳为轻绳，弹簧为轻弹簧时，内部张力处处相等。,静摩擦力,最大静摩擦力,滑动摩擦力（方向和相对滑动的 方向相反）,注：摩擦力的方向是否一定和物体运动方向相反？运动物体受的摩擦力是否一定是滑动摩擦力？,答：不一定,2-4 牛顿定律的应用举例,一类是已知作用在物体上的力，求物体的运动规律。步骤：（1）确定要研究的物体；（2）隔离物体分析受力；（3）建系列方程；（用F=ma的分量式）（4）解方程。另一类是已知物体的运动规律，求作用在物体上的力。方法：由已知求出物体的加速度，用F=ma的分量式 可求出F。,例1：质量为m的小球，用轻绳AB、BC连接，如图。求剪断绳AB前后的瞬间，绳BC中的张力比。,解：剪断前,分析：把剪断绳前及剪断绳后BC中的张力分别求出。,小球静止加速度a=0受力平衡。,A,B,C,剪断后：,小球以垂直于BC的加速度a作弧线运动，可知小球此时所受合外力为该方向。,a,例2：质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为,式中t为从沉降开始计算的时间,证明：取坐标，作受力图。,根据牛顿第二定律，有,初始条件：t=0 时 v=0,例3：如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上，滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴间的摩擦也不计。系统无初速地释放，问物体A下落的加速度？,分析：研究的对象就是AB两个物体，隔离两物体 分析受力列方程。,对A：,解：,对B：,又有：,解方程得,例4：在光滑的水平面上，设置一竖直圆筒，半径为R，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在t0时，球的速率为。求：任一时刻球的速率和运动距离。,作业：课本50页2-10（无摩擦）、214 51页2-16、219、2-21,复习课：,第一章：质点运动学,瞬时速度,位置矢量,加速度,2、牛顿运动定律,直角坐标系中：,自然坐标系中：,1、两个质量相等的小球由一轻弹簧连接，再用一细绳悬挂于天花板上，处于静止状态，如图。将绳子剪断的瞬间，球1和球2的加速度分别是多少。,细绳,球1,球2,2、两滑块A、B，质量分别为 和，与图中所示斜面间的摩擦系数分别为 和，今将A、B粘合在一起，并使它们的底面共面，而构成一个大滑块，则该滑块与斜面间的摩擦系数是？,3、如图，用一斜向上的力（与水平成30度角），将一重为G的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明木块和壁面间的静摩擦系数 的大小为？,300,4、长为 的绳子一端拴着半径为、质量为m的球，另一端拴在倾角为 的光滑斜面的A点上，如图。当球静止在斜面上时，绳中的张力T？,A,T,N,mg,5、假如地球半径缩短1，而它的质量保持不变，则地球表面的重力加速度 g 增大的百分比是？,R,o,m,6、一小珠可以在半径为R的铅直圆环上做无摩擦滑动，今使圆环以角速度 绕圆环竖直直径转动。要使小珠离开环的底部而停在环上某一点，则角速度 最小应大于？,7、一质点在平面上运动，质点位置矢量的表示式为（其中a、b为常数），则该质点作,（A）匀速直线运动,（B）变速直线运动,（C）抛物线运动,（D）一般曲线运动,8、一物体从某一确定的高度以 的速度水平抛出，已知它落地时的速度为，那么它运动的时间是,9、质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每 t 秒转一圈。在 2t 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为,10、对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的？,（A）切向加速度必不为零,（B）法向加速度必不为零（拐点处除外）,（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零,（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零,（E）若物体的总加速度 为恒矢量，它一定作匀变速率运动。,11、下列说法中哪一个是正确的？,（A）一质点在某时刻的瞬时速度是 2m/s，说明它在此后1s内一定要经过2m的路程。,（B）斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大,（C）物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零,（D）物体加速度越大，则速度越大。,12、下列说法哪一条正确？,（A）加速度恒定不变时，物体运动方向也不变。,（B）平均速率等于平均速度的大小,（C）不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成,（D）运动物体速率不变时，速度可以变化。,13、一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为，某一段时间内的平均速度为，平均速率为，它们之间的关系必定有,做题交上来,1、一质点沿X轴运动，其加速度a与位置坐标X的关系为 a=2+6x（SI），如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。,2、如图：桌面是光滑的，略去轴上摩擦及滑轮与绳的质量，且假设绳不可伸长，求 的加速度。（已知）,动量守恒和能量守恒,第三章,3.1 质点和质点系的动量定理,物理学大厦的基石,一、质点的动量定理,可得：,动量定理微分形式：,力对时间的累积叫冲量。,动量定理积分形式：,注意：1、一段时间内力的冲量的大小、方向由这段时间内所有元冲量的矢量和决定，不是由某一瞬时的力决定。始末动量的矢量差总是等于该过程中力的冲量。,2、可估算打击过程中的平均冲力。,3、动量定理适用于任何形式的质点运动,4、动量定理只适用于惯性系,二、质点系的动量定理,第i个质点受到的合外力为,对第i个质点运用动量定理有：,对所有质点的动量定理求和：,因为：,分量式:,3-2、动量守恒定律,一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，但系统的总动量保持不变。即：动量守恒定律。,注意:（1）动量定理、动量守恒和牛顿定律一样都只适用于惯性参考系,且每一质点的速度都相对同一参照系（2）守恒指所有质点的动量矢量和守恒,且在合外力为零的时间内任意时刻动量均相等.质点系内各质点可以相互交换动量。（3）可用于微观、宏观各个领域，是应用最广泛的定律之一（4）合外力为零指的是合外力近似为零，在爆炸、打击、碰撞的问题中，内力远远大于外力，可用动量守恒。,动量定理分量式:,（5）注意用动量守恒定律分量式：,（6）注意在分量式中的、都是 有正负号的。,例1、一力F作用在质量为1.0kg的质点上，使之沿x轴运动。已知在此力作用下质点的运动方程为，在0到4s的的时间间隔内，求：力F的冲量大小是多少？,例2、质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。,解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为 则有：,取坐标系，用动量定理分量式，有：,为平均冲力与x方向的夹角。,例3：一吊车底板上放一质量为10kg的物体，若吊车底板加速上升，加速度大小为a=3+5t（SI），则2s内吊车底板给物体的冲量大小是I=？，2s内物体动量的增量大小是多少？,答：I=356 动量增量为160,例4、如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、,人逆车运动方向从车头经t 到达车尾。求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；2、车的运动路程；3、若人以变速率运动，上述结论如何？,解：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方向系统动量守恒。,1、,2、,3、整个过程动量守恒,例5、在一以匀速 v 行驶、质量为M的（不含抛出的质量2m）船上，分别向前向后同时水平抛出两个质量相等的物体（均为m）。抛出时两物体相对于船的速率相同（均为U）。抛出后船的速率为。试写出该过程中船与物这个系统动量守恒定律的表达式。,作业：课本94页 3-8、3-11、3-12,3.4 功、动能、质点的动能定理,一、功、功率,2、变力功力的空间积累外力作功是外界对系统作用的一个过程量,1、恒力的功：,微分形式,直角坐标系中,A,B,元功：,自然坐标系中的分量形式：,3、功率 力在单位时间内所作的功,瞬时功率等于力与物体速度的标积,单位：瓦特 W,注意（1）功既与质点运动的始末位置有关，又与运动过程有关，功是过程量。（2）功是标量，有正有负 力对物体做正功 力对物体做负功（3）质点同时受n个力作用时，合力的功等于各分力的功的代数和，即,（4）质点系同时受n个力作用时，合力的功不等于各分力的功的代数和，即：,二、动能定理（课本55页）,质点的动能,质点系统的动能,质点的动能定理,功是质点动能变化的量度,过程量,状态量,物体受外力作用,运动状态变化,动能变化,动能是相对量（和参照系有关）,合外力对质点所做的功（等于各分力做功的代数和）等于质点动能的增量（末时刻动能减初时刻动能）。,注意:（1）只适用于惯性系（2）功和动能大小与参考系的选择有关，用动能定理时，计算功和动能必相对于同一个惯性系。（3）功是过程量，动能是状态量，功是物体在某一过程中能量改变的一种量度。（4）动能定理的微分形式，,例1 作用在质点上的力为,在下列情况下求质点从,处运动到,处该力作的功：,1.质点的运动轨道为抛物线,2.质点的运动轨道为直线,做功与路径有关,抛物线,直线,例2:应用（95页3-20）用水桶从一深为h=20m的井中提水,桶有洞漏水,桶每上升1m,漏水0.24Kg.开始提升时水和桶的总质量是10Kg,求水桶匀速上升到井口拉力所做的功。,分析：变力做功,步骤：1、画图建系；2、求 和（用坐标系中的变量表示，方向 为质点运动方向），求元功。3、求积分,例3:（96页3-25）用铁锤把钉子敲入木板时，木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。若铁锤敲第一次时能把钉子敲入木块1.0cm深，而第二次用锤敲打钉子的力度与第一次相同，问第二次敲击能把钉子钉进木板多深？,分析：两次敲击钉子获得的动能相同，敲击后阻力 做负功使动能减为零，两次敲击阻力做功相同。,例4:（95页3-19）一物体按规律 在媒质中作直线运动，式中c为常量，t为时间。设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，求物体由x=0运动到x=L时，阻力所做的功。,例5：木块m沿固定的光滑斜面下滑（斜面底角为），当下降h高度时，重力的瞬时功率是多少？,1、重力的功,m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.,可见，重力做功与路径无关。,3.5、保守力的功、势能,2、弹力的功,可见，弹性力做功与路径无关。,3、引力的功,两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M所在处为原点,M指向m的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。,可见万有引力做功与路径无关。,4、保守力（课本69页）,某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关，而与路径无关。这种力称为保守力。,典型的保守力：重力、万有引力、弹性力,与保守力相对应的是耗散力,典型的耗散力：摩擦力,5、势能、势函数（课本71页）,在受保守力的作用下，质点从AB，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。说明有一种能量只与位置有关，可引入一个只与位置有关的能量函数，A点的函数值减去B点的函数值，正好等于从A B保守力所做的功，该函数就是势能函数。,定义了势能差,保守力做正功等于相应势能的减少；保守力做负功等于相应势能的增加。,某一点的势能大小与所选参考点（势能零点）有关。,保守力做功等于势能减少（势能增加的负值）请记笔记,重力势能（以地面为零势能点）,引力势能（以无穷远为零势能点）,弹性势能（以弹簧原长为零势能点）,势能只具有相对意义,系统的机械能,质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。,注意：1、计算势能必须规定零势能参考点。势能是相对量，其量值与零势能点的选取有关。质点处于两个不同位置时的势能差是绝对的，与势能零点的选取无关。2、只有保守力场才能引入势能，非保守力场中不能引入。势能是状态函数。3、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共有的。不能说一个物体的势能是多少，只能说一个系统的 势能是多少。4、一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能增加。,势能曲线,几种典型的势能曲线,（d）原子相互作用 势能曲线,势能曲线:势能随位置变化的曲线,（a）重力势能曲线,（b）弹性势能曲线,（c）引力势能曲线,比较,外力做正功等于相应动能的增加；外力做负功等于相应动能的减少。,保守力做功等于势能减少（势能增加的负值）,保守力做正功等于相应势能的减少；保守力做负功等于相应势能的增加。,3.6、质点系的动能定理与功能原理 机械能守恒（课本73页）,对第i质点运用动能定理：,对所有质点求和可得：,注意：,不能先求合力，再求合力的功；只能先求每个力的功，再对这些功求和。,质点系动能定理：,一、质点系动能定理：,质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内非保守力的功三者之和。,二、质点系的功能原理,质点系功能原理：外力对系统和系统非保守内力做功之和等于系统机械能的增量。,当外力对系统做功为零和系统非保守内力做功为零时，系统的机械能守恒。,三、机械能守恒定律,系统的机械能增加,系统的机械能减少,系统的机械能保持不变,注意（1）机械能守恒的条件是外力做功和（先求做功后求和）及非保守内力做功和都为零。,例如：系统所受合外力为零，内力均为保守力，机械能一定守恒吗？,答：不一定。,3-7 碰撞问题,一、恢复系数,碰撞前接近速度：,碰撞后分离速度：,恢复系数：,三、完全非弹性碰撞,二、完全弹性碰撞,动量守恒，机械能守恒,注意：二维、三维碰撞时需建系用动量守恒分量式 列方程。,动量守恒，机械能不守恒,两物体碰后速度相同，粘在一起运动。,作业：课本9597页 317、320、322、326 329、332、333、334,例1、劲度系数为 的弹簧A下连接一劲度系数为 的弹簧B,B下挂一重物C,C的质量为M。求：（1）A+B作为一个弹簧总的劲度系数（2）系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比。,用弹簧的势能函数：,例2：一物体与斜面间的摩擦系数，斜面固定，倾角。现给予物体以初速率，使它沿斜面向上滑，如图示，求：（1）物体能够上升的最大高度h;（2）该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点 时的速率。,用功能原理,M,例3：一物体质量m=2Kg,初速，从斜面A处下滑，如图示，它与斜面摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度（距B的距离）。AB间距4.8米，斜面倾角30。,M,A,2,B,4.8m,用功能原理,例：质量为、速度为 的粒子A，与另一个质量为其一半而静止的粒子B发生完全弹性的二维碰撞，碰撞后粒子A的速率为求：（1）粒子B的速率及相对粒子A原来速度方向的 偏角。（2）粒子A的偏转角。,分析：画图建系，两个方向上动量守恒，机械能守恒,功和能、动量复习课,1、变力的功：,功率,定义了势能差,保守力做功等于势能减少（势能增加的负值）,2、势能和势能变化：,重力势能（以地面为零势能点）,引力势能（以无穷远为零势能点）,弹性势能（以弹簧原长为零势能点）,3、动能和动能定理：,功能原理,机械能守恒定律,当外力对系统做功为零和系统非保守内力做功为零时，系统的机械能守恒。,若 成立，机械能守恒。,4、动量定理,动量守恒,动量守恒定律分量式,例：计算第一、第二宇宙速度。,一、第一宇宙速度,已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h 高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。,解：,设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。,机械能守恒：,万有引力提供向心力：,得：,第一宇宙速度,二、第二宇宙速度,宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度。,(1)脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。(2)脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。,由机械能守恒：,得：,1、功的概念有以下几种说法：（1）保守力作功时，系统内相应的势能增加。（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。（3）作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者作功的代数和必为零。上述说法中正确的是（）。A、（1）（2）正确 B、（2）（3）正确 C、只有（2）正确 D、只有（）正确,2、对于一个物体系来说，在下列条件中，哪种条件下系统的机械能守恒？,（A）合外力为0,（B）合外力不作功,（C）外力和非保守内力都不作功,（D）外力和保守内力都不作功,3、质量为m的一艘宇宙飞船关闭发动机返回地球时，可认为该飞船只在地球的引力场中运动已知地球质量为M，万有引力恒量为G，则当它从距地球中心R1处下降到R2处时，飞船 增加的动能应等于？,4、在光滑的水平面上有一个运动的物体P，在P的正前方有一个连有弹簧和挡板的静止物体Q，弹簧和挡板的质量均不计，P与Q的质量相同，物体P与Q碰撞后停止，Q以碰前P的速度运动。在此碰撞过程中，弹簧压缩量最大的时刻是：（A）P的速度刚好变为0时（B）P与Q速度相等时。（C）Q刚好开始运动时。（D）Q刚好达到P原来的速度时。,解：碰撞之后p开始减速，开始加速，当两者速度相等的时候不再压缩，压缩量最大,5、一轻弹簧竖直固定于水平桌面上。如图所示，小球从距离桌面高为处以初速率0落下，撞击弹簧后跳回到高为处时速率仍为0，以小球为系统，则在这一整个过程中小球的（）。A、动能不守恒，动量不守恒B、动能守恒，动量不守恒C、机械能不守恒，动量守恒D、机械能守恒，动量不守恒,6、在两个质点组成的系统中，若质点间只有万有引力作用，此系统所受外力的矢量和为，则此系统：（A）动量和机械能一定都守恒（B）动量和机械能一定都不守恒（C）动量不一定守恒，机械能一定守恒（D）动量一定守恒，机械能不一定守恒,7、水流流过一个固定的涡轮叶片，如图所示（俯视）水流流过叶片曲面前后的速率都等于v，每单位时间流向叶片的水的质量保持不变且等于Q，则水作用于叶片的力大小为_，方向为_,叶片作用于水的力为V,正方向,9、如图所示，劲度系数为k的弹簧，一端固定在墙壁上，另一端连一质量为m的物体，物体在坐标原点o时弹簧长度为原长。物体与桌面间的摩擦系数为。若物体在不变的外力F作用下向右移动，则物体到达最远位置时系统的弹性势能是？,用功能原理求出最远位置处的伸长量，用弹性势能函数求出势能。,10、一弹簧原长0.1m，劲度系数k=50N/m,其一端固定在半径为R=0.1m的半圆环的端点A，另一端与一套在半圆环上的小环相连。在把小环由半圆环中点B移到另一端C的过程中，弹簧的拉力对小环所做的功是？,弹力所做的功等于势能增量,11、一质点在图示的平面内做圆周运动，有一力作用在质点上，求在该质点从坐标原点运动到（0，2R）位置的过程中，力F对它所做的功。,做题交上来：如图，一质量为m的球在质量为M的四分之一圆弧形滑槽中从静止滑下。设圆弧形槽的半径为R,所有摩擦都忽略，求当小球m滑到槽底时，M滑槽在水平上移动的距离。,m,R,M,O,刚体力学基础,第四章,刚体力学基础一、刚体的运动及描述（4.1）二、刚体的转动定律（4.2）转动惯量三、角动量、角动量定理、角动量守恒（4.3）四、刚体定轴转动的功能关系（4.4）,刚体：在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理想模型。,平动：,刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。,4-1刚体的运动及描述,各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。,包括曲线运动和直线运动,转动：定轴,非定轴,非定轴转动:轴的运动加绕轴的转动。,定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。,转轴,平面平行运动,定点转动,（本章只讨论定轴转动）,各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角坐标、角速度、角加速度）都相同,描述刚体整体的运动用角量最方便。,刚体定轴转动的角量描述：,是轴线上的有向线段,角、线量关系,4-2刚体的定轴转动,一、力矩,1、力对轴线的力矩,（1）的力矩大小：,即力矩大小等于力的大小乘以参考点到力的作用线的距离。,（2）力矩的方向：指向和该力矩使刚体产生角加速度的方向成右手定则的转轴方向，即M的方向与角加速度方向一致。,2、内力力矩,对质点系或刚体所有内力矩大小相等、方向相反矢量和为零。,（3）力矩的矢量表示,R,1,2,二、刚体的转动定律（P108）,z,m,牛顿定律的分量形式：,切向：,法向：,法向分力力矩为零，不再讨论。,切向：,两边同乘以（参考点o到质元的距离）同时 代入,z,z,对所有质点的方程两边求和：,其中 表示改变刚体转动状态的难易程度，用J表示，叫转动惯量，有,m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性,写成矢量形式,1、刚体的转动惯量及计算,定义式：,（1）、刚体为分立结构,式中 ri 为质量元Dmi 到转轴的距离。,三、转动惯量（P109）,单位：,很明显：J与物体质量及其分布有关，与转轴的位置有关。,（2）、刚体为连续体,注意,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。,（1）均匀杆：,o,x,dx,dm,（2）如果将轴移到棒的一端（即转轴通过一端且垂直于棒）,（转轴过中心且垂直于棒）,P110 表4-2 常用的转动惯量,几个常用 J 的计算举例：,2、平行轴定理,刚体对任一转轴的转动惯量J 等于对通过质心的平行转轴的转动惯量Jc 加上刚体质量 m 乘以两平行转轴间距离d 的平方.,均匀杆：,转轴过质心且垂直于棒,转轴O通过一端且垂直于棒,平行轴定理应用举例：挂钟摆锤的转动惯量,3、转动惯量具有可加性,z,如图所示圆盘对Z轴的转动惯量是,（1）若在距离轴 d 处放一质量为m的物体则转动惯量为：,（2）若在距离轴 d 处减少一质量为m的物体则转动惯量为：,转动定律例题,例1：如图M(半径为R)上绕有绳子，绳子一端固定在滑轮边缘，轴间无摩擦，绳下挂一物体m。求M的转动角加速度及绳中的张力。若用F=mg的力直接拉绳子，M的角加速度相同吗？,M,m,例2：如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放。求：重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。,例3：如图所示，一均匀细杆长为L，质量为m，平放在摩擦系数为 的水平桌面上，设开始时杆以角速度 绕过中心 O 且垂直于桌面的轴转动。试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。,m，L,145页4-17（圆盘）,作业：144-145页：4-7、4-14、4-15、4-17,四、刚体的平衡,1、刚体的平衡方程,（1）、平衡方程矢量式,（2）、平衡方程分量式,且,注意：写力矩平衡方程时以任意确定点为参考点，只能列一个方程。对不同的参考点列出的力矩方程是等价的。,2、刚体的平衡例题,例1、长为L 质量为 M 的均匀梯子，靠墙放置，梯子下端被水平方向的绳子拉着，绳子另一端拴在墙上，如图。若墙和地面是光滑的，当梯子和地面成 角时为平衡状态，求：（1）地面和墙对梯子的作用力；（2）绳子对梯子的拉力。,例2、一圆柱体截面半径为 r 重为P，如图，它与墙面和地面间的静摩擦系数均为 1/3，若对圆柱体施以向下的力F2P，问：（1）要使它正好能够反时针方向转动，力F 和 P 之间的垂直距离 d 是多少？（2）作用于A 点的摩擦力和正压力各是多少？,B,A,4-3 角动量 角动量定理及角动量守恒定律,一、质点的角动量(动量矩)(引入的原因),质点相对O点的矢径 与质点的动量 的矢积定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用 表示。,质点的角动量 角动量定理及角动量守恒定律,质点m,参考点o,大小：,方向：角动量方向和外积的方向一致。,即动量矩大小等于动量的大小乘以参考点到动量矢量的距离。,二、质点的角动量定理(角动量变化与力的关系),作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。,外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。,角动量定理的积分形式,角动量定理的微分形式,三、质点角动量守恒定律,质点所受外力对固定点（轴）的力矩为零，则质点对该固定点（轴）的角动量守恒。质点的角动量守恒定律。,刚体的角动量、角动量定理、角动量守恒,一、刚体（质点系）的角动量定理,1、刚体（质点系）对轴的角动量,质点系角动量为:,即刚体的角动量,2、刚体（质点系）对轴的角动量定理,设质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动,质点系及刚体的角动量定理的微分形式,二、刚体组(或刚体与质点组成的系统)对轴的角动量守恒定律,外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒。,对轴的角动量守恒定律,例1：体重相同的甲、乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，问谁先到达顶点。,质点系角动量守恒,例二：光滑平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为 的重物，小球作匀速圆周运动，当半径为 时重物达到平衡。今在 的下方再挂一质量为 的物体，如图所示。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度 和半径 为多少？,质点角动量守恒,刚体角动量守恒,刚体角动量定理,例三：有一质量为M、长为L的均匀细棒，静止平放在摩擦系数为 的水平桌面上，它可绕通过其端点O且垂直于桌面的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为，如图。求：碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。,m,例四：课本146页 4-23,刚体角动量守恒,作业：课本146 147页 4-20、4-23、4-26、4-30、4-32,4-4、定轴转动中的功能关系,1、刚体的转动动能,刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。,2、力矩的功,对i求和，得：,元功,A,B,力矩的功率为：,当输出功率一定时,力矩与角速度成反比。,刚体转动的总功:,3、刚体定轴转动的动能定理,当=1时，=1 所以：,合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,刚体定轴转动的动能定理,4、刚体的重力势能 刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒,重力势能,功能原理,M为除重力以外的所有其它外力矩,机械能守恒,例:一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它下摆角时的角加速度和角速度。,解：,重力对整个棒的合力矩为,代入转动定律，可得,方法二:动能定理,方法一：角加速度积分,方法三:机械能守恒,刚体力学和质点力学比较：,质点,刚体,刚体力学基础复习一、刚体的运动及描述 定轴转动 二、刚体的转动定律 刚体平衡三、角动量、角动量定理、角动量守恒 1、质点的角动量 2、刚体的角动量四、刚体定轴转动的功能关系,(1)已知地球的质量为m,太阳的质量为M，地心与日心的距离为R，引力常数为G，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为（A)m(B)(C)Mm(D),（2）如图，有一木块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连接此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度在距孔为R的圆周上运动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体,（A）动能不变，动量改变 B）动量不变，动能改变（C）角动量不变，动量不变 D）角动量改变，动量改变（E）角动量不变，动能、动量都改变,（3）一刚体以每分钟60转速率绕 z 轴逆时针匀速转动，设某时刻刚体上某点 P 的位矢为：,该时刻P点的速度为：,4、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？(A)角速度从小到大，角加速度从大到小(B)角速度从小到大，角加速度从小到大(C)角速度从大到小，角加速度从大到小(D)角速度从大到小，角加速度从小到大。,解：,（1）很显然角速度由小到大，它的具体值可以由刚体的机械能守恒算得。,由,可知角加速越来越小。,5、一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体(m1m2)，如图所示绳与轮之间无相对滑动若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力。(A)处处相等(B)左边大于右边(C)右边大于左边(D)哪边大无法判断,6如图所示，一质量为m的匀质细杆，端靠在粗糙的竖直墙壁上，端置于粗糙水平地面上而静止，杆身与竖直方向成角，则A端对墙壁的压力大小为,f2,（A）（B）（C）（D）不能唯一确定。,7、刚体角动量守恒的充分而必要的条件是。(A)刚体不受外力矩的作用(B)刚体所受合外力矩为零(C)刚体所受的合外力和合外力矩均为零(D)刚体的转动惯量和角速度均保持不变,8、一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动最初板自由下垂今有一小团粘土，垂直板面撞击方板，并粘在板上对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力，在碰撞中守恒的量是。(A)动能(B)绕木板转轴的角动量(C)机械能(D)动量,9、光滑的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动，其转动惯量为mL2/3，起初杆静止，桌面上有一个质量为m的小球，在杆的垂直方向正对着杆的一端以速率 v 运动，（如图所示），当小球与杆的端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起运动，则这一系统碰撞后的转动角速度为,O,v,俯视图,10、有一半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转台以匀角速度 转动，此时有一质量为m的人站在转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为？,解：取人和转台为研究系统，则合外力矩为，角动量守恒,始态,末态,11、一个物体正在绕固定光滑轴自由转动，（A）它受热膨胀或遇冷受缩时，角速度不变（B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小（C）它受热或遇冷时，角速度变大（D）它受热时角速度变小，遇冷受缩时角速度变大,解：合外力矩为0，角动量守恒,所以受热膨胀时，增加，变小,12、半径为r=1.5m的飞轮，初角速度0=10rad/s，=-5(SI)，若初始时刻角位移为零，则在 t=时角位移再次为零，而此时边缘上点的线 速度v=。,13、一飞轮作匀减速运动，在5s内角速度由40rad/s减到10rad/s，则飞轮在这5s内总共转过了 圈，飞轮再经 的时间才能停止转动。,14、半径为20 cm的主动轮，通过皮带拖动半径为50 cm的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动主动轮从静止开始作匀角加速转动在4 s内被动轮的角速度达到8rad/s，则主动轮在这段时间内转过了_圈,15、一长为L，重W 的均匀梯子，靠墙放置，如图所示，梯子下端连一倔强系数为K 的弹簧，当梯子靠墙竖直放置时，弹簧处于自然长度，墙和地面都是光滑的。当梯子依墙和地面成角且处于平衡状态时，（1）地面对梯子的作用力的大小为。（2）墙对梯子的作用力的大小为。（3）W、K、L、应满足的关系式为。,16、小球做圆周运动时的动能和初动能之比？（单元自测14页填空题12题）,解：拉紧过程中小球受的合外力矩为,角动量守恒,o,设初速度为V0，作圆周运动的速度为V，则角动量守恒可写为,h,L,17、如图所示，一均匀细棒长为L，质量为m，可绕经过一端的光滑水平轴在铅直面内转动，棒被拉到水平位置后放开，当它落到竖直位置时，与放在地面上的物体相碰。设物体的质量为m，物体与地面的摩擦系数为，物体滑动距离 s 后停止。求碰撞前后棒的角速度和碰撞后物体的速度。,m,s,做题交上来：计算如图所示系统中物体的加速度。轴间无摩擦，设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M15kg，半径为r0.1m在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，轮子和绳无相对滑动。,M,